División de Expresiones Racionales

En esta Sección aprenderás a encontrar el cociente de dos expresiones racionales.

Supón que la distancia viajada en millas por un globo de aire caliente puede ser representada por $8x^3-8x$ , mientras que la velocidad del globo en millas puede ser representada por $x^2+x$ . ¿Serias capaz de encontrar el tiempo que tarda el globo en cubrir la distancia dada? ¿Podrías resolver la expresión que encontraste para $x=2$ ? En esta Sección, aprenderás sobre la división de expresiones racionales para que puedas resolver problemas como este.

Orientación

Dividiendo Expresiones Racionales que Involucran Polinomios

La división de expresiones racionales funciona de la misma manera que la multiplicación. A continuación, te recordamos como dividir fracciones.

Para cualquier expresión racional $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0$ ,

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \rightarrow \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Ejemplo A

Simplifica $\frac{9x^2-4}{2x-2} \div \frac{21x^2-2x-8}{1}$ .

Solución:

$\frac{9x^2-4}{2x-2} \div \frac{21x^2-2x-8}{1} \rightarrow \frac{9x^2-4}{2x-2} \cdot \frac{1}{21x^2-2x-8}$

Repite el proceso para multiplicar expresiones racionales.

$\frac{9x^2-4}{2x-2} \cdot \frac{1}{21x^2-2x-8} & \rightarrow \frac{(3x-2)\cancel{(3x-2)}}{2(x-1)} \cdot \frac{1}{\cancel{(3x-2)}(7x+4)}\\\\frac{9x^2-4}{2x-2} \div \frac{21x^2-2x-8}{1} &= \frac{3x-2}{14x^2-6x-8}$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{x^2+3x-10}{5x+15} \div \frac{x-2}{x^2+2x-3}$ .

Solución:

$\frac{x^2+3x-10}{5x+15} \div \frac{x-2}{x^2+2x-3} \rightarrow \frac{x^2+3x-10}{5x+15} \cdot \frac{x^2+2x-3}{x-2}$

Repite el proceso para multiplicar expresiones racionales.

$\frac{x^2+3x-10}{5x+15} \cdot \frac{x^2+2x-3}{x-2} & \rightarrow \frac{(x+5)(x-2)}{5(x+3)} \cdot \frac{x-2}{(x+3)(x-1)}\\\\frac{(x+5)\cancel{(x-2)}}{5\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{(\cancel{x+3})(x-1)}&=\frac{x+5}{5} \cdot \frac{1}{(x-1)}=\frac{x+5}{5x-5}\\\\frac{x^2+3x-10}{5x+15} \div \frac{x-2}{x^2+2x-3} &= \frac{x+5}{5x-5}$

Aplicación de Funciones Racionales en el Mundo Real

Ejemplo C

Supón que Marciel está entrenando para una carrera. La velocidad de Marciel (en millas por hora) de su entrenamiento matutino está dada por la función $x^3-9x$ , donde $x$ es el número de tazones de cereal que come para el desayuno $(1 \le x \le 6)$ . La distancia de entrenamiento de Marciel (en millas), si come $x$ tazones de cereal, es $3x^2-9x$ . ¿Cuál es la función para el tiempo de Marciel y cuánto le toma hacer su carrera de entrenamiento si come cinco tazones de cereal la mañana del martes?

Solución:

$\text{time} &= \frac{\text{distance}}{\text{speed}}\\\\text{time} &= \frac{3x^2-9x}{x^3-9x}=\frac{3x(x-3)}{x(x^2-9)}=\frac{3x\cancel{(x-3)}}{x(x+3)\cancel{(x-3)}}\\\\text{time} &= \frac{3}{x+3}\\\\text{If} \ x &= 5, \text{then}\\\\text{time} &= \frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}$ .

Marciel correrá por $\frac{3}{8}$ de una hora.

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Simplifica $\frac{1}{5x^2-30x+40} \div \frac{3x-6}{2x^2-8x}$ .

Solución:

$\frac{1}{5x^2-30x+40} \div \frac{3x-6}{2x^2-8x} &= \frac{1}{5x^2-30x+40} \cdot \frac{2x^2-8x}{3x-6}\\\ &= \frac{1}{5(x-2)(x-4)} \cdot \frac{2x(x-4)}{3(x-2)}\\\ &= \frac{1}{5(x-2) \cancel{(x-4)}} \cdot \frac{2x \cancel{(x-4)}}{3(x-2)}\\\&=\frac{2x}{5(x-2)^2}$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos. CK-12 Basic Algebra: Multiplicaing and Dividing Rational Expressions (9:19)

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En los ejercicios 1-10, realiza la operación indicada y reduce la respuesta a su mínima expresión.

$2xy \div \frac{2x^2}{y}$
$\frac{x^2}{x-1} \div \frac{x}{x^2+x-2}$
$\frac{a^2+2ab+b^2}{ab^2-a^2b} \div (a+b)$
$\frac{3-x}{3x-5} \div \frac{x^2-9}{2x^2-8x-10}$
$\frac{x^2-25}{x+3} \div (x-5)$
$\frac{2x+1}{2x-1} \div \frac{4x^2-1}{1-2x}$
$\frac{3x^2+5x-12}{x^2-9} \div \frac{3x-4}{3x+4}$
$\frac{x^2+x-12}{x^2+4x+4} \div \frac{x-3}{x+2}$
$\frac{x^4-16}{x^2-9} \div \frac{x^2+4}{x^2+6x+9}$
$\frac{x^2+8x+16}{7x^2+9x+2} \div \frac{7x+2}{x^2+4x}$
La receta de Maria pide $2 \frac{1}{2} \ \text{times}$ más harina que azúcar. ¿Cuántas tazas de harina debería mezclar si usa $3 \frac{1}{3} \ \text{cups}$ de azúcar?
George conduce desde San Diego hasta Los Ángeles. En el viaje de retorno, aumenta la velocidad de conducción en 15 millas por hora. En términos de su velocidad inicial, ¿por qué factor se disminuye el tiempo de conducción en el viaje de retorno?
La ley de Ohm establece que en un circuito eléctrico $I=\frac{V}{R_c}$ . La resistencia total de los reóstatos ubicados en paralelo está dada por $\frac{1}{R_{tot}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . Escribe la fórmula para la corriente eléctrica en términos de los componentes de la resistencia: $R_1$ and $R_2$ .

Cuestionario Rápido

$h$ es inversamente proporcional a $t$ . Si $t=-0.05153$ cuando $h=-16$ , encuentra $t$ cuando $h=1.45$ .
Usa para las siguientes preguntas.
1. Encuentra los valores excluidos.
2. Determina las asíntotas verticales.
3. Dibuja un gráfico para esta función.
4. Determina su dominio y su rango.

Simplifica $\frac{8c^4+12c^2-22c+1}{4}$ .
Simplifica $\frac{10a^2-30a}{a-3}$ . ¿Cuáles son los valores excluidos?
Completa los espacios con directamente, inversamente o ninguna. La cantidad de tiempo que toma cortar el césped varia ________________ con el tamaño de la cortadora".

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