Diagramas de Tallos y Hojas

En esta Sección, aprenderás a visualizar la esparción de los datos haciendo diagramas de tallos y hojas, así como también histogramas.

Supón que tu profesor de educación física les pidió hacer tantas dominadas como sea posible. Si registras el número de dominadas realizadas por cada persona, ¿serías capaz de representar estos datos con un diagrama de tallo y hojas? ¿Y con un histograma? En esta Sección, aprenderás a crear este tipo de gráficos para que puedas analizar e interpretar datos.

Orientación

Entender los datos es una capacidad matemática muy importante. Debes saber usar los datos e interpretar los resultados para realizar decisiones informadas sobre política, comida e ingresos. Esta Sección te mostrará dos formas de graficar los datos:

como un diagrama de tallo y hoja y
como un histograma

Un diagrama de tallo y hoja es una organización de los datos numéricos en categorías basadas en un valor posicional. El diagrama de tallo y hoja es un gráfico similar a un histograma, pero muestra más información. En un diagrama de tallo y hoja, cada número se dividirá en dos partes usando el valor posicional.

El tallo es la columna izquierda y contendrá los digitos en la posición más grande. La columna de la derecha, será la hoja y contendrá los digitos de la posición más pequeña.

Ejemplo A

En un estudio reciente de estudiantes hombres en una escuela, se les preguntó a estos cuanto dinero gastaban en la graduación. Los siguientes números representan la cantidad de dólares de un grupo al azar de 40 estudiantes hombres.

$&25 && 60 && 120 && 64 && 65 && 28 && 110 && 60\\\&70 && 34 && 35 && 70 && 58 && 100 && 55 && 95\\\&55&& 95 && 93 && 50 && 75 && 35 && 40 && 75\\\&90 && 40 && 50 && 80 && 85 && 50 && 80 && 47\\\&50 && 80 && 90 && 42 && 49 && 84 && 35 && 70$

Representa estos datos en un diagrama de tallo y hoja.

Solución:

Los tallos se ordenarán verticalmente en orden ascendente (más pequeño a más grande) y cada hoja se escribirá a la derecha de su tallo de forma horizontal, de menor a mayor.

Tallo	Hoja
2	5, 8
3	4, 5, 5, 5
4	0, 0, 2, 7, 9
5	0, 0, 0, 0, 5, 5, 8
6	0, 0, 4, 5
7	0, 0, 0, 5, 5
8	0, 0, 0, 4, 5
9	0, 0, 3, 5, 5
10	0
11	0
12	0

Este diagrama de tallo y hoja se puede interpretar fácilmente. Al observar el tallo 6, puedes ver que 4 alumnos gastarón "alrededor" de 60 dólares en la graduación. Al contar el número de hojas, sabes que 40 alumnos respondieron a la pregunta que se les hizo. Los valores de los datos más pequeños y más grandes se pueden saber mirando al primer y último tallo y hoja. El diagrama de tallo y hoja es una carta de "vista rápida" que puede entregar información de los datos en forma rápida. También sirve como un método fácil para ordenar los números manualmente.

Interpretar y Crear Histogramas

Supón que realizas una encuesta a 20 estudiantes de álgebra y les preguntas el número de hermanos que tienen. Vas a obtener muchas respuestas variadas. Algunos estudiantes no tienen hermanos, mientras que otros tienen varios. Los resultados podrían verse así:

1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 6

Podríamos organizar esto en muchas formas. La primera forma sería crear una lista ordenada de todos los números, empezando con el menor.

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 6

Otra forma es hacer una lista de los resultados en una tabla.

Número de Hermanos	Número de Coincidencias
0	4
1	7
2	5
3	2
4	1
5	0
6	1

Una tabla que muestra el número de veces de una categoría particular aparece en un conjunto de datos es una distribución de frecuencias. .

Tambien puedes hacer una representación visual de los datos categorizando los números de hermanos en el eje $x-$ y apilando representaciones de cada estudiante sobre el marcador de la categoría. Puedes usar cruces, hombres de palo o incluso fotografías de los estudiantes para mostrar cuántos estudiantes hay en cada categoría.

Este gráfico se llama histograma .

Un histograma es un gráfico de barras que describe una distribución de frecuencia.

El eje horizontal del histograma se separa en intervalos iguales. La barra vertical representa cuántos elementos hay en cada intervalo.

Ejemplo B

Jim reunió datos en una feria local. El diagrama anterior está relacionado con el número de niños de diferentes edades que visitaron el puesto para pintarse la cara. ¿Qué puedes concluir de este histograma?

Solución:

Puedes encontrar la suma de las alturas de cada barra para determinar cuántos niños visitaron el puesto.

$1+3+4+5+6+7+3+1=30 \ children$

La barra más alta es la de los 7 años. Hubo más niños de 7 años que cualquier otro grupo.
No hay barra en 1 año o en los 10 años. Esto significa que cero niños de 10 y 1 año pintaron sus caras.

Crear Histogramas Usando una Calculadora Gráfica

Dibujar un histograma es muy similar a dibujar un gráfico de dispersión. En vez de graficar dos listas, $L_1$ y $L_2$ , graficarás solo una lista, $L_1$ .

Ejemplo C

Los siguientes datos desordenados representan las edades de los pasajeros en un tren. Haz un histograma de los datos en una calculadora gráfica.

35, 42, 38, 57, 2, 24, 27, 36, 45, 60, 38, 40, 40, 44, 1, 44, 48, 84, 38, 20, 4,

2, 48, 58, 3, 20, 6, 40, 22, 26, 17, 18, 40, 51, 62, 31, 27, 48, 35, 27, 37, 58, 21.

Solución:

Comienza ingresando los datos en [LIST 1] del menú [STAT] .

Presiona $[2^{nd}]$ y $[Y=]$ para ingresar al menú [STATPLOT] .

Presiona [WINDOW] ] y asegúrate que Xmin y Xmax permitan que se muestren todos los puntos de los datos. El valor Xscl determina el tamaño del intervalo.

Presiona [GRAPH] para mostrar el histograma.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica Guiada

Ejemplo: Los estudios (y la lógica) muestran que mientras más tareas realizas, más altas son tus notas. En un estudio realizado por una escuela local, se les pidió a los estudiantes de décimo grado que rayaran en la celda que representa el tiempo que en promedio pasaban haciendo tareas cada noche. Los siguientes resultados se registraron:

Tiempo Haciendo Tareas (Horas)	Conteo	Frecuencia (# de estudiantes)
$[0-0.5)$	$\cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \|\|$	12
$[0.5-1.0)$	$\cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \|\|\|$	23
$[1.0-1.5)$	$\cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \|\|\|\|$	34
$[1.5-2.0)$	$\cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \|$	26
$[2.0-2.5)$	$\cancel{\|\|\|\|}$	5
$2.5^+$		0

Pasa estos datos a un histograma.

Solución:

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Stem-and-Leaf Plots (6:45)

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CK-12 Basic Algebra: Histograms (6:08)

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¿Cuál es el tallo en un diagrama de tallo y hoja? ¿Qué es una hoja ? ¿Cuáles son las ventajas de usar estos diagramas?
Describe un histograma . ¿Cuál es la ventaja de usarlo?
Para cada uno de los siguientes ejempos, describe por qué usarías un histograma.
1. Frecuencia de las bebidas favoritas de las primeras 100 personas al entrar a un baile de colegio
2. Frecuencia del tiempo en promedio que le toma a tus compañeros hacer la tarea de matemáticas
3. Frecuencia de la distancia en promedio que la gente estaciona lejos del centro comercial para caminar un poco más

Realiza un histograma usando los siguientes resultados de una prueba de ciencias. Entrega cuatro conclusiones que puedas obtener de este histograma. Incluye la media, mediana, moda, rango, etc.

Puntaje (%)	Conteo	Frecuencia
50-60	$\|\|\|\|$	4
60-70	$\cancel{\|\|\|\|} \ \|$	6
70-80	$\cancel{\|\|\|\|} \ \cancel{\|\|\|\|} \ \|$	11
80-90	$\cancel{\|\|\|\|} \ \|\|\|$	8
90-100	$\|\|\|\|$	4

Una empresa ha desarrollado un limpiador de vidrios que no deja manchas. El producto se vende en un número de cadenas de negocios locales y sus ventas se monitorean de cerca. Al final del primer año, se entregan las ventas del producto. La compañía planea empezar una campaña publicitaria para promocionar el producto. Los datos se encuentran en la siguiente carta
1. Muestra las ventas del producot antes de la campaña en un diagrama de tallo y hoja.
2. ¿Cuántas cadenas de negocios vendieron el producto?
3. En el tallo 1, ¿qué representa el número 11 y el número 8?
4. ¿Cuál es el porcentaje de tiendas que vendieron menos de 175 unidades?

Usando los siguientes datos, responde las siguientes preguntas. Datos: 607.4, 886.0, 822.2, 755.7, 900.6, 770.9, 780.8, 760.1, 936.9, 962.9, 859.9, 848.3, 898.7, 670.9, 946.7, 817.8, 868.1, 887.1, 881.3, 744.6, 984.9, 941.5, 851.8, 905.4, 810.6, 765.3, 881.9, 851.6, 815.7, 989.7, 723.4, 869.3, 951.0, 794.7, 807.6, 841.3, 741.5, 822.2, 966.2, 950.1 Crea un diagrama de tallo y hoja. Aproxima cada digito de los datos a la decena más cercana. Usa el digito cien como el tallo y la posición de la decena como la hoja.
1. ¿Cuál es la media?
2. ¿Cuál es la moda?
3. ¿Cuál es la mediana?
B. Haz una tabla de frecuencia para los datos. Usa un intervalo de 50. C. Haz un diagrama de los datos en forma de histograma con un tamaño de intervalo de:
1. 50
2. 100

Las mujeres de un barrio residencial juegan bolos todos los días. Lizzie nunca ha jugado antes. Decide mantener registro de su mejor puntaje del día, durante todo septiembre. Aquí están los puntajes que obtuvo: $77&& 80 && 82 && 68 && 65 && 59 && 61\\\57 && 50 && 62 && 61 && 70 && 69 && 64\\\67 && 70 && 62 && 65 && 65 && 73 && 76\\\87 && 80 && 82 && 83 && 79 && 79 && 77\\\80 && 71 && && && && &&$ Para que Lizzie vea cómo le va, crea un diagrama de tallo y hoja para sus puntajes.
Debes entretener a tu hermano menor todos los sábados. Decides llevarlo a la piscina. Ya que nadar es nuevo para tu hermano, está algo asustado. Decides registrar cuánto tiempo pasa en el agua cada mañana. Registras los siguientes tiempos (en minutos): 12, 13, 21, 27, 33, 34, 35, 37, 40, 40, 41. Crea un diagrama de tallo y hora para representar estos datos. Haz dos conclusiones que puedes hacer a partir del gráfico.
El siguiente diagrama de tallo y hoja muestra los datos recogidos de la velocidad de 40 autos en una zona con un límite de velocidad de 35 mph en Culver City, California.
1. Encuentra la media, mediana y velocidad moda.
2. Completa una tabla de frecuencia, empezando desde los 25 mph y con un tamaño de intervalo de 5 mph.
3. Usa la tabla para construir un histograma con los intervalos de tu tabla de frecuencia.
El siguiente histograma, muestra los resultados de una encuesta a gran escala sobre el número de hermanos. Úsala para encontrar
1. La mediana de los datos
2. La media de los datos
3. La moda de los datos
4. El número de personas que tiene un número impar de hermanos
5. El porcentaje de personas entrevistadas que tienen cuatro o más hermanos
Usa un diagrama de tallo y hoja para concebir una situación sobre los siguientes datos.
Una compañía de combustible asegura que su gasolina premium tiene un aditivo que incrementa su calidad. Para probarlo, selecciona a 15 conductores y llena sus estanques con 45 litros de gasolina regular y les pide que registren su kilometraje. Luego, les llena sus estanques con 45 litros de su gasolina premium y de nuevo les pide que registren su kilometraje. Los siguientes resultados, muestran cuántos kilómetros anduvo cada auto.

640	570	660	580	610
540	555	588	615	570
550	590	585	587	591

659	619	639	629	664
635	709	637	633	618
694	638	689	589	500

Ordena cada conjunto de datos para explicar si el aviso de la compañía era verdadero o falso.

Repaso Mixto

¿En cuántas formas puede posar un equipo de 9 personas para una fotografía si el portero siempre se queda al centro?
Grafica $8x+5y=40$ usando sus intersecciones.
Simplifica $\left ( \frac{7y^{-3} z^2}{4y^4 z^{-6}} \right )^{-2}$ .
Reescribe en forma estándar: $y=-3(x-1)^2+4$ .
Grafica $f(x)=\frac{-x+2}{2}$ .
v
Resuelve el siguiente sistema: $\begin{cases}3x+4y=9\\\9x+12y=27 \end{cases}$ .

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