Gráficos de Funciones Racionales

En esta Sección aprenderás sobre los atributos de las funciones racionales y sus gráficos.

Supón que Susan y Victor grafican la función $y= \frac{8}{5-x}$ en sus calculadoras gráficas. Susan dice que el gráfico parece incorrecto porque debería haber un vacío en el gráfico en $x=5$ . Victor dice que el grafico es correcto y que la calculadora no comete errores. ¿Quién crees que está en lo correcto? ¿Por qué? En esta Sección, aprenderás sobre gráficos de funciones racionales y sus atributos para que puedas resolver problemas como este.

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Enlace Multimedia Para más información sobre asíntotas, mira esta presentación de PowerPoint (en inglés) presentada por la Comunidad Escolar de Virginia del Norte o mira esto: CK-12 Basic Algebra: Finding Vertical Asymptotes of Rational Functions

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Orientación

En la Sección anterior, aprendiste los conceptos básicos de los gráficos de funciones de variación inversa. La hipérbola forma dos ramas en cuadrantes opuestos. Los ejes son asíntotas para el gráfico. Esta Sección comparará gráficos de funciones de variación inversa. Además, aprenderás a graficar otras funciones racionales.

Ejemplo A

Grafica la función $f(x)=\frac{k}{x}$ para los siguientes valores de $k$ :

$k=-2, -1, -\frac{1}{2}, 1, 2, 4$

Solución:

Los gráficos muestran los valores para $k = 1, k = 2,$ y $k = \left(\frac{1}{2} \right )$ en el Cuadrante I. Prueba completando el Cuadrante III para estos gráficos y también los otros valores

Recuerda, como ya se menciono en las secciones anteriores, si $k$ es positiva, entonces las ramas de la hipérbola se ubicarán en los cuadrantes I y III. Si $k$ es negativa, las ramas se ubicarán en los cuadrantes II y IV. Además, nota como la hipérbola cambia a medida que $k$ aumenta.

Funciones Racionales

Una función racional es una razón de dos polinomios (un polinomio dividido por otro polinomio). La definición formal es:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}, \text{where} \ h(x) \neq 0$ .

Una asíntota es un valor para el cual la ecuación o función es indefinida. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. Este texto se enfocará en asíntotas verticales; otros cursos de matemáticas te enseñaran a encontrar asíntotas horizontales u oblicuas. Una función es indefinida cuando el denominador de una fracción es cero. Para encontrar las asíntotas, determina cuando el denominador de una función racional es cero. Estos se conocen como puntos de discontinuidad de una función.

La definición formal de una asíntota es así.

Una asíntota es una línea recta en la cual, a medida que se aleja del punto de origen, una curva se le acerca y acerca pero nunca se intercepta.

Ejemplo B

es una línea recta en la cual, a medida que se aleja del punto de origen, una curva se le acerca y acerca pero nunca se intercepta. $y=\frac{6}{x-5}$ .

Solución:

Encuentra el valor de $x$ para el cual el denominador de la función racional es cero.

$0=x-5 \rightarrow x=5$

El punto en que $x=5$ es un punto de discontinuidad. Por lo tanto, la asíntota tiene la ecuación $x=5$ .

Mira el gráfico de la función. Hay una clara separación de las ramas en la línea vertical cinco unidades a la derecha del punto de origen.

El dominio es "todos los números reales excepto el cinco" o en símbolos, $x \neq 5$ .

Asíntotas Horizontales

Las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales. La ecuación de una asíntota horizontal es $y=c$ , donde $c$ representa el cambio vertical de la función racional.

Ejemplo C

Identifica las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)=\frac{3}{(x-4)(x+8)}-5$ .

Solución: Las asíntotas verticales se presentan donde el denominador es igual a cero.

$x-4 &= 0 \rightarrow x=4\\\x+8 &= 0 \rightarrow x=-8$

Las asíntotas verticales son $x=4$ y $x=-8$ .

La función racional ha sido cambiada cinco unidades hacia abajo: $f(x)=\frac{3}{(x-4)(x+8)}-5$ .

Por lo tanto, la asíntota horizontal es $y=-5$ .

Funciones Racionales del Mundo Real

Los circuitos están presentes en nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, los podemos encontrar en todas las instalaciones eléctricas en nuestras casas. La figura a continuación muestra un ejemplo de un circuito eléctrico simple. Consiste de una batería que genera voltaje ( $V$ ( , medida en voltios), un reóstato ( $R$ medida en ohms, $\Omega$ ) que controla el flujo de electricidad y un amperímetro que mide la corriente ( $I$ , medida en amperes, $A$ ) en el circuito. La ampolleta, el tostador y el secador de pelo son básicamente reóstatos simples. Además, los reóstatos se utilizan en un circuito eléctrico para controlar la cantidad de flujo de corriente y regular los niveles de voltaje. Una razón importante para hacer esto es prevenir que se quemen los artefactos eléctricos debido a una cantidad muy grande de corriente o voltaje muy alto. Los reóstatos se pueden poner en series o en paralelo.

Para los reóstatos ubicados en serie, la resistencia total es solo la suma de las resistencias individuales de cada reóstato.

$R_{tot} =R_1+R_2$

Para los reóstatos ubicados en paralelo, la resistencia total reciproca es la suma de los recíprocos de la resistencia de cada reóstato.

$\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

La ley de Ohm proporciona una relación entre corriente, voltaje y resistencia. Establece que:

$I=\frac{V}{R}$

Ejemplo D

Encuentra el valor de la $x$ marcada en el diagrama.

Solución:

Usando la Ley de Ohm, $I=\frac{V}{R}$ , y sustituyendo la información apropiada nos da:

$2= \frac{12}{R}$

Usando multiplicación cruzada de una proporción nos da:

$2R=12 \rightarrow R=6 \ \Omega$

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Determina las asíntotas de $t(x)=\frac{2}{(x-2)(x+3)}$ .

Solución:

Usando la Propiedad del Producto Cero, hay dos casos para las asíntotas, donde cada conjunto de paréntesis es igual a cero.

$x-2 &= 0 \rightarrow x=2\\\x+3 &= 0 \rightarrow x=-3$

Las dos asíntotas para esta función son $x=2$ y $x=-3$ .

Comprueba la solución graficando la función.

El dominio de la función racional anterior tiene dos puntos de discontinuidad. Por lo tanto, su dominio no puede incluir los números 2 o -3. El siguiente es el dominio: $x \neq 2, x \neq -3$ .

Práctica

¿Qué es una función racional?
Define asíntota. . ¿Cómo se relaciona algebraicamente una asíntota con una ecuación racional?
3. ¿Qué tipo de asíntotas se describen en esta Sección? ¿Cuál es la ecuación general para estas asíntotas?

Identifica las asíntotas verticales y horizontales de cada función racional.

$y=\frac{4}{x+2}$
$f(x)=\frac{5}{2x-6}+3$
$y=\frac{10}{x}$
$g(x)=\frac{4}{4x^2+1}-2$
$h(x)=\frac{2}{x^2-9}$
$y=\frac{1}{x^2+4x+3}+\frac{1}{2}$
$y=\frac{3}{x^2-4}-8$
$f(x)=\frac{-3}{x^2-2x-8}$

Grafica cada función racional. Dibuja las asíntotas verticales y horizontales como líneas cortadas.

$y=-\frac{6}{x}$
$y=\frac{x}{2-x^2}-3$
$f(x)=\frac{3}{x^2}$
$g(x)=\frac{1}{x-1}+5$
$y=\frac{2}{x+2}-6$
$f(x)=\frac{-1}{x^2+2}$
$h(x)=\frac{4}{x^2+9}$
$y=\frac{-2}{x^2+1}$
$j(x)=\frac{1}{x^2-1}+1$
$y=\frac{2}{x^2-9}$
$f(x)=\frac{8}{x^2-16}$
$g(x)=\frac{3}{x^2-4x+4}$
$h(x)=\frac{1}{x^2-x-6}-2$

Encuentra la cantidad de $x$ en el siguiente circuito.

Revisión Mixta

Un edificio de 350 pies de altura hace una sombra de $\frac{1}{2}$ millas de largo. ¿Cuán larga es la sombra de una persona que mide cinco pies?
Menciona la Propiedad de Productos Cruzados.
Encuentra la pendiente entre (1, 1) y (-4, 5).
La cantidad de reembolso por latas de bebida en Michigan es directamente proporcional al número de latas devueltas. Si obtienes un reembolso de $12.00 por 120 latas, ¿cuánto es lo que ganas por lata?
Pones las letras de la palabra VACACIÓN en un sombrero. Si quieres sacar una letra al azar, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una $A$ ?
Da un ejemplo de un binomio de sexto grado.

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