Modelos de Variación Inversa

En esta Sección aprenderás a usar variación inversa para encontrar la solución de problemas.

Supongamos que una compañía de tarjetas de felicitación ha descubierto que el número de tarjetas que vende es inversamente proporcional al precio de cada tarjeta. Si vende 500 tarjetas por mes cuando el precio de cada tarjeta es de $2, ¿cuántas tarjetas vendería por mes si el precio de cada tarjeta fuera de $3? ¿Cómo calcularías este número? En esta Sección, aprenderás sobre modelos de variación inversa para que puedas resolver problemas como este.

Orientación

En una Sección anterior, aprendiste a escribir modelos de variación directos. En variación directa, las variables cambian de la misma manera y el gráfico contiene el origen. Pero ¿qué sucede cuando las variables cambian de maneras distintas? Presta atención al siguiente problema.

Un grupo de amigos arrienda una cabaña en la playa y deciden dividir el costo del arriendo y de la comida. Cuatro amigos pagan $170 cada uno. Cinco amigos pagan $162 cada uno. Seis amigos pagan $157. Si nueve personas dividieran los gastos, ¿cuánto pagaría cada uno?

Veamos la tabla.

$n$ (numero de amigos)	$t$ (parte de los gastos)
4	170
5	162
6	157
9	???

A medida que el número de amigos aumenta, el costo por persona disminuye. Este es un ejemplo de variación inversa.

Una función de variación inversa tiene la forma $f(x)=\frac{k}{x}$ , donde $k$ se conoce como constante de variación y debe ser un número contable y $x \neq 0$ .

Para demostrar una relación de variación inversa, utiliza cualquiera de estas frases:

Es inversamente proporcional a
Varía inversamente como

Ejemplo A

Encuentra la constante de variación del problema anterior de la cabaña en la playa.

Solución:

Usa la ecuación de variación inversa para encontrar $k$ , la constante de variación.

$&& y &= \frac{k}{x}\\\&& 170 &= \frac{k}{4}\\\\text{Solve for} \ k: && 170 \times 4 &= \frac{k}{4} \times 4\\\&& k &= 680$

Puedes utilizar esta información para determinar la cantidad de gastos por persona si nueve personas se dividen el costo.

$y &= \frac{680}{x}\\\y &= \frac{680}{9}=75.56$

Si nueve personas se dividen los gastos, cada uno pagaría $75,56.

Usando una calculadora gráfica, grafica este problema.

El gráfico de una función de variación inversa $f(x)=\frac{k}{x}$ es una hipérbola. Tienen dos ramas en cuadrantes opuestos.

Si $k>0$ ,las ramas estarán en los cuadrantes I y III.

Si $k<0$ , las ramas estarían en los cuadrantes II y IV.

El gráfico parece que no cruza los ejes. De hecho, es cierto de cualquier ecuación de variación inversa de la forma $y=\frac{k}{x^n}$ . Estas líneas se conocen como asíntotas. Por esto, una función de variación inversa tiene un dominio y un rango especial.

$Domain: \ & x \neq 0\\\Range: \ & y \neq 0$

Aprenderás más sobre valores excluidos en las últimas secciones de este capítulo.

Ejemplo B

La frecuencia, $f$ ,del sonido varia inversamente con la amplitud de onda , $\lambda$ .Una señal de sonido con una amplitud de onda de 34 metros tiene una frecuencia de 10 hertz. ¿Cuál es la frecuencia de una señal de sonido de 120 metros?

Solución:

Usa la ecuación de variación inversa para encontrar $k$ , la constante de variación.

$&& f &= \frac{k}{\lambda}\\\&& 10 &= \frac{k}{34}\\\\text{Solve for} \ k: && 10 \times 34 &= \frac{k}{34} \times 34\\\&& k &= 340\\\\text{Use} \ k \ \text{to answer the question:} &&\\\&& f &= \frac{340}{120}=2.83 \ hertz$

Ejemplo C

Determina cual de los siguientes problemas es un ejemplo de variación inversa:

a. Un estudiante gasta $4 por día en la escuela. La cantidad total que ella gasta cada semana depende del número de días que tenga el semestre.

b. Un colegio tiene $200 para gastar en premios para un evento. El número de premios que se puede comprar depende del precio de cada premio.

Solución:

a. La estudiante puede asistir al colegio de 1 a 5 días en la semana, ya que el colegio nunca atiende por más de 5 días a la semana. Si la estudiante gasta $4 por día, la estudiante gastará $8 en dos días. La cantidad de dinero que gasta aumenta a medida que pasan los días, por lo tanto no es una función de variación inversa. Otra forma de abordar este problema es ver que hay una constante: la estudiante gasta $4 diarios. Esta sería una función lineal, con una pendiente de 4. Por lo que no es un ejemplo de variación inversa.

b. El número de premios que se pueden comprar es determinado dividiendo el costo de cada premio. Si cada premio cuesta $10, entonces se pueden comprar $\frac{200}{10}=20$ premios. Si cada premio cuesta $20, entonces se pueden comprar $\frac{200}{20}=10$ premios. A medida que el costo de los premios aumenta, el número de premios que se pueden comprar disminuye. La función es $f(x)=\frac{200}{x}$ , donde $x$ es el precio de los premios y $f(x)$ representa el número de premios que se pueden comprar. Este en un ejemplo de variación inversa.

Revisión en Video

(Solo en ingles)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Orientada

Si $f(x)$ varía inversamente con $x$ y $f(12)=5$ , encuentra $f(20)$ .

Solución:

Debido a que todas las funciones de variación inversa son como esta:

$f(x)=\frac{k}{x}$

simplemente sustituye $x$ y $f(x)$ y encuentra $k$ .

$f(12)&=\frac{k}{12}\\\5&=\frac{k}{12}\\\60&=k$

Ahora, usa la función para encontrar $f(20)$ :

$f(20)&=\frac{60}{20}\\\f(20)&=3$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos. CK-12 Basic Algebra: Proportionality (17:03)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Define variación inversa.
Explica las tres diferencias principales entre variación directa y variación inversa.

Lee las siguientes oraciones y decide si la relación es directa, inversa , o ninguna..

El peso de un libro __________________ el número de páginas que contiene.
La temperatura del exterior __________________ el clima del día.
La cantidad de dinero que recibes como premio por ganar la lotería __________ el número de personas en que se divide el costo del boleto.
El costo de un viaje en ferry ___________________ el número de veces que hacen el viaje.
El área de un cuadrado _______________________ la distancia de sus lados.
La altura desde el piso ___________________ los segundos que has estado en una montaña rusa.
El tiempo que te tardas en lavar un auto ___________________ el número de personas que te ayudan.
El numero de baldosas que caben en un piso ___________________ el tamaño de cada una.

Grafica cada ecuación inversa. Determina el dominio y el rango.

$y=\frac{3}{x}$
$y=\frac{1}{x^2}$
$f(x)=- \frac{4}{x}$
$y=\frac{10}{x}$
$h(x)=-\frac{1}{x}$
$y=\frac{1}{4x}$
$g(x)=-\frac{2}{x^2}$
$y=\frac{4}{x^2}$
$y=\frac{5}{6x}$

En los ejercicios 20-25, ejemplifica cada situación con una ecuación de variación inversa, encontrando $k$ . Luego responde la pregunta.

$y$ varia inversamente de $x$ . Si $y=24$ cuando $x=3$ , encuentra $y$ cuando $x=-1.5$ .
$d$ varia inversamente del cubo de $t$ . Si $d=-23.5$ cuando $t=3$ , cuando $d$ encuentra $x=\frac{1}{4}$ .
Si $z$ varia inversamente del cubo de $w$ y $z=81$ cuando $w=9$ ,cuando $w$ encuentra $z=24$ .
Si $y$ es inversamente proporcional a $x$ y $y=2$ cuando $x=8$ , encuentra $y$ cuando $x=12$ .
Si $a$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de $b$ , y $a=32$ cuando $b=9$ , encuentra $b$ cuando $a=6$ .
Si $w$ es inversamente proporcional al cuadrado $u$ y $w=4$ cuando $u=2$ , encuentra $w$ cuando $u=8$ .
La "ley de la palanca" establece que la distancia desde la palanca varía inversamente del peso del objeto. Joey y Josh juegan en un balancín. Si Joey pesa 40 libras y está a seis pies de la palanca, ¿a cuánta distancia se tendría que sentar Josh para equilibrar el balancín? (Josh pesa 65 libras).
La intensidad de la luz es inversamente proporcional del cuadrado de la distancia entre la fuente de la luz y el objeto iluminado. Un medidor de la luz que está a 10 metros de la fuente de la luz registra 35 lux. ¿Cuál es la intensidad que registraría a 25 metros de la fuente de la luz?
La ley de Ohm establece que el flujo de corriente en un cable es inversamente proporcional a la resistencia del cable. Si la corriente es 2,5 amperes cuando la resistencia es 20 ohms, encuentra la resistencia cuando la corriente es 5 amperes.
El número de baldosas que caben en un piso de baño varía inversamente del cuadrado del lado de la baldosa. Si cabe 112 baldosas de seis pulgadas, ¿Cuántas baldosas de ocho pulgadas se necesitan?

Revisión Mixta

Resuelve y grafica la solución de: $16 \ge -3x+5$ .
Grafica en un plano cartesiano: $x=\frac{7}{14}$ .
Simplifica $\sqrt[3]{320}$ .
Menciona la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación.
Dibuja la jerarquía de los números reales y da un ejemplo para cada categoría.
Encuentra el 17,5% de 96.

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Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

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