Teorema de Pitágoras y su Inverso

En esta Sección aprenderás a resolver problemas usando el Teorema de Pitágoras y el inverso de este teorema.

Supón que estás armando una carpa y una vara de 8 pies hace un ángulo recto con el suelo. Si una cuerda va desde la punta de la vara a un punto en el suelo a 12 pies desde la base de la vara, ¿cuánto mide la cuerda? ¿Cómo calcularías su longitud? En esta Sección, aprenderás sobre el Teorema de Pitágoras y su inverso para que puedas resolver problemas cotidianos como este.

Intenta Esto

Enlace Multimedia: Para una versión interactiva del Teorema de Pitágoras, usa este Shockwave http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/puzzle/theorem.html - applet producido por NOVA y PBS.

Orientación

Uno de los teoremas más importantes de la historia es el de Pitágoras. Simplemente establece que "la suma de los cuadrados de cada cateto de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Revisemos la anatomía básica de un triángulo rectángulo.

Los dos segmentos que forman el ángulo recto $(90^\circ)$ se llaman catetos del triángulo rectángulo. El segmento opuesto al triángulo rectángulo se llama hipotenusa. .

Entonces, el Teorema de Pitágoras establece , $(\text{leg}_1)^2+(\text{leg}_2)^2 = (\text{hypotenuse})^2$ :

$a^2+b^2=c^2$

O, para encontrar la hipotenusa, $c=\sqrt{a^2+ b^2}$ .

Nota que esta relación solo sirve para triángulos rectángulos . En cursos posteriores, aprenderás a determinar relaciones con triángulos no rectángulos.

Aunque usualmente hablamos del Teorema de Pitágoras cuando determinamos la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, el teorema en su origen tenía relación con las áreas. Si construímos cuadrados a cada lado del triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se forman en los catetos del triángulo.

El Inverso del Teorema de Pitágoras

El Inverso del Teorema de Pitágoras también es verdadero. Este es, si las longitudes de tres lados de un triángulo hacen que la ecuación $a^2+b^2=c^2$ sea verdadera, entonces representan los lados de un triángulo rectángulo.

Con este inverso, puedes usar el Teorema de Pitágoras para comprobar que un triángulo es rectángulo, incluso si no sabes alguna medida de sus ángulos.

Ejemplo A

¿Contiene el siguiente triángulo un ángulo recto?

Solución: Este triángulo no tiene ninguna señal de ángulo recto o ángulos medidos, por lo que no puedes asumir si el triángulo es agudo, recto u obtuso solo con mirarlo. Detente un momento para analizar las longitudes de los lados y cómo están relacionadas. Dos de los lados, 15 y 17, tienen una longitud similar. El tercer lado, 8, es casi la mitad de los dos lados más largos.

Para ver si el triángulo puede ser rectángulo, intenta sustituir las longitudes de los lados al Teorema de Pitágoras para ver si cumplen con la ecuación. La hipotenusa siempre es el lado más largo, entonces 17 se debe reemplazar por $c$ . Los otros dos valores se pueden representar como $a$ y $b$ y el orden no importan.

$a^2+b^2 & = c^2\\\8^2+15^2&=17^2\\\64+225 &= 289\\\289 & = 289$

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales, estos valores cumplen con el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, el triángulo del problema es rectángulo.

Ejemplo B

Un cateto de un triángulo rectángulo es 5 más que el otro. La hipotenusa es uno más que el doble del tamaño del cateto corto. Encuentra las dimensiones del triángulo.

Solución:

Sea $x=$ longitud del cateto corto. Entonces, $x+5=$ longitud del cateto largo y $2x+1=$ longitud de la hipotenusa.

Los lados del triángulo deben cumplir con el Teorema.

$&\text{} && x^2+(x+5)^2 = (2x+1)\\\&\text{Eliminate the parentheses.} && x^2+x^2+10x+25 = 4x^2+4x+1\\\&\text{Move all terms to the right hand side of the equation.} && 0 = 2x^2-6x-24\\\&\text{Divide all terms by} \ 2. && 0 = x^2-3x-12\\\&\text{Resuelve using the quadratic formula.} && x =\frac{3 \pm \sqrt{9+48}}{2}=\frac{3 \pm \sqrt{57}}{2}\\\&&& x \approx 5.27 \ \text{or} \ x \approx -2.27$

La solución negativa no tiene sentido en este contexto. Entonces, usa $x=5.27$ y obtenemos $\text{short}-\text{leg}=5.27, \ \text{long}-\text{leg}=10.27$ e $\text{hypotenuse} = 11.54$ .

Triángulos Rectángulos Cotidianos

Ejemplo C

Encuentra el área de la región ensombrecida del siguiente diagrama.

Solución:

Traza la diagonal del cuadrado de la figura.

Nota que la diagonal del cuadrado siempre es el diámetro del círculo.

Define las variables. Sea $c=$ diámetro del círculo.

$&& 2^2+2^2 &= c^2\\\&& 4+4&=c^2\\\\text{Write the formula and solve}. && c^2& =8 \Rightarrow c = \sqrt{8} \Rightarrow c = 2\sqrt{2}$

El diámetro del círculo es $2\sqrt{2}$ . Entonces, el radio es $r=\sqrt{2}$ .

El área de un círculo es $A=\pi r^2 = \pi \left ( \sqrt{2} \right )^2 = 2 \pi$ .

El área de la región ensombrecida es, por lo tanto, $2\pi -4 \approx 2.28$ .

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Determina si un triángulo de lados 5, 6 y 8 es o no rectángulo.

Solución:

Usa el Opuesto del Teorema de Pitágoras:

$\text{Start with the Pythagorean equation.} && a^2+b^2&=c^2\\\\text{Substitute in the values of the sides.} && 5^2+6^2&\stackrel{?}{=} 8^2\\\\text{Simplify.} && 25+36&\stackrel{?}{=} 64\\\\text{Check.} && 61 &\ne 64\\\$

Ya que las medidas de los lados no cumplen con la ecuación del Teorema, el triángulo no es rectángulo.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Pythagorean Theorem (13:03)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Verifica que cada triángulo sea rectángulo

$a=12, \ b=9, c=15$
$a=6, \ b=6, \ c=6\sqrt{2}$
$a=8, \ b=8\sqrt{3}, \ c=16$

Encuentra la longitud que falta de cada triángulo rectángulo.

$a=12, \ b=16, \ c=?$
$a=?, \ b=20, \ c=30$
$a=4, \ b=?, \ c=11$
Un cateto de un triángulo rectángulo es de 4 pies menos que la hipotenusa. El otro cateto es de 12 pies. Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo.
Un cateto de un triángulo rectángulo es 3 más que el doble de la longitud del otro. La hipotenusa es el triple de la longitud del cateto corto. Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo.
Un diamante de beisbol tiene un cuadrado de 90 pies entre las bases. ¿Qué tan lejos está la primera base de la segunda?
Emanuel tiene un cartón que mide $20 \ cm \times 10 \ cm \times 8 \ cm (\text {length} \times \text{width} \times \text{height})$ . ¿Cuál es la longitud de la diagonal desde una esquina inferior a la esquina superior opuesta?
Samuel coloca una escalera contra su casa. La base de la escalera está a 6 pies de la casa y la escalera mide 10 pies. ¿A qué altura la escalera toca la casa?
Encuentra el área del triángulo usando la fórmula $A=\frac{1}{2} \text{base} \times \text{height}$ .
En lugar de caminar por los dos lados de un campo rectangular, Mario decide caminar en diagonal. Se ahorra caminar una distancia que es la mitad del lado largo del campo. Encuentra la longitud del lado largo dado que el lado corto mide 123 pies.
Marcus navega al norte y Sandra al este desde el mismo punto de partida. En dos horas, el bote de Marcus está a 35 millas del punto de partida y el de Sandra está a 28. ¿Qué tan lejos están los dos botes entre sí?
Determina el área del círculo.
En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble de largo que el otro y el perímetro es 28. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo?
Maria tiene una mesa que mide $10 \ inches \times 14 \ inches$ . Encuentra la longitud de la diagonal de la mesa.
Mike está cargando un camión de mudanzas a tráves de una rampa. La rampa es de 10 pies de largo y el contenedor del camión está a 2,5 pies sobre el suelo. ¿Qué tan lejos se extiende la rampa al sobresalir del camión?

Prueba Breve

Identifica el origen de $h(x)=\sqrt{x-2}+5$ y luego grafica la función.
Simplifica $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$ racionalizando el denominador.
Simplifica: $\sqrt[4]{-32}$ . Si la respuesta no es posible, explica porqué.
¿Qué es una solución extraña? ¿En qué situaciones ocurre?
¿Pueden los lados de longitud 3, 4 y 6 formar un triángulo rectángulo?
Resuelve $5=\sqrt[3]{y+6}$ .

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