División de Polinomios

En esta Sección aprenderás a resolver problemas de divisiones que involucran polinomios.

Supón que sabes que el área de un mural rectangular en pies cuadrados es representado por el polinomio $x^2+2x-24$ y que la longitud del mural en pies es representado por el binomio $x+6$ . ¿Cómo calcularías el ancho del mural? ¿Sería también un binomio? En esta Sección, aprenderás a dividir polinomios para que puedas resolver problemas como este.

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Enlace Multimedia (en inglés): Para más información sobre divisiones largas para simplificar expresiones racionales, visita la página http://www.purplemath.com/modules/polydiv2.htm - o mira esto: CK-12 Basic Algebra: 6 7 Polynomial long division with Mr. Nystrom

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- YouTube video.

Orientación

Comenzaremos con una propiedad que es lo opuesto de la Propiedad de Suma de Fracciones presentada en Secciones anteriores.

Para todos los números reales $a, b$ , y $c$ , y $c \neq 0$ , $\frac{a+b}{c}$ = $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ .

Esta propiedad permite separar el numerador en su fracción individual. Esta propiedad es usada cuando dividimos un polinomio por un monomio.

Ejemplo A

Simplifica $\frac{8x^2-4x+16}{2}$ .

Solución:

Usando la propiedad anterior, separa el polinomio en sus fracciones individual.

$&& \frac{8x^2}{2}-\frac{4x}{2}+\frac{16}{2}\\\\text{Reduce.} && 4x^2-2x+8$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{-3m^2-18m+6}{9m}$ .

Solución:

Separa el trinomio en sus fracciones individual y reduce.

$& -\frac{3m^2}{9m}-\frac{18m}{9m}+\frac{6}{9m}\\\& -\frac{m}{3}-2+\frac{2}{3m}$

Los polinomios pueden ser divididos por binomios. Sin embargo, en lugar de separar en sus fracciones individuales, usamos un proceso conocido como división larga.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{x^2+4x+5}{x+3}$ .

Solución:

Cuando realizamos división, la expresión en el numerador se conoce como dividendo y la expresión en el denominador divisor.

Para empezar la división rescribimos el problema en la siguiente forma.

Empieza dividiendo el primer término en el dividendo por el primer término en el divisor $\frac{x^2}{x}=x$ . Pon la respuesta sobre la línea del término $x$ .

Luego, multiplica el término $x$ en la respuesta por cada uno de los términos $x+3$ en el divisor y pon el resultado bajo los términos similares ya divididos.

Ahora resta $x^2+3x$ de $x^2+4x+5$ . Es útil cambiar los signos de los términos de $x^2+3x$ a $-x^2-3x$ y suma los términos similares verticalmente.

Ahora, reduce 5, el siguiente término en el dividendo.

Repite el proceso. Primero divide el primer termino de $x+5$ por el primer termino del divisor $\left(\frac{x}{x}\right)=1$ . Pon esta repuesta sobre la línea del término constante del dividendo.

Multiplica 1 por el divisor $x+3$ y rescribe la respuesta bajo $x+5$ , términos similares que coincidan.

Resta $x+3$ de $x+5$ bcambiando los signos de $x+3$ a $-x-3$ y sumando los términos similares.

Como no hay más término en el dividendo para reducir, hemos terminado.

La respuesta es $x+1$ con un resto de 2.

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Divide $9x^2-16$ by $3x+4$ .

Solución:

Te piden simplificar:

$\frac{9x^2-16}{3x+4}.$

Puedes usar división larga para encontrar la respuesta. También puedes usar patrones de polinomios para simplificar y cancelar.

Recuerda que $a^2-b^2=(a+b)(a-b).$ Usa este patrón para resolver este problema ya que $9x^2-16=(3x)^2-4^2$ :

$\frac{9x^2-16}{3x+4}&=\frac{(3x)^2-4^2}{3x+4}\\\&=\frac{(3x-4)(3x+4)}{3x+4}\\\&=3x-4$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos. CK-12 Basic Algebra: Polynomial Division (12:09)

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Divide los siguientes polinomios.

$\frac{2x+4}{2}$
$\frac{x-4}{x}$
$\frac{5x-35}{5x}$
$\frac{x^2+2x-5}{x}$
$\frac{4x^2+12x-36}{-4x}$
$\frac{2x^2+10x+7}{2x^2}$
$\frac{x^3-x}{-2x^2}$
$\frac{5x^4-9}{3x}$
$\frac{x^3-12x^2+3x-4}{12x^2}$
$\frac{3-6x+x^3}{-9x^3}$
$\frac{x^2+3x+6}{x+1}$
$\frac{x^2-9x+6}{x-1}$
$\frac{x^2+5x+4}{x+4}$
$\frac{x^2-10x+25}{x-5}$
$\frac{x^2-20x+12}{x-3}$
$\frac{3x^2-x+5}{x-2}$
$\frac{9x^2+2x-8}{x+4}$
$\frac{3x^2-4}{3x+1}$
$\frac{5x^2+2x-9}{2x-1}$
$\frac{x^2-6x-12}{5x+4}$
$\frac{x^4-2x}{8x+24}$
$\frac{x^3+1}{4x-1}$

Revisión Mixta

La ley de Boyle establece que el volumen de un gas comprimido varia inversamente de su presión. Si la presion de un gas de 200 libras es 16,75 psi, encuentra la presión si la cantidad de gas es 60 libras.
Es $5x^3+x^2-x^{-1}+8$ un ejemplo de un polinomio? Explica tu respuesta.
Encuentra la pendiente de una recta perpendicular a $y=-\frac{3}{4} x+5$ .
¿Cuántos grupos de dos personas se pueden formar de un grupo de nueve individuos?
Resuelve $m: -4= \frac{\sqrt{m-3}}{-2}$ .

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