Medidas de Tendencia Central y de Dispersión

En esta Sección aprenderás a analizar datos cotidianos calculando medidas de tendencia central y de dispersión.

Supón que las alturas en pulgadas de los estudiantes de tu curso son las siguientes: 58, 58, 59, 60, 62, 64, 64, 65, 66, 66, 66, 66, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 72, 74, 75, 77. ¿Cuál sería la media de estos datos? ¿Qué hay de la mediana y la moda? ¿Serías capaz de calcular la varianza de estos datos? ¿Qué hay de la desviación estándar? Después de completar esta Sección, podrás calcular medidas de tendencia central y de dispersión como estos.

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Orientación

La mayor parte de este texto se centra en datos de dos variables , datos con un valor y un resultado. Esto también se conoce como datos con doble variable . Hay muchos tipos de situaciones en las que solo se conoce un conjunto de datos. Estos datos se conocen como datos de una variable . A diferencia de los datos que has visto antes, no se puede escribir ninguna regla relacionada con datos de una variable. En lugar de eso, se usan otros métodos para analizar los datos. Estos tres métodos son las medidas de tendencia central. .

Las medidas de la tendencia central son los valores centrales de un conjunto de datos.

Media es el promedio de todos los datos. Su símbolo es $\bar{x}$ .
Moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en el conjunto de datos.
Medianaa es el valor del medio del conjunto de datos, ordenado en orden ascendente.

Ejemplo A

La señora Kramer reunió los puntajes de las pruebas de sus estudiantes y obtuvo los siguientes datos:

90, 76, 53, 78, 88, 80, 81, 91, 99, 68, 62, 78, 67, 82, 88, 89, 78, 72, 77, 96, 93, 88, 88

Encuentra la media, la mediana, la moda y el rango de estos datos.

Solución:

Para encontrar la media, suma todos los valores y divídelo por el número de valores que sumaste.

$mean=80.96$

Para encontrar la moda, busca el valor o valores que más se repiten.

$mode=88$

Para encontrar la mediana, organiza los datos de mayor a menor. Entonces, encuentra el término del medio.

53, 62, 62, 67, 68, 72, 76, 77, 78, 78, 78, 78, 80, 81, 82, 88, 88, 88, 88, 89, 90, 91, 93, 96, 99

$median=81$

Para encontrar el rango, resta el valor más alto y el valor más bajo.

$range=99-53=46$

Cuando un conjunto de datos tiene dos modas es bimodal .

Si los datos no tienen un "término medio", la mediana es el promedio de los dos valores del medio. Esto ocurre cuando los conjuntos de datos tienen un número par de entradas.

¿Qué Medida es la Mejor?

Aunque la media, la moda y la mediana representan bancos de datos, a menudo una es usualmente más beneficiosa que otra cuando se describe un conjunto de datos en particular.

Por ejemplo, si los datos tienen un rango , amplio, la mediana es mejor que la media para describir el centro.

Lo mejor para describir el sueldo de una población es la mediana , porque hay sueldos muy bajos y muy altos en una región dada. porque hay sueldos muy bajos y muy altos en una región dada.

Si los datos fuesen categóricos, es decir que se puede separar en diferentes categorías, la moda sería una mejor opción.

Si una sandwichería vende diez tipos de sandwhices, la moda sería útil para descibir el sandwich favorito.

Medidas de Dispersion

En estadística, las medidas de dispersion describen cuán lejos se esparce los datos de la medida del centro. Hay tres tipos principales de dispersión:

Rango - la diferencia entre el valor más alto y el más bajo en los datos.
Desviación estándar - la raíz cuadrada de la varianza.
Varianza - la media de los cuadrados de la distancia de cada elemento de los datos $(x_i)$ está de la media.

$\sigma^2 = \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \ldots + (x_n-\bar{x})^2}{n}$

El símbolo de la varianza es $\sigma^2$ .

Ejemplo B

Encuentra la varianza de los siguientes datos: 11, 13, 14, 15, 19, 22, 24, 26.

Solución: Primer, encuentra la media $(\bar{x})$ .

$\bar{x}=\frac{11+13+14+15+19+22+24+26}{8}=18$

Es más facil elaborar una tabla con las diferencias y sus cuadrados.

$x_i$	$x_i-\bar{x}$	$(x_1-\bar{x})^2$
11	–7	49
13	–5	25
14	–4	16
15	–3	9
19	1	1
22	4	16
24	6	36
26	8	64

Calcula la varianza: $\frac{49+25+16+9+1+16+36+64}{8}=27$ .

La varianza es una medida de disperisón y su valor es menor en datos que están más agrupados que en datos que están más dispersos. En el ejemplo anterior, la varianza es 27. ¿Esto quiere decir que los datos que están más agrupados tendrán una varianza menor? Quizás ya puedas imaginar que el tamaño de la varianza también depende del tamaño de los datos en sí. A continuación, veremos formas en que los matemáticos han intentado estandarizar la varianza.

La Desviación Estándar

La desviación estándar mide qué tan lejos se desvían los datos de su media. Es la raíz cuadrada de la varianza. Su símbolo es $\sigma$ . $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \ldots + (x_n-\bar{x})^2}{n}}$

Ejemplo C

Calcula la desviación estándar del conjunto de datos anterior.

Solución:

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

$\sigma^2=27 \ so \ \sigma=5.196$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Encuentra la media, la media, la moda, el rango, la varianza y la desviación estándar del siguiente conjunto de datos.

Dirección	Precio
518 CLEVELAND	$117.424
1808 MARKESE	$128.000
1770 WHITE	$132.485
1459 LINCOLN	$77.900
1462 ANNE	$60.000
2414 DIX HWY	$250.000
1523 ANNE	$110.205
1763 MARKESE	$70.000
1460 CLEVELAND	$111.710
1478 MILL	$102.646

Solución:

$mean&=\$116.037\\\median&=\frac{110,205+111,710}{2}=\$110,957.50\\\mode&=none\\\range&=\$190,000$

Usa una tabla para encontra la varianza.

$x_i$	$x_i-\bar{x}$	$(x_1-\bar{x})^2$
117.424	1387	1.923.769
128.000	11.963	143.113.369
132.485	16.448	270.536.704
77.900	–38.137	1.454.430.769
60.000	–56.037	3.140.145.369
250.000	133.963	$1.7946 \times 10^{10}$
110.205	–5832	34.012.224
70.000	–46.037	2.119.405.369
111.710	–4327	18.722.929
102.646	–13.391	179.318.881

$variance&=2,530,769,498\\\standard \ deviation&=50,306.754$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Average or Central Tendency: Arithmetic Media, Mediana, and Moda (9:01)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Basic Algebra:Rango, Variance, and Standard Deviation as Measures of Dispersion (12:34)

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Define medidas de tendencia central . ¿Cuáles son las tres que se nombran en esta Sección?
Define mediana . Explica su diferencia de la media. ¿En qué situaciones la media es más efectiva para describir el centro de los datos?
¿Qué es un bimodal? Da un ejemplo de un conjunto de datos bimodal.
¿Cuáles son las tres medidas de dispersión descritas en esta Sección? ¿Cuál es la más fácil de calcular?
Escribe la fórmula de la varianza y define sus variables.
¿Por qué puede ser difícil usar la varianza como una medida de dispersión? Usa el ejemplo de las viviendas para explicar.
Describe la variación estándar.
Explica por qué la desviación estándar de 2, 2, 2, 2, 2, 2 y 2 es cero.
Encuentra la media, la mediana y el rango de los siguientes sueldos.

Campo Profesional	Sueldo Anual
Agricultura, Pesca y Silvicultura	$19.630
Ventas y Relacionados	$28.920
Arquitectura e Ingeniería	$56.330
Salud	$49.930
Legal	$69.030
Docencia y Educación	$39.130
Construcción	$35.460
Jugador Profesional de Béisbol*	$2.476.590

( Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales, excepto (*) - La Asociación de Jugadores de Beisbol (playbpa.com)).

Encuentra la media, mediana, moda y rango de los siguientes conjuntos de datos.

11, 16, 9, 15, 5, 18
53, 32, 49, 24, 62
11, 9, 19, 9, 19, 9, 13, 11
3, 2, 6, 9, 0, 1, 6, 6, 3, 2, 3, 5
2, 17, 1, –3, 12, 8, 12, 16
11, 21, 6, 17, 9.
223, 121, 227, 433, 122, 193, 397, 276, 303, 199, 197, 265, 366, 401, 222

Encuentra la media, mediana y desviación estándar de los siguientes números. ¿Cuál, de la media y la mediana, dará el mejor promedio?

15, 19, 15, 16, 11, 11, 18, 21, 165, 9, 11, 20, 16, 8, 17, 10, 12, 11, 16, 14
11, 12, 14, 14, 14, 14, 19
11, 12, 14, 16, 17, 17, 18
6, 7, 9, 10, 13
121, 122, 193, 197, 199, 222, 223, 227, 265, 276, 303, 366, 397, 401, 433
Si cada resultado en una prueba de álgebra aumenta siete puntos, ¿cómo afectará esto la:
1. Media?
2. Mediana?
3. Moda?
4. Rango?
5. Desviación estándar?

Si cada resultado de un golfista se multiplica por dos, ¿cómo afectará la:
1. Media?
2. Mediana?
3. Moda?
4. Rango?

Henry tiene los siguientes puntajes en Historia: 88, 76, 97, 84. ¿Qué necesitaría Henry para obtener un promedio de 86 en su quinta prueba?
Explica porqué es imposible que Henry tenga un promedio de 93 después de su quinta prueba.
La media de nueve números es 105. ¿Cuál es la suma de los números?
Un jugador de bolos tiene los siguientes resultados: 163, 187, 194, 188, 205, 196. Encuentra el promedio.
Los puntajes de golf para un juego de 9 hoyos con 5 jugadores fueron: 38, 45, 58, 38, 36.
1. Encuentra la media de los puntajes.
2. Encuentra la desviación estándar a la centena más cercana.
3. ¿Representa la media el mejor centro de la tendencia? Explica.

En la siguiente tabla, se muestran la venta de 10 casas en Encinitas, California. Encuentra la media, mediana y la desviación estándar de los precios. Explica, usando los daos, por qué la media del precio de las casas se usa más a menudo como una medida de los precios de las casas en un sector.

Dirección	Precio	Fecha de venta
643 3RA	$1.137.000	6/5/2007
911 CORNISH	$879.000	6/5/2007
911 ARDEN	$950.000	6/13/2007
715 S VULCAN	$875.000	4/30/2007
510 4TA	$1.499.000	4/26/2007
415 ARDEN	$875.000	5/11/2007
226 5TA	$4.000.000	5/3/2007
710 3RA	$975.000	3/13/2007
68 LA VETA	$796.793	2/8/2007
207 WEST D	$2.100.000	3/15/2007

30. Determina cuál medida estadística (media, mediana o moda) sería la más apropiada para lo siguiente.
1. Expectativa de vida de un pez dorado comprado en una tienda.
2. La edad en años de la audiencia de un programa para niños.
3. El peso de un saco de papas que tiene una etiquetea de "saco de 5 libras".

James y John tienen campos donde plantan repollos. James lo hace manualmente mientras que John usa una máquina para medir la distancia entre los repollos. El diámetro de cada repollo se miden y los resultados se muestran en la tabla. John asegura que su método es mejor. James insiste que es mejor hacerlo manualmente. Usa los datos para dar una razón para justificar ambas partes de la discusión.

	James	John
Diámetro de la Media (pulgadas)	7,10	6,85
Desviación Estándar (pulgadas)	2,75	0,60

32. Dos compañías de buses hacen recorridos entre Los Angeles y San Francisco. La media de los tiempos de viaje y las desviaciones estándar en estos tiempos se dan a continuación. Si Samantha necesita trabajar entre las ciudades, qúe compañia debe elegir si:
1. Necesita tomar un avión en San Francisco.
2. Viaja semanalmente para visitar amigos en San Francisco y desea reducir el tiempo que gasta en un bus durante todo el año.

	Inter-Cal Express	Fast-dog Travel
Media del Tiempo (horas)	9.5	8.75
Desviación Estándar (horas)	0.25	2.5

Repaso Mixto

Un jardín mide 20 yardas por 20 yardas. ¿Cuánto más corto es caminar en diagonal que alrededor de este?
Reescribe en la forma estándar: $y=\frac{1}{6} x-5$ .
Calcula $m$ : $-2=\sqrt[4]{x+7}$ .
Un velero tiene una altura verticual de 15 pies y una longitud horizontal de 8 pies. Aproximando al pie más cercano, ¿cuánto mide la diagonal??
Racionaliza el denominador: $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

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