Soluciones usando el discriminante

En esta Sección aprenderás cómo encontrar el número de soluciones de una ecuación cuadrática calculando el discriminante y cómo usar esta información para resolver problemas.

Supongamos que el balance de tu cuenta corriente en dólares está graficado por la función $B(t)=0.001t^2 - t + 300$ , donde $t$ es el número de días que ha estado abierta la cuenta. ¿Será el balance de tu cuenta alguna vez igual a $100? En esta Sección aprenderás cómo encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática para que puedas encontrar el número de soluciones de la ecuación y puedas responder preguntas del mundo real.

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Enlace multimedia: Este video http://sciencestage.com/v/20592/a-level-maths-:-roots-of-a-quadratic-equation-:-discriminant-:-examsolutions.html - presentado por Science Stage, explica más detalladamente el discriminante usando la fórmula cuadrática.

Orientación

Has visto parábolas que intersectan el eje $x-$ dos veces, una vez, o ninguna. Hay una relación entre el número de interceptos $x-$ reales y la fórmula cuadrática.

Caso 1: La parábola tiene dos interceptos $x-$ Esta situación tiene dos posibles soluciones para $x$ , ya que el valor dentro de la raíz cuadrada es positivo. Usando la fórmula cuadrática, las soluciones son $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Caso 2: La parábola tiene un intercepto $x-$ Esta situación ocurre cuando el vértice de la parábola toca el eje $x-$ Esto es conocido como raíz repetida, o raíz doble. El valor dentro de la raíz cuadrada es cero. Usando la fórmula cuadrática, la solución es $x=\frac{-b}{2a}$ .

Caso 3: La parábola no tiene intercepto $x-$ Esta situación ocurre cuando la parábola no cruza el eje $x-$ El valor dentro de la raíz cuadrada es negativo, por lo que no hay raíces reales. Las soluciones para este tipo de situación son imaginarias, de lo cual aprenderás más en libros posteriores.

El valor dentro de la raíz cuadrada es conocido como discriminante. Se simboliza con $D$ . Éste dicta el número de soluciones reales que tiene la ecuación cuadrática. Esto se puede resumir con el teorema del discriminante. .

Si $D>0$ , la parábola tendrá dos interceptos $x-$ . La ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales.
Si $D=0$ , la parábola tendrá un intercepto $x-$ La ecuación cuadrática tendrá una solución real.
Si $D<0$ , la parábola no tendrá interceptos $x-$ La ecuación cuadrática tendrá cero soluciones reales.

Ejemplo Á

Determina el número de soluciones reales para $-3x^2+4x+1=0$ .

Solución: Si encuentras el valor del discriminante puedes determinar el número de interceptos $x-$ que tiene la parábola y por lo tanto el número de soluciones reales.

$D &= b^2-4(a)(c)\\\D &= (4)^2-4(-3)(1)\\\D &= 16+12=28$

Ya que el discriminante es positivo, la parábola tiene dos interceptos $x-$ reales y por lo tanto dos soluciones reales.

Ejemplo B

Determina el número de soluciones de $-2x^2+x=4$ .

Solución: Ántes de que podamos encontrar el discriminante, debemos escribir la ecuación en forma estándar $ax^2+bx+c=0$ .

Resta 4 a cada lado de la ecuación: $-2x^2+x-4=0$ .

$\text{Find the discriminant:} && D &= (1)^2-4(-2)(-4)\\\&& D &= 1-32=-31$

El valor del discriminante es negativo; no hay soluciones reales para esta ecuación cuadrática. La parábola no cruza el eje $x-$

Ejemplo C

Emma y Bradon son dueños de una fábrica que produce cascos para bicicleta. Su contador dice que su ganancia por año está dada por la función $P=0.003x^2+12x+27,760$ , donde $x$ representa el número de cascos producidos. Su meta es alcanzar una ganancia de $40.000 este año. ¿Es esto posible?

Solución: La ecuación que usaremos es $40,000=0.003x^2+12x+27,760$ . Si encontramos el valor del discriminante puedes determinar si esa ganancia es posible.

Empieza por escribir esta ecuación en forma estándar:

$0 &= 0.003x^2+12x-12,240\\\D &= b^2-4(a)(c)\\\D &= (12)^2-4(0.003)(-12,240)\\\D &= 144+146.88=290.88$

Ya que el discriminante es positivo, la parábola tiene dos soluciones reales. Sí, la ganancia de $40.000 es posible.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Determina el número de soluciones para $x^2-2x+1=0$ .

Solución:

Sustituye los valores en el discriminante:

$D &= b^2-4(a)(c)\\\D &= (-2)^2-4(1)(1)\\\D &= 4-4=0$

Ya que el discriminante es cero, la parábola tiene un intercepto $x-$ real y por lo tanto una solución real.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Discriminant of Quadratic Equations (10:14)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

¿Qué es un discriminante? ¿Qué hace?
¿Cuál es la fórmula para el discriminante?
¿Puedes encontrar el discriminante de una ecuación lineal? Explica tu razonamiento.
Supongamos que $D=0$ . Dibuja un bosquejo de este gráfico y determina el número de soluciones reales.
$D=-2.85$ . Dibuja un posible bosquejo de esta parábola. Indica el número de soluciones reales para esta ecuación cuadrática.
$D>0$ . Dibuja un bosquejo de esta parábola y determina el número de soluciones reales.

Encuentra el discriminante de cada ecuación cuadrática.

$2x^2-4x+5=0$
$x^2-5x=8$
$4x^2-12x+9=0$
$x^2+3x+2=0$
$x^2-16x=32$
$-5x^2+5x-6=0$

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

$-x^2+3x-6=0$
$5x^2=6x$
$41x^2-31x-52=0$
$x^2-8x+16=0$
$-x^2+3x-10=0$
$x^2-64=0$

Una solución a una ecuación cuadrática será irracional si el discriminante no es un cuadrado perfecto. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones serán números racionales. Usando el discriminante, determina si las soluciones son racionales o irracionales.

$x^2=-4x+20$
$x^2+2x-3=0$
$3x^2-11x=10$
$\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{2}{3}=0$
$x^2-10x+25=0$
$x^2=5x$
Marty está afuera de su edificio de departamentos. Necesita entregarle su celular a Yolanda pero no tiene tiempo para subir las escaleras al tercer piso para entregárselo. Lo lanza hacia arriba con una velocidad vertical de 55 pies por segundo. ¿Llegará el teléfono a ella si está a 36 pies de altura? (Pista: La ecuación de la altura está dada por $y=-32t^2+55t+4$ .)
Bryson es dueño de un negocio que fabrica y vende neumáticos. La ganancia por vender neumáticos el mes de julio está dada por la función $R=x(200-0.4x)$ donde $x$ es el número de neumáticos vendido. ¿Puede el negocio de Bryson generar una ganancia de $20.000 el mes de julio?
Marcus patea una pelota de fútbol americano para anotar un gol de campo. La altura de la pelota está dada por la ecuación $y=-\frac{32}{6400}x^2+x$ , donde $y$ es la altura y $x$ es la distancia horizontal que viaja la pelota. Queremos saber si Marcus pateó la pelota con suficiente fuerza para que pase sobre la portería.

Revisión mixta

Factoriza $6x^2-x-12$ .
Encuentra el vértice de $y=-\frac{1}{4} x^2-3x-12$ completando el cuadrado.
Resuelve la siguiente fórmula cuadrática: $-4x^2-15=-4x$ .
¿Cuántos centímetros hay en cuatro fathoms? (Pista: 1 fathom = 6 pies )
Grafica la solución para $\begin{cases} 3x+2y \le -4\\\ x-y>-3 \end{cases}$ .
¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 aderezos de entre 7 opciones?

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