Ecuaciones Radicales

En esta Sección aprenderás a encontrar las soluciones a ecuaciones radicales.

Supón que el profesor de matemáticas ha ordenado que trabajen en parejas y te pidió encontrar la longitud de un segmento de línea. Obtienes $\sqrt{2x+6}$ unidades para la longitud y tu compañero obtiene 10 unidades. Le preguntas al profesor quién está en lo correcto y ¡dice que los dos! ¿Puedes escribir una ecuación y calcular $x$ en este caso? ¿Cómo lo harías? En esta Sección, aprenderás a resolver ecuaciones radicales como la que escribimos acá.

Orientación

Resolver ecuaciones radicales no es diferente de resolver ecuaciones lineales o cuadráticas. Antes de comenzar a resolver una ecuación radical, debes saber cómo anual el radical. Para hacer esto, debes saber su inverso. .

Operación Original	Operación Inversa
Raíz cúbica	Elevar al cubo (tercera potencia)
Raíz cuadrada	Elevar al cuadrado (segunda potencia)
Cuarta Raíz	Cuarta potencia
“ $n$ ésima" Raíz	“ $n$ ésima" potencia

Para resolver una ecuación radical, aplicas los pasos para resolver la ecuación que aprendiste en Secciones anteriores, incluso las operaciones inversas para raíces.

Ejemplo A

Resuelve $\sqrt{2x-1}=5$ .

Solución:

La primera operación que se debe remover es la raíz cuadrada. Eleva al cuadrado ambos lados.

$\left ( \sqrt{2x-1} \right )^2&=5^2\\\2x-1&=25\\\2x&=26\\\x&=13$

Recuerda comprobar tu respuesta sustituyendola en el problema original para ver si concuerda.

Soluciones Extrañas

No todas las soluciones de una ecuación radical se pueden comprobar en el problema original. Esto se llama una solución extraña . Esto significa que puedes encontrar una solución usando álgebra, pero no funcionará para comprobarla. Esto se debe a la regla de una Sección anterior:

$\sqrt[n]{x}$ es una indeterminación cuando $n$ es un número par entero y $x<0$ ,

o, escrito, raíces pares de números negativos son indeterminaciones.

Ejemplo B

Calcula $\sqrt{x-3}-\sqrt{x}=1$ .

Solución:

$\text{Isolate one of the radical expressions}. \qquad \ \sqrt{x-3}&=\sqrt{x}+1\\\\text{Square both sides}. \quad \left ( \sqrt{x-3} \right )^2 & = \left ( \sqrt{x}+1 \right )^2\\\\text{Remove parentheses}. \qquad \quad \ x-3&=\left ( \sqrt{x} \right )^2 + 2\sqrt{x}+1\\\\text{Simplify}. \qquad \quad \ x-3&=x+2\sqrt{x}+1\\\\text{Now isolate the remaining radical}. \qquad \qquad -4&=2\sqrt{x}\\\\text{Divide all terms by} \ 2. \qquad \qquad -2 &= \sqrt{x}\\\\text{Square both sides}. \qquad \qquad \quad \ x&=4$

Comprueba: $\sqrt{4-3} \stackrel{?}{=} \sqrt{4}+1\Rightarrow \sqrt{1} \stackrel{?}{=} 2+1 \Rightarrow 1\neq 3$ . La solución no se puede comprobar. La ecuación no tiene soluciones reales. Por lo tanto, $x=4$ es una solución extraña.

Ecuaciones Radicales Cotidianas

Ejemplo C

Una esfera tiene un volumen de $456 \ cm^3$ . Si el radio de la esfera aumenta en 2 cm, ¿cuál es su nuevo volumen?

Solución:

Define las variables. Sea $R=$ el radio de la esfera.
Encuentra una Ecuación. El volumen de una esfera se conoce por la fórmula: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ .

Sustituyendo 456 por la variable del volumen, la ecuación se transforma en $456=\frac{4}{3} \pi r^3$ .

$\text{Multiply by} \ 3: \qquad \quad 1368 &= 4\pi r^3\\\\text{Divide by} \ 4\pi: \qquad 108.92&=r^3\\\\text{Take the cube root of each side:} \qquad \qquad \ r&=\sqrt[3]{108.92} \Rightarrow r = 4.776 \ cm\\\\text{The new radius is 2 centimeters more:} \qquad \qquad \ r &= 6.776 \ cm\\\\text{The new volume is}: \qquad \qquad V &= \frac{4}{3}\pi (6.776)^3 = 1302.5 \ cm^3$

Comprueba sustituyendo los valores del radio en la fórmula del volumen.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (4.776)^3=456 \ cm^3$ . La solución concuerda

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Resuelve $\sqrt{x+15}=\sqrt{3x-3}$ .

Solución:

Comienza anulando las raíces cuadradas elevando al cuadrado ambos lados.

$\left ( \sqrt{x+15} \right )^2&=\left ( \sqrt{3x-3} \right )^2\\\x+15&=3x-3\\\\text{Isolate the} \ x-\text{variable}: \qquad \qquad 18 & = 2x\\\x&=9$

Comprueba la solución: $\sqrt{9+15}=\sqrt{3(9)-3} \rightarrow \sqrt{24}=\sqrt{24}$ . La solución concuerda.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Extraneous Solutions to Radical Equations (11:10)

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CK-12 Basic Algebra: Radical Equation Ejemplos (5:16)

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CK-12 Basic Algebra: More Involved Radical Equation Ejemplo (11:54)

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En 1-16, encuentra la solución a cada una de las siguientes ecuaciones radicales. Identifica las soluciones extrañas.

$\sqrt{x+2}-2=0$
$\sqrt{3x-1}=5$
$2\sqrt{4-3x}+3=0$
$\sqrt[3]{x-3}=1$
$\sqrt[4]{x^2-9}=2$
$\sqrt[3]{-2-5x}+3=0$
$\sqrt{x}=x-6$
$\sqrt{x^2-5x}-6=0$
$\sqrt{(x+1)(x-3)}=x$
$\sqrt{x+6}=x+4$
$\sqrt{x}=\sqrt{x-9}+1$
$\sqrt{3x+4}=-6$
$\sqrt{10-5x}+\sqrt{1-x}=7$
$\sqrt{2x-2}-2\sqrt{x}+2=0$
$\sqrt{2x+5}-3\sqrt{2x-3}=\sqrt{2-x}$
$3\sqrt{x}-9=\sqrt{2x-14}$
El área de un triángulo es $24 \ in^2$ y la altura del triángulo es el doble que la longitud y la base. ¿Cuál es la base y la altura del triángulo?
El volumen de una pirámide cuadrada se conoce por la fórmula $V=\frac{A(h)}{3}$ , donde $A=$ area de la base y $h=$ altura de la pirámide . El volumen de una pirámide cuadrada es de 1.600 metros cúbicos. Si su altura es de 10 metros, encuentra el área de su base.
El volumen de un cilindro es de $245 \ cm^3$ y su altura es un tercio del diámetro de la base. El diámetro del cilindro es el mismo, pero su altura aumenta en dos centímetros. ¿Cuál es el volumen del nuevo cilindro? $(\text{Volume} = \pi r^2 \cdot h)$
La altura de una pelota de golf a medida que se desplaza por el aire se conoce por la ecuación $h=-16t^2+256$ . Encuentra el tiempo cuando la pelota esté a una altura de 120 pies.

Repaso Mixto

Joy vende dos tipos de lana: natural y sintética. La lana natural cuesta $12 por madeja y la sintética $9. Si Joy vende 1 madejas de lana sintética y juntó un total de $432, ¿cuántas madejas de lana natural vendió?
Resuelve $16 \ge |x-4|$ .
Grafica la solución: $\begin{cases}y \le 2x-4\\\y>-\frac{1}{4} x+6\end{cases}$ .
Eliges un día al azar de febrero de 2011. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un lunes?
El carbono-14 tiene una vida media de 5.730 años. Tu perro excavó un huseo del patio. Le queda un 93% de carbono-14. ¿Cuán viejo es el hueso?
¿Qué hay de cierto sobre las soluciones a sitalloas inconsistentes?

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