Fórmula cuadrática

En esta Sección aprenderás cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

Imagina que necesitas resolver la ecuación cuadrática $x^2+x-5=0$ para determinar el ancho de un mapa rectangular. Graficaste la función $f(x)=x^2+x-5$ , pero desde el gráfico solo puedes decir el ancho aproximado, y quieres una respuesta más precisa. En esta Sección aprenderás a usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas como la que representa esta situación para que puedas obtener soluciones exactas para las ecuaciones.

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Enlace multimedia Para más ejemplos sobre resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática, mira el siguiente video (sólo en inglés) Khan Ácademy Equation Part 2 (9:14).

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La figura 2 proporciona más ejemplos de cómo resolver ecuaciones usando la fórmula cuadrática. Este video no es necesariamente diferente a los ejemplos anteriores, pero sí ayuda a reforzar el procedimiento de usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones.

Orientación

Las secciones anteriores han presentado tres métodos para resolver una ecuación cuadrática:

Graficando para encontrar los ceros;
Resolviendo usando raíces cuadradas; y
Completando el cuadrado para encontrar las soluciones

Esta Sección presentará una cuarta manera de resolver una ecuación cuadrática: usando la fórmula cuadrática.

Historia de la fórmula cuadrática

Á partir del 1200 a.C. la gente estaba interesada en resolver ecuaciones cuadráticas. Los babilonios resolvieron ecuaciones simultáneas que involucraban cuadráticas. En el 628 d.C., Brahmagupta, un matemático indio, ofreció la primera fórmula explícita para resolver una ecuación cuadrática. La fórmula cuadrática fue escrita como es hoy por el matemático árabe Ál-Khwarizmi. Es su nombre en el cual está basada la palabra "álgebra".

La solución a cualquier ecuación cuadrática en forma estándar, $0=ax^2+bx+c$ , es:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplo Á

Resuelve $x^2+10x+9=0$ usando la fórmula cuadrática.

Solución:

Sabemos por la Sección que las respuestas son $x=-1$ or $x=-9$ .

Ál aplicar la fórmula cuadrática y $a=1, b=10$ , obtenemos: $c=9$ , obtenemos:

$x &= \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2-4(1)(9)}}{2(1)}\\\x &= \frac{-10 \pm \sqrt{100-36}}{2}\\\x &= \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2}\\\x &= \frac{-10 \pm 8}{2}\\\x &= \frac{-10 + 8}{2} \ or \ x=\frac{-10-8}{2}\\\x &= -1 \ or \ x=-9$

Ejemplo B

Resuelve $-4x^2+x+1=0$ usando la fórmula cuadrática.

Solución:

$\text{Quadratic formula:} && x & =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a=-4, b=1, c=1: && x& =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4(-4)(1)}}{2(-4)}\\\\text{Simplify:} && x & =\frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{-8}=\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{-8}\\\\text{Separate the two options:} && x&=\frac{-1+\sqrt{17}}{-8} \ \text{and} \ x=\frac{-1-\sqrt{17}}{-8}\\\\text{Solve:} && x & \approx -.39 \ \text{and} \ x \approx .64$

Ejemplo C

Resuelve $8t^2+10t+3=0$ usando la fórmula cuadrática.

Solución:

$\text{Quadratic formula:} && x & =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a=8, b=10, c=3: && x& =\frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2-4(8)(3)}}{2(8)}\\\\text{Simplify:} && x & =\frac{-10 \pm \sqrt{100+96}}{16}=\frac{-10 \pm \sqrt{196}}{16}\\\\text{Separate the two options:} && x&=\frac{-10+\sqrt{196}}{16} \ \text{and} \ x=\frac{-10-\sqrt{196}}{16}\\\\text{Separate the two options:} && x&=\frac{-10+14}{16} \ \text{and} \ x=\frac{-10-14}{16}\\\\text{Solve:} && x & =\frac{1}{4} \ \text{and} \ x =-\frac{3}{2}$

Revisión en video (Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Resuelve $3k^2+11k=4$ usando la fórmula cuadrática.

Solución:

Primero, debemos hacer que un lado sea igual a cero:

$3k^2+11k=4 \Rightarrow 3k^2+11k-4=0$

Áhora está en la forma correcta para usar la fórmula cuadrática.

$\text{Quadratic formula:} && x & =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\text{Plug in the values} \ a=3, b=11, c=-4: && x& =\frac{-11 \pm \sqrt{(11)^2-4(3)(-4)}}{2(3)}\\\\text{Simplify:} && x & =\frac{-11 \pm \sqrt{121+48}}{6}=\frac{-11 \pm \sqrt{169}}{6}\\\\text{Separate the two options:} && x&=\frac{-11+\sqrt{169}}{6} \ \text{and} \ x=\frac{-11-\sqrt{169}}{6}\\\\text{Separate the two options:} && x&=\frac{-11+13}{6} \ \text{and} \ x=\frac{-11-13}{6}\\\\text{Solve:} && x & =\frac{1}{3} \ \text{and} \ x =-4$

Práctica

El siguiente video te guiará a través de una prueba de la fórmula cuadrática. CK-12 Basic Álgebra: Proof of Quadratic Formula (7:44)

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El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Using the Quadratic Formula (16:32)

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¿Qué es la fórmula cuadrática? ¿Cuál es la situación más adecuada para usar esta fórmula?
¿Cuándo se registró la primera solución de una ecuación cuadrática?

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

$x^2+4x-21=0$
$x^2-6x=12$
$3x^2-\frac{1}{2}x=\frac{3}{8}$
$2x^2+x-3=0$
$-x^2-7x+12=0$
$-3x^2+5x=0$
$4x^2=0$
$x^2+2x+6=0$

Revisión mixta

El teatro tiene tres tipos de asientos: balcón, palco y galería. Hay cuatro veces más asientos de galería que de balcón. Hay 200 asientos de palco más que de balcón. El teatro tiene un total de 1.100 asientos. Determina el número de asientos de balcón, palco y galería en el teatro.
Escribe una ecuación en forma pendiente-intercepto que contenga los puntos (10, 65) y (5, 30).
¿120% de qué número es 60?
Nombra el conjunto(s) de números al que pertenece $\sqrt{16}$ .
Divide: $6 \frac{1}{7} \div - 2 \frac{3}{4}$ .
El conjunto es el número de libros en la biblioteca. ¿Cuál de los siguientes es el dominio más adecuado para este conjunto: todos los números reales; números reales positivos; o enteros? Explica tu razonamiento.

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