Simplificación de Expresiones Radicales

En esta Sección, aprenderás a simplificar expresiones radicales.

Supón que un zapatero ha determinado que el peso ideal en onzas de un par de zapatillas para correr sea de $\sqrt[4]{20000}$ . ¿Cuántas onzas serán? ¿Hay alguna forma de que puedas reescribir esta expresión para que sea más fácil de entender? En esta Sección, aprenderás a simplificar expresiones radicales como esta para que puedas escribirlas de muchas formas.

Orientación

Los radicales son las raíces de los valores. De hecho, la palabra radical viene del latín "radix", que significa "raíz". Estás más familiarizado con el símbolo de la raíz cuadrada $\sqrt{x}$ ; sin embargo, hay muchos más símbolos radicales.

Un radical es una expresión matemática que involucra una raíz mediante un signo radical.

$\sqrt[3]{y}=x && \text{because} \ x^3=y && \sqrt[3]{27}=3, \ because \ 3^3=27\\\\sqrt[4]{y}=x && \text{because} \ x^4=y && \sqrt[4]{16}=2 \ because \ 2^4=16\\\\sqrt[n]{y}=x && \text{because} \ x^n=y &&$

Algunas raíces no poseen valores reales; en este caso, se llaman indeterminaciones .

Incluso las raíces de números negativos son indeterminaciones .

$\sqrt[n]{x}$ es una indeterminación cuando $n$ es un número entero par y $x<0$ .

Ejemplo A

Evalúa los siguientes radicales:

$\sqrt[3]{64}$
$\sqrt[4]{-81}$

Solución:

$\sqrt[3]{64} = 4$ ya que $4^3=64$

$\sqrt[4]{-81}$ es una indeterminación porque $n$ es un número entero par y $-81<0$ .

En una Sección anterior, has aprendido cómo evaluar exponentes racionales:

$a^{\frac{x}{y}} \ where \ x=power \ and \ y=root$

Esto se puede escribir en notación radical usando la siguiente propiedad.

Propiedad del Exponente Racional: Para valores enteros de $x$ y valores totales de $y$ :

$a^{\frac{x}{y}}= \sqrt[y]{a^x}$

Ejemplo B

Reescribe $x^{\frac{5}{6}}$ usando notación radical.

Solución:

Esto se lee correctamente como la sexta raíz de $x$ elevada a la quinta potencia. Escribe en notación radical, $x^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{x^5}$ , donde $x^5>0$ .

También puedes simplificar otros radicales, como las raíces cúbicas y cuadráticas.

Ejemplo C

Simplifica $\sqrt[3]{135}$ .

Solución:

Comienza por encontrar la factorización prima de 135. Esto se puede realizar fácilmente usando un árbol de factores.

$&\sqrt[3]{135}= \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5}\\\& 3 \sqrt[3]{5}$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Evalúa $\sqrt[4]{4^2}$ .

Solución: Esto se lee, "la raíz cuadrática de cuatro elevada al cuadrado".

$4^2=16$

La raíz cuadrática de 16 es 2; por lo tanto,

$\sqrt[4]{4^2}=2$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos CK-12 Basic Algebra: Radical Expressions with Higher Roots (8:46)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

1. ¿Para qué valores de $n$ es $\sqrt[n]{-16}$ una indeterminación?

Evalúa cada expresión radical.

$\sqrt{169}$
$\sqrt[4]{81}$
$\sqrt[3]{-125}$
$\sqrt[5]{1024}$

Escribe cada expresión como un exponente racional.

$\sqrt[3]{14}$
$\sqrt[4]{zw}$
$\sqrt{a}$
$\sqrt[9]{y^3}$

Escribe las siguientes expresiones en la forma radical más simple.

$\sqrt{24}$
$\sqrt{300}$
$\sqrt[5]{96}$
$\sqrt{\frac{240}{567}}$
$\sqrt[3]{500}$
$\sqrt[6]{64x^8}$

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