Gráficos de Funciones de Raíz Cuadrada

En esta Sección, aprenderás sobre las funciones de la raíz cuadrada y sus gráficos.

Supón que un relojero está decidiendo qué tan larga debe hacer la cara circular de un reloj. Sabe que el radio de un círculo, como una función de su área es $r(a)=\frac{\sqrt{a}}{1.77}$ . ¿Cómo debe graficar esta función? ¿En cuál o cuáles cuadrantes debe ubicarse el gráfico? ¿Puede usar una calculadora gráfica para graficar la función? En esta Sección, aprenderás a graficar funciones de raíz cuadrada como la que vemos en este problema.

Orientación

Haz usado las raíces cuadradas muchas veces en este libro: para simplificar, evaluar y resolver. Esta Sección se enfocará en el gráfico de la función de la raíz cuadrada.

La función de la raíz cuadrada se define como $f(x)=\sqrt{x-h}+k$ , donde $x-h\ge0$ y $(h,k)$ representa el origen de la curva.

Ejemplo A

El gráfico de la función modelo $f(x)=\sqrt{x}$ se muestra a continuación. La función no está definida por los valores negativos de $x$ ; no puedes tomar la raíz cuadrada de un número negativo y obtener un número real.

Al desplazar la función de la raíz cuadrada alrededor del plano cartesiano, podrás cambiar el origen de la curva.

Ejemplo B

Grafica $f(x)=\sqrt{x}+4$ y compárala con la función modelo.

Solución:

Este gráfico ha sido desplazado verticalmente hacia arriba cuatro unidades de la función modelo, $f(x)=\sqrt{x}$ . El gráfico se muestra a continuación.

Graficar Funciones de Raíz Cuadrada Usando una Calculadora

Graficar funciones de raíz cuadrada es similar a graficar funciones lineales, cuadráticas o exponenciales.

Ejemplo C

Grafica la función modelo $f(x)=\sqrt{x}$ usando los siguientes pasos.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

La relación de aspecto de la pantalla de una televisión es 2,39:1. Grafica la longitud de la diagonal de la pantalla como una función del área de la pantalla. ¿Cuál es la diagonal de una pantalla que posee un área de $150 \ in^2$ ?

Solución:

Ya que la diagonal de una pantalla es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el ancho y la altura, podemos encontrar la razón de la diagonal usando el Teorema de Pitágoras:

$\text{The Pythagorean Theorem:} && a^2+b^2 &=c^2\\\\text{Substitute in the values of the width and height:} && 2.39^2 + 1^2 &=c^2\\\\text{Simplify:} &&6.71&\approx c^2 \\\\text{Take the square root of each side:}&& \sqrt{6.71}&\approx \sqrt{c^2}\Rightarrow 2.59\approx c$

La razón entre el ancho y la altura de la pantalla es 2,39 a 1. Esto significa que cualquier múltiplo de estos números puede ser las longitudes reales. Podemos escribir una expresión para el ancho, $2.39x$ , y una expresión para la altura, $1x=x$ . A partir de estas expresiones, el área es:

$A=w\cdot h=2.39x\cdot x=2.39x^2$

Necesitamos una función donde el área $A$ es el valor y la longitud diagonal es el resultado. Ya que la función de la diagonal es 2,59, entonces la longitud es $2.59x$ .

Si creamos la función $f(x)=2.59x$ , esta representa la diagonal de la pantalla como una función de $x$ , la que es la altura de la pantalla. Solo necesitamos usar la ecuación para el área, pero calculamos $x$ :

$\text{Start with the equation for the area.} && A&=2.39x^2 \\\\text{Isolate x by dividing both sides by 2.39.} && \frac{A}{2.39}&=x^2\\\ \text{Take the square root of each side.} && \sqrt{\frac{A}{2.39}}&=x\\\ \text{Simplify by applying the square root to the top and bottom of the fraction.} && \frac{\sqrt{A}}{1.55}&=x$

Ahora, sustituye $\frac{\sqrt{A}}{1.55}=x$ a $f(x)=2.59x$ :

$f(A)=2.59\left(\frac{\sqrt{A}}{1.55}\right)=1.67\sqrt{A}.$

Esta es una función que toma el valor $A$ , el área en pulgadas cuadradas y $f(A)$ , la longitud de la diagonal en pulgadas.

Grafíca la función y úsala para encontrar la longitud de la diagonal cuando el área es $150 \ in^2$ .

Encuentra el valor de la función cuando $A=150$ . Parece que el valor de la función es entre 20 y 21.

Es difícil ver esto en el gráfico de forma exacta. Puedes graficar la función en tu calculadora y usar el botón TRACE para encontrar el valor exacto. Primero, debes ingresar la función presionando el botón Y= y luego presiona WINDOW para establecer el rango de $X$ y de $Y$ para que incluyan el punto donde $X=150$ .

Al observar TRACE en la calculadora gráfica, puedes ver que:

$f(150)\approx 20.45$ .

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Graficas of Square Root Functions (15:01)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

En la definición de la función de una raíz cuadrada, ¿por qué debe ser $(x-h) \ge 0$ ?
¿Cuál es el dominio y rango de la función modelo $f(x)=\sqrt{x}$ ?

Identifica el par ordenado del origen de cada función de raíz cuadrada.

$f(x)=\sqrt{x-2}$
$g(x)=\sqrt{x+4}+6$
$h(x)=\sqrt{x-1}-1$
$y=\sqrt{x}+3$
$f(x)=\sqrt{2x}+4$

Grafica las siguientes funciones en los mismos ejes del plano cartesiano.

$y=\sqrt{x}, \ y=2.5 \sqrt{x}$ , y $y=-2.5 \sqrt{x}$
$y=\sqrt{x}, \ y = 0.3 \sqrt{x}$ , y $y=0.6 \sqrt{x}$
$y=\sqrt{x}, \ y=\sqrt{x-5}$ , y $y=\sqrt{x+5}$
$y =\sqrt{x}, \ y = \sqrt{x} + 8$ , y $y=\sqrt{x}-8$

En 12-20, grafica la función.

$y = \sqrt{2x-1}$
$y = \sqrt{4x+4}$
$y = \sqrt{5-x}$
$y = 2\sqrt{x}+5$
$y = 3-\sqrt{x}$
$y = 4 + 2\sqrt{x}$
$y = 2\sqrt{2x+3}+1$
$y = 4 + 2\sqrt{2-x}$
$y = \sqrt{x+1}-\sqrt{4x-5}$
La longitud entre dos bases consecutivas de beisbol es de 90 pies. ¿Qué tan corto es para el catcher caminar por la diagonal desde primera base a segunda base en relación con el corredor que lo hace de la segunda a la primera?
Las unidades de la aceleración de gravedad se dan en pies por centímetro cuadrado. Es $g=32 \ ft/s^2$ a nivel del mar. Grafica el período de un péndulo respecto a su longitud en pies. ¿Cuál debe ser la longitud en pies de un péndulo para que el período sea de dos segundos?
La aceleración de gravedad en la Luna es de $1.6 \ m/s^2$ . Grafica el período de un péndulo en la Luna respecto a su longitud en metros. ¿Cuál debe ser su longitud en metros para que el período sea de 10 segundos?
La aceleración de gravedad en Marte es de $3.69 \ m/s^2$ . Grafica el período de un péndulo en Marte respecto a su longitud en metros. ¿Cuál debe ser su longitud en metros para que el período sea de 3 segundos?
La aceleración de gravedad en la Tierra depende de la altitud y latidud del lugar. El valor de $g$ es ligeramente menor en lugar cercanos al Ecuador que en lugares cercanos a los polos. Del mismo modo, el valor de $g$ es ligeramente menor a mayores altitudes. En Helsinski, el valor es $g=9.819 \ m/s^2$ , en Los Angeles e valor es $g=9.796 \ m/s^2$ , y en Ciudad de México el valor es $g=9.779 \ m/s^2$ . En el mismo gráfico, grafica el período de un péndulo respecto a su longitud para las tres ciudades. Usa la fórmula para encontrar la longitud (en metros) de un péndulo con un período de 8 segundos para cada una de estas ciudades.

Graficas las siguientes funciones usyo una calculadora gráfica.

$y=\sqrt{3x-2}$
$y=4+\sqrt{2-x}$
$y = \sqrt{x^2-9}$
$y = \sqrt{x} - \sqrt{x+2}$

Repaso Mixto

Resuelve $16=2x^2-3x+4$ .
Escribe una ecuación para una recta con una con una pendiente de 0,2 y que contenga el punto (1, 10).
¿Son estas líneas paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos? $x+5y=16$ y $y=5x-3$ ?
¿Cuál de los siguientes vértices minimiza la expresión ?
1. (50, 0)
2. (0, 60)
3. (15, 30)

¿Es el siguiente gráfico una función? Explica.
¿Entre cuáles dos enteros consecutivos se encuentra $\sqrt{205}$ ?