Fórmula de la Distancia

En esta Sección aprenderás a encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Supón que un amigo y tú están jugando a la búsqueda del tesoro. Partiendo desde el mismo lugar, caminas 5 cuadras al este y 3 al norte. Tu amigo camina 7 cuadras al oeste y 2 al sur. Si cada cuadra mide la décima parte de una milla, ¿podrías calcular cuán alejados están tu amigo y tú? ¿Cómo lo harías? En esta Sección, aprenderás a usar la fórmula de la distancia para determinar cuán lejos están los puntos entre sí, para que puedas resolver este tipo de problemas.

Orientación

Para entender la fórmula de la distancia, primero observemos un ejemplo:

Ejemplo A

Encuentra la longitud del segmento que conecta (1, 5) y (5, 2).

Solución:

La pregunta te pide identificar la longitud del segmento. Ya que este segmento no es paralelo a ningún eje, es difícil medirlo usando las coordenadas.

Sin embargo, es posible ver este segmento como una hipotenusa de un triángulo rectángulo. Dibuja una línea vertical y otra horizontal. Encuentra el punto de intersección. Este punto representa el tercer vértice del triángulo rectángulo.

Puedes fácilmente contar las longitudes de los catetos de este triángulo en la cuadrícula. El cateto vertical se extiende desde (1, 2) hasta (1, 5), por lo que su longitud es $|5-2|=|3|=3 \ units$ El cateto horizontal se extiende desde (1, 2) hasta (5, 2), por lo que su longitud es $|5-1|=|4| = 4 \ units$ Usa el Teorema de Pitágoras con estos valores para las longitudes de cada cateto y encontrarás la longitud de la hipotenusa.

$a^2+b^2&=c^2\\\3^2+4^2&=c^2\\\9+16&=c^2\\\25&=c^2\\\\sqrt{25} & = \sqrt{c^2}\\\5 & =c$

La longitud del segmento que conecta (1, 5) y (5, 2) es de 5 unidades.

Los matemáticos han simplificado este proceso y han creado una fórmula que usa estos pasos para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano. Si usas la fórmula de la distancia, no debes dibujar líneas extras.

Fórmula de la distancia: Dados los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la longitud del segmento que conecta estos dos puntos es $d=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1 )^2}$ .

Ejemplo B

Encuentra la distancia entre (-3, 5) y (4, -2).

Solución:

Usa la fórmula de la distancia. Sea $(x_1,y_1)=(-3,5)$ y $(x_2,y_2)=(4,-2)$ .

$d&=\sqrt{(-2-5)^2+(4-(-3))^2} \rightarrow \sqrt{(-7)^2+7^2}\\\d& =\sqrt{98}=7\sqrt{2} \ units$

Ejemplo C

A las 8 am de cierto día, Amir decide caminar en línea recta hacia la playa. Después de hacer esto durante dos horas a un ritmo fijo, Amir estaba dos millas al este y cuatro al norte de su punto de partida. ¿Qué tan lejos caminó Amir y a qué velocidad lo hizo?

Solución:

Traza la ruta de Amir en un plano cartesiano. Podemos colocar su punto de partida en el origen, $A=(0, 0)$ . Entonces, su punto de término estará en el punto $B=(2, 4)$ . La distancia se puede encontrar con la fórmula de la distancia.

$d&=\sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} + \sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\\d&=4.47 \ miles.$

Ya que Amir caminó 4,47 millas en 2 horas, su velocidad es:

$\text{Speed} = \frac{4.47 \ miles}{2 \ hours}= 2.24 \ mi/h$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Punto $A=(6, -4)$ y punto $B=(2, k)$ . ¿Cuál es el valor de $k$ si la distancia entre los dos puntos es 5?

Solución:

Usa la fórmula de la distancia.

$d = \sqrt{(y_1-y_2)^2 + (x_1-x_2)^2} \Rightarrow 5 = \sqrt{(4-k)^2 + (6-2)^2}$

$\text{Square both sides of the equation.} \qquad 5^2&= \left [ \sqrt{(4-k)^2 + (6-2)^2} \right ]^2\\\\text{Simplify}. \qquad 25 &= (-4-k)^2 + 16\\\\text{Eliminate the parentheses}. \qquad 0 & = k^2+8k+16 -9\\\\text{Simplify}. \qquad 0 & = k^2+8k+7\\\\text{Find} \ k \ \text{using the quadratic formula}. \qquad k&= \frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{2}= \frac{-8\pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2}$

$k=-7$ o $k=-1$ . Hay dos posibilidades para el valor de $k$ . Grafiquemos los puntos para obtener una representación visual de nuestros resultados.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Distance Formula (9:39)

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CK-12 Basic Algebra: Pythagorean Theorem 3 (3:00)

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En 1-10, encuentra la distancia entre los dos puntos.

$(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$
(7, 7) y (–7, 7)
(–3, 6) y (3, –6)
(–3, –1) y (–5, –8)
(3, –4) y (6, 0)
(–1, 0) y (4, 2)
(–3, 2) y (6, 2)
(0.5, –2.5) y (4, –4)
(12, –10) y (0, –6)
(2.3, 4.5) y (–3.4, –5.2)

Encuentra todos los puntos teniendo a la coordenada $x$ de -4 y cuya distancia del punto (4, 2) es 10.
Encuentra todos los puntos teniendo la coordenada $y$ de 3 y cuya distancia del punto (-2, 5) es 8.
Michelle decide andar en bicicleta un día. Primero, anda 12 millas al sur y entonces la dirección del sendero cambia y anda en la nueva dirección un poco más. Cuando se detiene, Michelle está 2 millas al sur y 10 millas al oeste de su punto de partida. Encuentra la distancia total que Michelle recorrió desde su punto de partida.

Repaso Mixto

Resuelve $(x-4)^2=121$ .
¿Cuál es el MFC de $21ab^4$ y $15a^7 b^2$ ?
Evalúa $_{10}C_7$ y explica su significado.
Factoriza $6x^2+17x+5$ .
Encuentra el área de un rectángulo con una longitud de $(16+2m)$ y un ancho de $(12+2m)$ .
Factoriza $x^2-81$ .

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