Áplicaciones de modelos de funciones

Supongamos que una empresa ha registrado el número de empleados que ha tenido al comienzo de cada mes que ha estado funcionando. Quieren graficar estos datos con una función, pero no están seguros de qué tipo de función usar. ¿Puede la empresa hacerse una idea de qué tipo de función usar graficando los datos? Si es así, ¿cómo deberían verse los datos para que se use un modelo lineal? ¿Y con un modelo exponencial o cuadrático? En esta Sección, aprenderás a elegir un modelo de función para conjuntos de datos como este.

Orientación

Á medida que vas aprendiendo más y más habilidades y métodos matemáticos, es importante pensar en el propósito de las matemáticas y en como son parte de algo más grande. Las matemáticas se usan para resolver problemas que surgen de situaciones de la vida real. El graficado matemático es un proceso por el cual empezamos con un problema del mundo real y llegamos a una solución cuantitativa.

Graficar involucra crear un conjunto de ecuaciones matemáticas que describe una situación, resolver estas ecuaciones, y usarlas para entender el problema de la vida real.

Á menudo el modelo necesita ser ajustado porque no describe la situación tan bien como nos gustaría.

Se puede usar un modelo matemático para entender una situación de la vida real aprendiendo cómo funciona el sistema, las variables que son importantes en el sistema, y cómo están relacionadas entre sí. Los modelos también se pueden usar para predecir y pronosticar lo que un sistema hará en el futuro o para diferentes valores de un parámetro. Por último, se puede usar un modelo para estimar las cantidades que son difíciles de evaluar con exactitud.

Los modelos matemáticos son como otros tipos de modelos. La meta no es producir una copia exacta del objeto "real" sino más bien dar una representación de algún aspecto del objeto real. Se puede resumir el proceso de graficar con un diagrama de flujo:

graficar es determinar qué función describe la situación de mejor manera. Á menudo encontramos que la función que elegimos no es la adecuada. Entonces debemos elegir una diferente.

Consideremos un experimento sobre la elasticidad de un resorte.

Ejemplo Á

Un resorte se estira a medida que sujetas peso en su fondo. La siguiente tabla muestra el largo del resorte en pulgadas para diferentes pesos en onzas.

a) Encuentra el largo del resorte en función del peso sujetado a él.

b) Encuentra el largo del resorte cuando sujeta 5 onzas.

c) Encuentra el largo del resorte cuando sujeta 19 onzas.

Solución:

Empieza por graficar los datos para ver cómo se vería el modelo.

• Estos datos claramente no caben en una ecuación lineal. Tiene una curva distinta que no se puede graficar con una línea recta.
• El gráfico tampoco parece ser una parábola; por lo tanto, no se puede graficar con una ecuación cuadrática.
• La curva no corresponde a una curva exponencial estudiada anteriormente.
• Sacando el tercer conjunto de diferencias, el valor es aproximadamente igual. Usa los métodos aprendidos en Secciones anteriores para encontrar una ecuación de regresión cúbica. Revisa con un gráfico para ver si este modelo es el adecuado.

Ejemplo B

Se golpea una pelota de golf y ésta sigue una trayectoria recta. La siguiente tabla muestra la altura de la bola con respecto al tiempo. Se golpea la bola con un ángulo de respecto al horizonte con una velocidad de 40 metros/seg .

a) Encuentra la altura de la pelota en función del tiempo.

b) Encuentra la altura de la pelota cuando .

c) Encuentra la altura de la pelota cuando .

Solución:

Empieza por graficar los datos para visualizar el modelo.

Los datos encajan bastante bien en una curva parabólica. Por lo tanto podemos concluir que el mejor modelo para estos datos es una ecuación cuadrática.

Para resolver la parte a), una calculadora gráfica para determinar la recta de regresión cuadrática.

b) La altura de la pelota cuando es:

c) La altura de la pelota cuando es

Ejemplo C

Encuentra un modelo para la siguiente tabla de valores:

Solución:

Empieza por graficar los puntos para tener una idea de la forma. Esto puede ayudarnos a descartar ciertos modelos y orientarnos hacia qué modelos nos podrían servir.

El gráfico se ve casi recto, pero tiene una pequeña curva, por lo que no puede ser lineal. Podría ser cuadrático o cúbico, pero veamos si es exponencial:

Ya que las proporciones son las mismas e iguales a 1,1, es una función exponencial con un factor de crecimiento de 1,1. Dado el punto (0,4), el valor inicial es 4. La función es:

Revisión en video

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Práctica Guiada

Las ganancias en dólares de una empresa están dadas en la siguiente tabla. Encuentra el modelo que describe la relación de ganancia como una función del tiempo en años:

Solución:

Empieza por graficar los puntos para tener una idea de la forma.

La curva se ve como que puede ser cuadrática o exponencial. Si revisamos las proporciones veremos que no son las mismas. Si sacamos las diferencias de las diferencias obtenemos:

Ya que las diferencias de las diferencias son las mismas, este es un modelo cuadrático.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos.

CK-12 Basic Álgebra: Identifying Quadratic Models (8:05)

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CK-12 Basic Álgebra: Identifying Exponential Models (4:00)

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CK-12 Basic Álgebra: Quadratic Regression (9:17)

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1. Un cilindro delgado está lleno de agua hasta una altura de 50 centímetros. El cilindro tiene un agujero en el fondo que está tapado con un tapón. Se saca el cilindro en el momento y se vacía el cilindro. Los siguientes datos muestran la altura del agua en el cilindro en diferentes momentos.
   1. ¿Cuál parece ser el mejor modelo para esta situación?
   2. Encuentra la recta de regresión lineal y determina la altura del agua a los 4,2 segundos.
   3. Encuentra una ecuación cuadrática y determina la altura del agua a los 4,2 segundos.
   4. Encuentra una recta de regresión cúbica y determina la altura del agua a los 4,2 segundos.
   5. ¿Cuál de ellas parece ser la más adecuada?
   6. Usando la función más adecuada, encuentra la altura del agua cuando .
   7. Usando la función más adecuada, encuentra la altura del agua cuando .

2. Un científico cuenta 2.000 peces en un lago. La población de peces incrementa a una tasa de 1,5 peces por generación pero el lago tiene espacio y comida para solamente 2.000.000 de peces. La siguiente tabla muestra el número de peces (en miles) en cada generación.
   1. ¿Qué función parece ser la más adecuada: lineal, cuadrática o exponencial?
   2. Encuentra el modelo para la función más adecuada.
   3. Encuentra el número de peces como una función de generación.
   4. Encuentra el número de peces en la generación 10.
   5. Encuentra el número de peces en la generación 25.

3. Usando el ejemplo de la pelota de golf, encuentra la altura máxima que alcanza la pelota.
4. Usando el ejemplo de la pelota de golf, evalúa la altura de la pelota a los 5,2 segundos.

Revisión mixta

5. Evalúa .
6. 60 camisas cuestan $812,00. 115 camisas cuestan $1.126,00. Suponiendo que la relación entre el número de camisas y el costo total es lineal, escribe una ecuación en forma punto-pendiente.
   1. ¿Cuál es el costo inicial?
   2. ¿Cuál es la pendiente? ¿Qué representa?

7. Resuelve graficando: .
8. Simplifica .
9. La segunda ley de Newton afirma que . Reescribe esta ecuación para resolver para . Úsala para determinar la masa si la fuerza es de 300 Newton y la aceleración es 70 m/seg. m/sec.
10. El área de un tablero cuadrado es 256 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es el largo de un lado?
11. Escribe como porcentaje: .