Modelos lineales, exponenciales y cuadráticos

Supongamos que registraste la temperatura más alta para cada día del año. Si quisieras graficar esta información con una función, ¿cómo decidirías si usar un modelo lineal, exponencial o cuadrático? ¿Podría tu calculadora gráfica ayudarte a decidir? Si es así, ¿qué teclas tendrías que presionar en tu calculadora para obtener información relevante? En esta Sección aprenderás sobre usar modelos lineales, exponenciales y cuadráticos para conjuntos de datos como el que acabamos de describir.

Orientación

Hasta ahora en este libro has aprendido cómo graficar tres tipos de ecuaciones muy importantes.

• Ecuaciones lineales en forma punto-pendiente:
• Ecuaciones exponenciales de la forma:
• Ecuaciones cuadráticas en forma estándar:

En aplicaciones del mundo real, la función que describe algunas situaciones físicas no está dada. Encontrar la función es una parte importante de resolver problemas. Por ejemplo, los datos científicos como las observaciones de movimientos planetarios son a menudo recolectados como un conjunto de medidas en una tabla. Una tarea de un científico es descifrar qué función es la más adecuada para los datos. En esta Sección aprenderás algunos métodos que se usan para identificar qué función describe la relación entre las variables dependientes e independientes de un problema.

Cómo usar las diferencias para determinar el modelo

Ál encontrar las diferencias entre los valores dependientes podemos determinar el grado del modelo para los datos.

• Si la primera diferencia es el mismo valor, el modelo será linear.
• Si la segunda diferencia es el mismo valor, el modelo será cuadrático.
• Si el número de veces que se ha sacado la diferencia excede cinco, el modelo puede ser exponencial o alguna otra ecuación especial.

Ejemplo Á

La primera diferencia es el mismo valor (3). Estos datos se pueden graficar usando una recta de regresión lineal.

La ecuación para representar estos datos es .

Cuando miramos la diferencia de los valores debemos asegurarnos de que examinamos entradas para las que los valores incrementan en la misma cantidad.

Ejemplo B

Un ejemplo de un modelo cuadrático se vería de la siguiente forma cuando vemos las segundas diferencias.

Cómo usar proporciones para determinar el modelo

Encontrar las diferencias involucra restar los valores dependientes, lo que nos da el grado del modelo. Si sacamos la proporción de los valores se puede determinar si el modelo es exponencial.

Si la proporción de los valores es la misma, entonces los datos están graficados por una ecuación exponencial como en el ejemplo a continuación.

Ejemplo C

Determinar el modelo usando una calculadora gráfica

Para ingresar datos en tu calculadora, encuentra la tecla [STÁT] Elige [EDIT].

• [L1] representa tu variable independiente, tu .
• [L2] representa tu variable dependiente, tu .

Ingresa los datos en la lista adecuada. Si usamos el primer conjunto de datos para ilustrar obtenemos:

Mira la pantalla. Áquí es donde puedes encontrar la [CÁLCULÁTE] de tu calculadora, encuentra la recta de regresión lineal, linreg.

Look at the screen above. This is donde you can find the recta de regresión cuadrática [QUÁDREG] , la recta de regresión cúbica [CUBICREG] , y la recta de regresión exponencial, [EXPREG].

Revisión en video

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Práctica Guiada

Determina si la función en la tabla es lineal, cuadrática o exponencial.

Solución:

Á simple vista, esta función podría no verse lineal porque la diferencia en los valores no es siempre la misma.

Sin embargo, vemos que la diferencia en los valores es 5 cuando incrementamos los valores en 1, y es 10 cuando incrementamos los valores en 2. Esto significa que la diferencia en los valores siempre es 5 cuando incrementamos los valores en 1. Por lo tanto, la función es lineal.

La ecuación está graficada por .

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Linear, Quadratic, and Exponential Models (8:15)

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1. El segundo conjunto de diferencias tiene los mismos valores. ¿Qué se puede concluir?
2. Supongamos que sacas las diferencias cinco veces diferentes y aún no llegas a un valor común. ¿Qué puedes suponer con certeza?
3. ¿Por qué probarías la proporción de las diferencias?
4. Si tuvieras una función cúbica ( -grado), ¿qué podrías concluir sobre las diferencias?

Determina si los datos se pueden graficar con una ecuación lineal, una ecuación cuadrática, o ninguna de las dos.

¿Se pueden graficar los siguientes datos con una función exponencial?

Determina si los datos se representan mejor con una función cuadrática, lineal, o exponencial. Encuentra la función que grafica mejor los datos.

14. 
15. 
16. 
17. Á medida que una pelota rebota, la altura máxima que alcanza disminuye continuamente. La siguiente tabla muestra la altura del rebote respecto al tiempo.
    1. Usando una calculadora gráfica, crea un diagrama de dispersión de estos datos.
    2. Encuentra la función cuadrática que mejor se adecúa.
    3. Dibuja la función cuadrática que mejor se adecúa sobre el diagrama.
    4. Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota.
    5. Predice qué tan alto está la pelota a los 2,5 segundos.

18. Un químico farmacéutico tiene una muestra de 250 gramos de un material radioactivo. Ella registra la cantidad restante en la muestra cada día por una semana y obtiene los siguientes datos.
    1. Dibuja un diagrama de dispersión con estos datos.
    2. ¿Qué función es más adecuada para los datos: exponencial, lineal o cuadrática?
    3. Encuentra la función más adecuada y dibújala en el diagrama.
    4. Predice la cantidad de material presente después de 10 días.

19. La siguiente tabla muestra el índice de embarazo (por 1000) para mujeres de EE.UU de entre 15 y 19 años (fuente: Departamento de Censo de los EE.UU.). Dibuja un diagrama de dispersión con el índice como variable dependiente y el número de años desde 1990 como variable independiente. Encuentra el modelo más adecuado para los datos. Utiliza ese modelo para predecir el índice de embarazo juvenil en el año 2010.

Revisión mixta

20. Cam compró una bolsa que contiene 16 tazas de harina. Necesita tazas para cada hogaza de pan. Escribe esto como una ecuación de forma pendiente-intercepto. ¿Cuándo se quedará Cam sin harina?
21. Una pelota de basquetbol es lanzada desde una altura inicial de 7 pies con una velocidad inicial de 10 pies/seg.
    1. Escribe una ecuación para graficar esta situación.
    2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
    3. ¿Cuál es el intercepto ? ¿Qué significa?
    4. ¿Cuándo tocará el suelo la pelota?
    5. Usando el discriminante, determina si la pelota alcanzará los 11 pies de altura. Si es así, ¿cuántas veces?

22. Grafica . Identifica el dominio y rango del gráfico.
23. Resuelve .
24. ¿Es esta relación una función? . Si es así, identifica su dominio y rango.
25. Nombra y describe cinco estrategias de resolución de problemas que hayas aprendido hasta ahora.