Multiplicación de Expresiones Racionales

En esta Sección aprenderás a encontrar el producto de dos expresiones racionales.

Supón que jugabas en tu celular en el cual te dieron dos expresiones racionales al azar y te pidieron identificar el producto de las dos expresiones. Si una de las expresiones fuera $\frac {x^2+3x+2}{x-9}$ y la otra expresión $\frac {x^2-10x+9}{x^2-4}$ , ¿serías capaz de multiplicarlas? ¿Se puede simplificar el producto? En esta Sección, aprenderás sobre la multiplicación de expresiones racionales como estas.

Orientación

Debido a que una expresión racional es realmente una fracción, dos (o más) expresiones racionales pueden ser combinadas a través de la multiplicación o división de la misma manera que lo hacemos con fracciones numéricas. A continuación, te recordamos como multiplicar y dividir fracciones.

Para cualquier expresión racional $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0$ ,

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd}\\\\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \rightarrow \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Ejemplo A

Multiplica: $\frac{a}{16b^8} \cdot \frac{4b^3}{5a^2}$ .

Solución:

$\frac{a}{16b^8} \cdot \frac{4b^3}{5a^2} \rightarrow \frac{4ab^3}{80a^2 b^8}$

Simplifica los exponentes usando lo aprendido en las Secciones anteriores.

$\frac{4ab^3}{80a^2 b^8}=\frac{1}{20ab^5}$

Ejemplo B

Simplifica $9c^2 \cdot \frac{4y^2}{21c^4}$ .

Solución:

$9c^2 \cdot \frac{4y^2}{21c^4} \rightarrow \frac{9c^2}{1} \cdot \frac{4y^2}{21c^4}\\\\frac{9c^2}{1} \cdot \frac{4y^2}{21c^4}=\frac{36c^2 y^2}{21c^4}\\\\frac{36c^2 y^2}{21c^4}=\frac{12y^2}{7c^2}$

Multiplicación de Expresiones Racionales que Involucran Polinomios

Cuando las expresiones se vuelven complejas, generalmente es más fácil factorizarlas y reducirlas antes de multiplicar.

Ejemplo C

Multiplica $\frac{4x+12}{3x^2} \cdot \frac{x}{x^2-9}$ .

Solución:

Factoriza todas las partes de estas expresiones racionales y redúcelas antes de multiplicar.

$\frac{4x+12}{3x^2} \cdot & \frac{x}{x^2-9} \rightarrow \frac{4(x+3)}{3x^2} \cdot \frac{x}{(x+3)(x-3)}\\\& \frac{4\cancel{(x+3)}}{3x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{(x+3)}(x-3)}\\\& \frac{4}{3x} \cdot \frac{1}{x-3} \rightarrow \frac{4}{3x^2-9x}$

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Multiplica $\frac{12x^2-x-6}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+7x+6}{4x^2-27x+18}$ .

Solución: Factoriza todas las partes, reduce y luego multiplica.

$\frac{12x^2-x-6}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+7x+6}{4x^2-27x+18} & \rightarrow \frac{(3x+2)(4x-3)}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x+1)(x+6)}{(4x-3)(x-6)}\\\\frac{(3x+2)\cancel{(4x-3)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)} \cdot \frac{\cancel{(x+1)}(x+6)}{\cancel{(4x-3)}(x-6)} & \rightarrow \frac{(3x+2)(x+6)}{(x-1)(x-6)}\\\\frac{12x^2-x-6}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+7x+6}{4x^2-27x+18} &= \frac{3x^2+20x+12}{x^2-7x+6}$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos. CK-12 Basic Algebra: Multiplicaing and Dividing Rational Expressions (9:19)

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En los ejercicios 1-10, realiza la operación indicada y reduce la respuesta a su mínima expresión.

$\frac{x^3}{2y^3} \cdot \frac{2y^2}{x}$
$\frac{2x}{y^2} \cdot \frac{4y}{5x}$
$2xy \cdot \frac{2y^2}{x^3}$
$\frac{4y^2-1}{y^2-9} \cdot \frac{y-3}{2y-1}$
$\frac{6ab}{a^2} \cdot \frac{a^3b}{3b^2}$
$\frac{33a^2}{-5} \cdot \frac{20}{11a^3}$
$\frac{2x^2+2x-24}{x^2+3x} \cdot \frac{x^2+x-6}{x+4}$
$\frac{x}{x-5} \cdot \frac{x^2-8x+15}{x^2-3x}$
$\frac{5x^2+16x+3}{36x^2-25} \cdot (6x^2+5x)$
$\frac{x^2+7x+10}{x^2-9} \cdot \frac{x^2-3x}{3x^2+4x-4}$

Revisión Mixta

El tiempo que toma llegar a un lugar de destino varia inversamente de la velocidad en la cual viajas. Toma 3,6 horas llegar a tu destino viajando 65 millas por hora. ¿Cuál es la distancia que toma llegar a tu destino viajando a 78 millas por hora?
Un vivero local hace dos tipos de arreglos de otoño. Un arreglo está formado de 8 crisantemos y cinco rudbeckias. El otro arreglo está formado de seis crisantemos y 9 rudbeckias. El vivero no puede utilizar más de 144 crisantemos y 135 rudbeckias. El primer arreglo se vende en $49,99 y el segundo a $38,95. ¿Qué tipo se debería vender para maximizar las ganancias?
Encuentra el valor de $r$ y grafica la solución en una recta numérica: $-24 \ge |2r+3|$ .
¿Qué es cierto de cualquier recta paralela a $5x+9y=-36$ ?
Encuentra el valor de $d: 3+5d=-d-(3x-3)$ .
Grafica y determina el dominio y rango de: $y-9=-x^2-5x$ .
Rescribe en forma vértice completando el cuadrado. Identifica el vértice: $y^2-16y+3=4$ .

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