Multiplicación y División de Radicales

En esta Sección aprenderás a multiplicar y dividir por radicales, así como también a racionalizar denominadores.

¿Qué tal si supieras que el área de un espejo rectangular es de $12 \sqrt{6}$ pies cuadrados y que el ancho del espejo es de $2 \sqrt{2}$ pies? ¿Puedes encontrar la longitud del espejo? ¿Qué operación debes realizar? Si supieras el ancho y la longitud del espejo, ¿puedes encontrar su área? ¿Qué operación debes realizar en este caso? En esta Sección, aprenderás a multiplicar y dividir radicales para que puedas responder preguntas de este tipo.

Orientación

Para multiplicar radicandos (números al interior de la raíz), las raíces deben ser las mismas.

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{ab}$

Ejemplo A

Simplifica $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ .

Solución:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$

Dividir radicales es más complicado. Un radical en el denominador de una fracción no se puede simplificar, según los matemáticos. Para simplificar la fracción, debes racionalizar el denominador.

Racionalizar el denominador significa remover cualquier signo radical del denominador de la fracción usando la multiplicación.

Recuerda: $\sqrt{a} \times \sqrt{a}= \sqrt{a^2}=a$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Solución:

Debemos despejar el denominador de su radical usando la propiedad anterior. Recuerda , lo que le haces a una parte de la fracción, debes hacerlo a todas las otras partes.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Radicales Cotidianos

Ejemplo C

La longitud de una piscina es dos veces mayor que su ancho y está rodeada por un sendero de un ancho de 1 pie. El área combinada de la piscina y el sendero es de 400 pies cuadrados. Encuentra las dimensiones de la piscina y el área de la piscina.

Solución:

Haz un boceto.
Sea $x=$ el ancho de la piscina.
Escribe una ecuación. $Area=length \cdot width$

Longitudes combinadas de la piscina y del sendero $=2x+2$

Anchos combinados de la piscina y del sendero $=x+2$

$\text{Area}=(2x+2)(x+2)$

Ya que el área combinada de la piscina y el sendero es de $400 \ ft^2$ , podemos escribir la ecuación.

$(2x+2)(x+2)=400$

4. Resuelve la ecuación:

$&& & (2x+2)(x+2)=400\\\& \text{Multiply in order to eliminate the parentheses}. && 2x^2+4x+2x+4=400\\\& \text{Collect like terms}. && 2x^2+6x+4=400\\\& \text{Move all terms to one side of the equation}. && 2x^2+6x-396=0\\\& \text{Divide all terms by} \ 2. && x^2+3x-198=0$

$x & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\& = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(-198)}}{2(1)}\\\& = \frac{-3\pm \sqrt{801}}{2} \approx \frac{-3\pm 28.3}{2}$

Usa la fórmula cuadrática, $x \approx 12.65$ o -15,65 pies

5. Podemos ignorar la solución negativa ya que no tiene sentido en este contexto. Entonces, podemos comprobar nuestra respuesta de 12,65 sustituyendo el resultado en la fórmula del área.

$\text{Area} = [2(12.65)+2)](12.65+2)=27.3 \cdot 14.65 \approx 400 \ ft^2.$

La respuesta concuerda.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Simplifica $\frac{7}{\sqrt[3]{5}}$ .

Solución:

En este caso, debemos transformar el número dentro de la raíz cúbica en un cubo perfecto. Necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt[3]{5^2}$ .

$\frac{7}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{7\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{7\sqrt[3]{25}}{5}$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos

CK-12 Basic Algebra: How to Rationalize a Denominator (10:18)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Multiplica las siguientes expresiones.

$\sqrt{6}\left ( \sqrt{10} + \sqrt{8} \right )$
$\left ( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right )$
$\left ( 2\sqrt{x}+ 5 \right ) \left ( 2\sqrt{x}+5 \right )$

Racionaliza el denominador.

$\frac{7}{\sqrt{15}}$
$\frac{9}{\sqrt{10}}$
$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}y}$
El volumen de una esfera es de $950 cm^3$ . Encuentra el radio de la esfera. (Volumen de una esfera $=\frac{4}{3} \pi R^3$ )
Un cuadro rectangular tiene 9 pulgadas de ancho y 12 de longitud. El cuadro tiene un marco de ancho uniforme. Si el área combinada del cuadro y el marco es de $180 in^2$ , ¿cuál es el ancho del marco?
El volumen de una lata de bebida es de $355 \ cm^3$ . La altura de la lata es cuatro veces mayor que el radio de la base. Encuentra el radio de la base del cilindro.

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