Suma y Resta de Expresiones Racionales

En esta Sección aprenderás a determinar la suma y la diferencia de dos expresiones racionales y a encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).

Supón que Jake puede fotocopiar todas las páginas de un libro en 3 horas y Meredith lo puede hacer en 2 horas. Si Jake empezó con las páginas iniciales del libro y Meredith con las páginas finales del libro y trabajan juntos, ¿cuántas horas les tomará fotocopiar todas las páginas? ¿Qué ecuación podríamos utilizar para encontrar la respuesta? En esta Sección, aprenderás sobre la suma y resta de expresiones racionales para que puedas resolver problemas como estos.

Orientación

Al igual que las fracciones numéricas, las expresiones racionales representan una parte de una cantidad entera. Recuerda que cuando sumamos o restamos fracciones, los denominadores deben ser los mismos. Una vez que los denominadores son idénticos, los numeradores se pueden combinar sumando o restando términos similares.

Ejemplo A

Simplifica: $\frac{4x^2-3}{x+5}+\frac{2x^2-1}{x+5}$ .

Solución: Los denominadores son idénticos; por lo tanto, podemos sumar los términos similares del numerador para simplificar.

$\frac{4x^2-3}{x+5}+\frac{2x^2-1}{x+5}=\frac{6x^2-4}{x+5}$

Sin embargo, no todos los denominadores son iguales. En el caso de denominadores diferentes , los denominadores comunes deben ser creados a través de la multiplicación encontrando el mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo (MCM) es el número más pequeño que puede ser dividido por cualquier miembro del conjunto.

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de $2, 4x$ , y $6x^2$ ? El número más pequeño que puede ser dividido por 2, 4 y 6 es seis. El exponente más grande para $x$ es 2. Por lo tanto, el MCM entre $2, 4x$ , y $6x^2$ es $6x^2$ .

Ejemplo B

Encuentra el mínimo común múltiplo de $2x^2+8x+8$ y $x^3-4x^2-12x$ .

Solución: Factoriza completamente los polinomios.

$2x^2+8x+8 &= 2(x^2+4x+4)=2(x+2)^2\\\x^3-4x^2-12x &= x(x^2-4x-12)=x(x-6)(x+2)$

El MCM se encuentra elevando cada factor a su potencia más alta que aparezca en ambas expresiones $LCM=2x(x+2)^2 (x-6)$

Utiliza este enfoque para sumar expresiones racionales con denominadores diferentes.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{2}{x+2}-\frac{3}{2x-5}$ .

Solución:

Los denominadores no se pueden factorizar más, por lo tanto, el MCM es el producto de entre ambos denominadores.

$LCD=(x+2)(2x-5)$

La primera fracción necesita multiplicarse por el factor $(2x-5)$ y la segunda fracción necesita multiplicarse por el factor $(x+2)$ .

$\frac{2}{x+2} \cdot \frac{(2x-5)}{(2x-5)} - \frac{3}{2x-5} \cdot \frac{(x+2)}{(x+2)}$

Combinamos los numeradores y simplificamos.

$\frac{2(2x-5)-3(x+2)}{(x+2)(2x-5)}=\frac{4x-10-3x-6}{(x+2)(2x-5)}$

Combina términos semejantes en el numerador.

$\frac{x-16}{(x+2)(2x-5)}$

Problemas de Trabajo

Estos son problemas en donde dos objetos trabajan juntos para completar una tarea. Los problemas de trabajo generalmente tienen expresiones racionales. Por lo general, establecemos ciertos problemas fijándonos en la parte de la tarea que hace cada persona o maquina. La tarea completa es la suma de las partes realizadas por cada individuo o maquina. .

Parte de la tarea realizada por la primera persona + Parte de la tarea realizada por la segunda persona = Una tarea terminada

Para determinar la parte de la tarea realizada por cada persona o maquina, utilizamos lo siguiente.

Parte de la tarea realizada = índice de trabajo $\times$ tiempo empleado en la tarea

En general, es muy útil establecer una tabla en donde podamos anotar todas las variables conocidas y desconocidas para cada persona o maquina y luego combinar las partes de la tarea realizadas por cada individuo o maquina.

Ejemplo D

Mary puede pintar una casa en 12 horas. John puede pintar una casa en 16 horas. ¿Cuánto tiempo se demorarían en pintar la casa si trabajan juntos?

Solución:

Digamos que $t=$ el tiempo que demoran Mary y John al pintar la casa juntos.

Debido a que Mary se demora 12 horas en pintar la casa, en una hora pinta $\frac{1}{12}$ de la casa.

Debido a que John se demora 16 horas en pintar la casa, en una hora pinta $\frac{1}{16}$ de la casa.

Mary y John trabajan juntos durante $t$ horas para pintar la casa juntos. Utiliza la siguiente fórmula:

Parte de la tarea realizada = índice de trabajo $\times$ tiempo empleado en la tarea

Podemos escribir que Mary completa $\frac{t}{12}$ de la casa y John completa $\frac{t}{16}$ de la casa en este tiempo. A continuación, te presentamos un resumen de la información en la siguiente tabla.

Pintor	Índice de Trabajo (por hora)	Tiempo Trabajado	Parte de la Tarea
Mary	$\frac{1}{12}$	$t$	$\frac{t}{12}$
John	$\frac{1}{16}$	$t$	$\frac{t}{16}$

Utiliza la formula:

Parte de la tarea realizada por la primera persona + Parte de la tarea realizada por la segunda persona = Una tarea terminada

Escribe una ecuación para ejemplificar,

$\frac{t}{12}+\frac{t}{16}=1.$

Resuelve la ecuación utilizando el mínimo común múltiplo.

$LCM &= 48\\\48 \cdot \frac{t}{12} + 48 \cdot \frac{t}{16} &= 48 \cdot 1\\\\cancel{48}^{4} \cdot \frac{t}{\cancel{12}}+\cancel{48}^3 \cdot \frac{t}{\cancel{16}} &= 48 \cdot 1\\\4t+3t &= 48\\\7t=48 \Rightarrow t &= \frac{48}{7}=6.86 \ hours \ {Answer}$

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Una manguera es 2 veces más rápida en llenar una piscina que otra manguera. Juntas se demoran 5 horas en llenar la piscina. ¿Cuánto tiempo se demorará la manguera más rápida en llenar la piscina?

Solución:

Digamos que $f$ es el tiempo que se demora la manguera más rápida en llenar la piscina. Debido a que la manguera es dos veces más rápida, la manguera más lenta se demora el doble. Por lo tanto, el tiempo que se demora la manguera más lenta en llenar la piscina es $2f$ . Después de 5 horas, la manguera más rápida llenará cierta porción de la piscina. Esa porción puede encontrarse dividiendo las 5 horas en el tiempo que le toma a la manguera más rápida llenar la piscina.

La manguera más rápida llenó la siguiente porción de la piscina:

$\frac{5}{f}$

La manguera más lenta llenó la siguiente porción de la piscina:

$\frac{5}{2f}$

Debido a que juntas llenaron en 5 horas la piscina completa, sumamos las porciones:

$\text{Using the Work Problem formula.} && \frac{5}{f}+\frac{5}{2f}&=1\\\\text{Multiplicaing top and bottom of the first fraction by 2, to get common denominators.} && \frac{10}{2f} +\frac{5}{2f}&=1\\\\text{Adding.} && \frac{15}{2f}&=1\\\\text{Solving for the variable.} && 15=2f \Rightarrow 7.5&=f$

La manguera más rápida se demorará 7,5 horas en llenar la piscina.

Práctica

Realiza las siguientes operaciones y simplifica. Deja el denominador en la forma factorizada.

$\frac{5}{24}-\frac{7}{24}$
$\frac{10}{21}+\frac{9}{35}$
$\frac{5}{2x+3}+\frac{3}{2x+3}$
$\frac{3x-1}{x+9}-\frac{4x+3}{x+9}$
$\frac{4x+7}{2x^2}-\frac{3x-4}{2x^2}$
$\frac{x^2}{x+5}-\frac{25}{x+5}$
$\frac{2x}{x-4}+\frac{x}{4-x}$
$\frac{10}{3x-1}-\frac{7}{1-3x}$
$\frac{5}{2x+3}-3$
$\frac{5x+1}{x+4}+2$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}$
$\frac{4}{5x^2}-\frac{2}{7x^3}$
$\frac{4x}{x+1}-\frac{2}{2(x+1)}$
$\frac{10}{x+5}+\frac{2}{x+2}$
$\frac{2x}{x-3}-\frac{3x}{x+4}$
$\frac{4x-3}{2x+1}+\frac{x+2}{x-9}$
$\frac{x^2}{x+4}-\frac{3x^2}{4x-1}$
$\frac{2}{5x+2}-\frac{x+1}{x^2}$
$\frac{x+4}{2x}+\frac{2}{9x}$
$\frac{5x+3}{x^2+x}+\frac{2x+1}{x}$
$\frac{4}{(x+1)(x-1)}-\frac{5}{(x+1)(x+2)}$
$\frac{2x}{(x+2)(3x-4)}+\frac{7x}{(3x-4)^2}$
$\frac{3x+5}{x(x-1)}-\frac{9x-1}{(x-1)^2}$
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{4}{(2x+5)(x-6)}$
$\frac{3x-2}{x-2}+\frac{1}{x^2-4x+4}$
$\frac{-x^2}{x^2-7x+6}+x-4$
$\frac{2x}{x^2+10x+25}-\frac{3x}{2x^2+7x-15}$
$\frac{1}{x^2-9}+\frac{2}{x^2+5x+6}$
$\frac{-x+4}{2x^2-x-15}+\frac{x}{4x^2+8x-5}$
$\frac{4}{9x^2-49}-\frac{1}{3x^2+5x-28}$
Un número es 5 menos que otro. La suma de sus recíprocos es $\frac{13}{36}$ . Encuentra ambos números.
Un número es 8 veces más que otro. La diferencia de sus recíprocos es $\frac{21}{20}$ . Encuentra ambos números.
Una manguera puede llenar un tanque con aceite en 4 horas y otra lo puede vaciar en 8 horas. Si las válvulas de ambas mangueras están abiertas, ¿cuánto se demorará en llenar el tanque?
Stefan y Misha lavan autos. Stefan podría lavar los autos en 6 horas y Misha podría lavarlos en 5 horas. Stefan comienza lavando los autos solo, pero luego de 2,5 horas tiene que irse a un partido de fútbol. Misha toma su lugar y continúa con la tarea. ¿Cuánto se demorara Misha en terminar de lavar los autos?
Amanda y su hermana Chyna están quitando la nieve para despejar la entrada del auto. Amanda se demora 3 horas en quitar la nieve y Chyna se demora 4 horas. Luego de que Amanda ha estado trabajando sola durante una hora, Chyna se le une para terminar el trabajo. ¿cuánto tiempo se demoraran en despejar la nieve de la entrada del auto?
En una planta embotelladora de bebidas, una maquina embotelladora puede completar la cuota diaria en diez horas y una segunda maquina puede cumplir la cuota diaria en 14 horas. Ambas maquinas comenzaron a trabajar juntas, pero luego de cuatro horas la maquina más lenta se descompuso y la maquina más rápida tiene que completar la tarea sola. ¿Cuántas horas trabajo sola la maquina más rápida?

Revisión Mixta

Explica la diferencia entre estas dos situaciones. Escribe una ecuación para ejemplificar cada situación. Asumiendo que un pueblo empieza con 10.000 personas. ¿Cuándo el enunciado b será mayor que el enunciado a?
1. En los últimos siete años, la población creció 500 personas cada año.
2. En los últimos siete años, la población creció 5% cada año.

Simplifica. Tu respuesta debería tener solo exponentes positivos. $\frac{16x^2 y^7}{-2x^8 y} \cdot \frac{1}{2} x^{-10}$
Encuentra el valor de $j: -12=j^2-8j$ . ¿Qué método usaste? ¿Por qué elegiste este método?
Jimmy lanza una pelota de basquetbol desde una altura de cuatro pies con una velocidad ascendente de 12 pies/seg.
1. Escribe una ecuación para ejemplificar esta situación.
2. ¿Llegará la pelota de Jimmy al aro ubicado a 10 pies de altura?

La distancia que viajas varia directamente con la velocidad en que conduces. Si puedes conducir 245 millas en cinco horas, ¿Cuánto tardará conducir 90 millas?
Dos ciudades están a 3,78 centímetros en un atlas. El atlas está dibujado a una escala de $\frac{1}{2} cm=14 \ miles$ . ¿Cuál es la verdadera distancia entre estas ciudades?

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