Fórmula del Punto Medio

En esta Sección aprenderás a encontrar el punto medio entre dos pares coordinados con la fórmula del punto medio.

Supón que un plano cartesiano se transpuso sobre un mapa del metro y la línea azul fue en línea recta desde el punto (-9, 8) hasta el punto (1, -4). Si te subes a la línea azul al comienzo de la línea y viajas hasta la mitad de la línea, ¿cuáles serán tus coordenadas? ¿Cómo calcularías estas coordenadas? En esta Sección, aprenderás a usar la fórmula del punto medio para encontrar el punto medio entre dos pares coordinados, como el punto de partida y el de término de la línea azul.

Orientación

Considera la siguiente situación: Vives en Des Moines, Iowa y tus abuelos viven en Houston, Texas. Planeas visitarlos en el verano y tus padres aceptan encontrarse con tus abuelos a medio camino para dejarte con ellos. ¿Cómo puedes encontrar esta localización?

Al encontrarse con alguien "a mitad de camino", estás buscando el punto medio de una línea recta que conecta los dos segmentos. En la situación anterior, el punto medio sería la mitad del camino entre Des Moines y Houston.

El punto medio entre dos pares de coordenadas representa el punto a mitad de camino, o el promedio . Es el par ordenado $(x_m,y_m)$ .

$(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+ y_2}{2})$

Ejemplo A

Des Moines, Iowa tiene las coordenadas (41,59; 93,62).

Houston, Texas tiene las coordenadas (29,76; 95,36).

Encuentra las coordenadas del punto medio entre estas dos ciudades.

Solución:

Decide cuál par ordenado representará $(x_1,y_1)$ y cuál $(x_2,y_2)$ .

$(x_1,y_1)&=(41.59,93.62)\\\(x_2,y_2)&=(29.76,95.36)$

Calcula el punto medio usando la fórmula $(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+ y_2}{2})$

$(x_m,y_m)&=(\frac{41.59+29.76}{2}, \frac{93.62+ 95.36}{2})\\\(x_m,y_m)&=(35.675,94.49)$

Usando Google Maps, puedes ver que el Ozark National Forest, está a mitad de camino entre las dos ciudades.

Ejemplo B

Un segmento con puntos de término (9, –2) y $(x_1,y_1)$ tiene un punto medio de (2, –6). Encuentra $(x_1, y_1)$ .

Solución: Usa la Fórmula del Punto Medio: $\frac{x_1+x_2}{2}=x_m$

$2=\frac{x_1+9}{2} \rightarrow 4&=x_1+9\\\x_1&=-5$

Siguiendo el mismo procedimiento: $\frac{y_1+(-2)}{2}=-6 \rightarrow y_1+(-2)=-12$

$y_1&=-10\\\(x_1,y_1)&=(-5,-10)$

Ejemplo C

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que hacen que $(9.5, 6)$ sea el punto medio de $(3,5)$ y $(x,y)$ .

Solución:

Comienza con la fórmula y calcula las variables:

$\text{The midpoint formula:} && (x_m,y_m)&=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+ y_2}{2})\\\\text{Substitute in the given values and variables:} && (9.5,6)&=(\frac{3+x}{2}, \frac{5+y}{2})$

Esto se puede reescribir como dos ecuaciones:

$&& 9.5&=\frac{3+x}{2} && 6=\frac{5+y}{2}\\\ \text{Multiply each side by 2:} && 19&=3+x && 12=5+y\\\\text{Isolate the variables:} && 16&=x && 7=y\\\$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Durante una excursión, un amigo y tú deciden tomar diferentes rutas y reunirse para almorzar. Tú caminas 3 millas al norte y 2 al oeste. Comenzando desde el mismo punto, tu amigo camina 4 millas al este y 1 milla al sur. Desde esos puntos, cada uno camina para encontrarse con el otro y lo hacen a mitad de camino para almorzar. ¿Dónde sería el lugar en el que almuerzan en referencia con el punto de inicio?

Solución:

Piensa en el punto de inicio como el origen de un sitalloa de coordenadas cartesianas. Si caminas 3 millas al norte, eso significa caminar hacia arriba 3 unidades en el gráfico. Caminar 2 millas al este es lo mismo que caminar 2 unidades a la izquierda en el gráfico. Entonces, llegaste al punto (-2, 3). En cuanto a tu amigo, este es a la derecha (positivo) y sur es abajo (negativo), por lo que él llega a (4,-1). Ahora, debes encontrar el punto medio:

$(x_m,y_m)=\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+ -1}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right)=(1,1)$

El lugar del encuentro para el almuerzo será 1 milla al norte y 1 al este en referencia al punto de partida.

Práctica

En 1-10, encuentra el punto medio del segmento de línea que une dos puntos.

$(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$
(7, 7) y (–7, 7)
(–3, 6) y (3, –6)
(–3, –1) y (–5, –8)
(3, –4) y (6, 1)
(2, –3) y (2, 4)
(4, –5) y (8, 2)
(1.8, –3.4) y (–0.4, 1.4)
(5, –1) y (–4, 0)
(10, 2) y (2, –4)
El punto de término de un segmento de línea es (4, 5) y el punto medio del segmento de línea es (3, -2). Encuentra el otro punto de término.
El punto de término de un segmento de línea es (-10, -2) y el punto medio del segmento de línea es (0, 4). Encuentra el otro punto de término.
Shawn vive seis cuadras al oeste y diez cuadras al norte del centro. Kenya vive catorce cuadras al este y dos cuadras al norte del centro.
1. ¿Qué tan alejadas están las dos niñas una de otra en línea recta?
2. ¿Dónde se encuentra el punto medio entre las casas?

Repaso Mixto

Una población crece al 1,2% annual. La población actual es de 121.000.
1. ¿Cuál será la población en 13 años?
2. Asumiendo que esta tasa se mantiene, ¿cuando la población será de 200.000?

Escribe $1.29651843 \cdot 10^5$ en la forma estándar.
¿Es $4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\ldots$ un ejemplo de secuencia geométrica? Explica tu respuesta.
Simplifica $6x^3 (4xy^2+y^3 z)$ .
Supón $0=(x-2)(x+1)(x-3)$ . ¿Cuáles son las intersecciones de $x-$ ?
Simplifica $\sqrt{300}$ .

Prev Next

Fórmula del Punto Medio

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión en video

Práctica Guiada

Práctica

Licencia