Valores Excluidos para Expresiones Racionales

En esta Sección aprenderás a encontrar valores excluidos para una expresión racional y a cómo simplificar la expresión.

¿Sabías que Plutón ya no es considerado un planeta? Aun así, podemos calcular la distancia entre este y el sol. Todo lo que tendríamos que saber es la fuerza de atracción entre Plutón y el Sol, las masas de dos objetos y el valor de la constante de gravitación. En esta Sección, aprenderás a simplificar expresiones racionales, incluyendo expresiones de la vida cotidiana como este problema.

Orientación

Hasta ahora has trabajado con funciones racionales. En esta Sección, seguirás simplificando expresiones por medio de la factorización.

Simplificar una expresión racional significa reducir la fracción a su mínima expresión.

Para hacer esto, tendrás que recordar una propiedad sobre multiplicación.

Para todos los valores reales $a \text{ and } b$ , y $b \neq 0, \frac{ab}{b}=a$ .

Ejemplo A

Simplifica $\frac{x^2-2x+1}{8x-8}$ .

Solución: Factoriza ambas partes de la expresión racional y reduce.

$& \frac{x^2-2x+1}{8x-8} \rightarrow \frac{(x-1)(x-1)}{8(x-1)}\\\& \frac{x^2-2x+1}{8x-8}=\frac{x-1}{8}$

Encontrando Valores Excluidos de Expresiones Racionales

Como se expuso en una Sección anterior, los valores excluidos también se conocen como puntos de discontinuidad. Estos son valores que hacen que el denominador sea igual a cero y no son parte del dominio.

Ejemplo B

Encuentra los valores excluidos de $\frac{2x+1}{x^2-x-6}$ .

Solución: Factoriza el denominador de la expresión racional.

$\frac{2x+1}{x^2-x-6}=\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)}$

Encuentra el valor que hace que cada factor sea igual a cero.

$x=-2, x=3$

Estos son valores excluidos del dominio de la expresión racional.

Expresiones Racionales del Mundo Real

La fuerza gravitacional entre dos objetos está dada por la formula $F=\frac{G(m_1m_2)}{(d^2)}$ . La constante de gravitación está dada por $G=6.67 \times 10^{-11} (N \cdot m^2/kg^2)$ . La fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna es $F=2.0 \times 10^{20} \ N$ (con masas de $m_1=5.97 \times 10^{24} \ kg$ para la Tierra y $m_2=7.36 \times 10^{22} \ kg$ para la Luna).

Ejemplo C

¿Cuál es la distancia entre la Tierra y la Luna?

Solución:

$&\text{Let's start with the Law of Gravitation formula}. && F =G\frac {m_1m_2}{d^2} \\\&\text{Now plug in the known values}. && 2.0\times 10^{20} N =6.67\times 10^{-11} \frac {N \cdot m^2}{kg^2}.\frac {(5.97\times 10^{24}kg)(7.36\times 10^{22}kg)}{d^2} \\\&\text{Multiplica the masses together}. && 2.0\times 10^{20} N =6.67\times 10^{-11} \frac {N \cdot m^2}{kg^2}.\frac {4.39\times 10^{47}kg^2}{d^2} \\\&\text{Cancel the}\ kg^2\ \text{units}. && 2.0\times 10^{20} N = 6.67 \times 10^{-11} \frac{N \cdot m^2} {\cancel{kg^2}} \cdot \frac{4.39 \times 10^{47} \cancel{kg^2}} {d^2} \\\&\text{Multiplica the numbers in the numerator}. && 2.0\times 10^{20} N \frac {2.93\times 10^{37}}{d^2}N \cdot m^2 \\\&\text{Multiplica both sides by}\ d^2. && 2.0\times 10^{20} N \cdot d^2 =\frac {2.93\times 10^{37}}{d^2} \cdot d^2 \cdot N \cdot m^2 \\\&\text{Cancel common factors}. && 2.0\times 10^{20} N \cdot d^{2} = \frac{2.93 \times 10^{37}} {\cancel{d^2}} \cdot \cancel{d^2} \cdot N \cdot m^2 \\\&\text{Simplifica}. && 2.0\times 10^{20} N \cdot d^2 = 2.93\times 10^{37}N \cdot m^2 \\\&\text{Divide both sides by}\ 2.0 \times 10^{20} N. && d^2 =\frac {2.93 \times 10^{37}}{2.0\times 10^{20}}\frac {N \cdot m^2}{N} \\\&\text{Simplifica}. && d^2 =1.465\times 10^{17} m^2 \\\&\text{Take the square root of both sides}. && d =3.84 \times 10^8m\\\$

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Encuentra los valores excluidos por medio de la simplificación $\frac{4x-2}{2x^2+x-1}$ .

Solución:

Tanto el numerador como el denominador se pueden factorizar usando los métodos aprendidos en las Secciones anteriores.

$\frac{4x-2}{2x^2+x-1} \rightarrow \frac{2(2x-1)}{(2x-1)(x+1)}$

La expresión $(2x-1)$ aparece tanto en el numerador como en el denominador y se puede cancelar. La expresión queda:

$\frac{4x-2}{2x^2+x-1}=\frac{2}{x+1}$

Como $x+1=0\Rightarrow x=-1$ , entonces $x=-1$ es un valor excluido.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos. CK-12 Basic Algebra: Simplificaing Rational Expressions (15:22)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Reduce cada fracción a su mínima expresión.

$\frac{4}{2x-8}$
$\frac{x^2+2x}{x}$
$\frac{9x+3}{12x+4}$
$\frac{6x^2+2x}{4x}$
$\frac{x-2}{x^2-4x+4}$
$\frac{x^2-9}{5x+15}$
$\frac{x^2+6x+8}{x^2+4x}$
$\frac{2x^2+10x}{x^2+10x+25}$
$\frac{x^2+6x+5}{x^2-x-2}$
$\frac{x^2-16}{x^2+2x-8}$
$\frac{3x^2+3x-18}{2x^2+5x-3}$
$\frac{x^3+x^2-20x}{6x^2+6x-120}$

Encuentra los valores excluidos para cada expresión racional.

$\frac{2}{x}$
$\frac{4}{x+2}$
$\frac{2x-1}{(x-1)^2}$
$\frac{3x+1}{x^2-4}$
$\frac{x^2}{x^2+9}$
$\frac{2x^2+3x-1}{x^2-3x-28}$
$\frac{5x^3-4}{x^2+3x}$
$\frac{9}{x^3+11x^2+30x}$
$\frac{4x-1}{x^2+3x-5}$
$\frac{5x+11}{3x^2-2x-4}$
$\frac{x^2-1}{2x^3+x+3}$
$\frac{12}{x^2+6x+1}$
IEn un circuito eléctrico con reóstatos ubicados en paralelo, el reciproco de la resistencia total es igual a la suma de los recíprocos de cada resistencia: $\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . If $R_1=25 \Omega$ y la resistencia total es $R_c=10 \Omega$ , ¿cuál es la resistencia $R_2$ ?
Supón que dos objetos se atraen con una fuerza de gravedad de 20 Newtons. Si la distancia entre dos objetos se dobla, ¿cuál es la nueva fuerza de atracción entre los dos objetos?
Supón que dos objetos se atraen con una fuerza de gravedad de 36 Newtons. Si la masa de ambos objetos se dobló y si la distancia también se dobló, entonces ¿Cuál sería la nueva fuerza de atracción entre los dos objetos?
Una esfera con un radio $r$ tiene un volumen de $\frac{4}{3} \pi r^3$ y un área superficial de $4 \pi r^2$ . Encuentra la razón entre el área superficial y el volumen de la esfera.
El lado de un cubo aumenta por un factor de dos. Encuentra la razón entre el volumen anterior y el nuevo volumen.
El radio de una esfera disminuye por cuatro unidades. Encuentra la razón entre el volumen anterior y el nuevo volumen.

Revisión Mixta

Nombra $4p^6+7p^3-9$ .
Simplifica $(4b^2+b+7b^3 )+(5b^2-6b^4+b^3)$ . Escribe la respuesta en la forma estándar.
Enuncia la Propiedad del Producto Cero.
¿Por qué la Propiedad del Producto Cero no se puede utilizar en esta situación: $(5x+1)(x-4)=2$ ?
Shelly gana $4,85 por hora más $15 en propinas. Grafica su posible ganancia total en un día de trabajo.
Multiplica y simplifica: $(-4x^2+8x-1)(-7x^2+6x+8)$ .
El perímetro de un rectángulo es de 65 yardas. El largo es 7 yardas más que su ancho. ¿Qué dimensiones darían el área más larga?

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