Ecuaciones Racionales Usando Proporciones

En esta Sección aprenderás a usar proporciones para encontrar las soluciones a ecuaciones racionales.

Supón que estuvieras viajando en un bote a pedales a una velocidad constante. En 6 minutos, viajas $x$ metros y en 10 minutos, viajas $x+4$ metros. ¿Podrías encontrar el valor de $x$ en esta situación? Si puedes, ¿cómo lo harías? Después de completar esta Sección, serás capaz de resolver ecuaciones racionales usando proporciones para que puedas manejar este tipo de problemas.

Solución de Ecuaciones Racionales

Ahora eres capaz de resolver ecuaciones racionales. Hay dos métodos principales que aprenderás para resolver ecuaciones racionales:

Productos Cruzados
Mínimo común denominador

En esta Sección, aprenderás a resolver problemas usando productos cruzados.

Resolviendo una Proporción Racional

Cuando dos expresiones racionales son iguales, se crea una proporción y se puede resolver usando sus productos cruzados.

Ejemplo A

Por ejemplo, para resolver $\frac{x}{5}=\frac{(x+1)}{2}$ , multiplica cruzado y los productos serán iguales.

$\frac{x}{5} = \frac{(x+1)}{2} \rightarrow 2(x)=5(x+1)$

Encuentra el valor de $x$ :

$2(x) &= 5(x+1) \rightarrow 2x=5x+5\\\2x-5x &= 5x-5x+5\\\-3x &= 5\\\x &= -\frac{5}{3}$

Ejemplo B

Resuelve $\frac{2x}{x+4}=\frac{5}{x}$ .

Solución:

$\frac{2x}{x+4} &= \frac{5}{x} \rightarrow 2x^2=5(x+4)\\\2x^2 &= 5(x+4) \rightarrow 2x^2=5x+20\\\&2x^2-5x-20 = 0$

Nota que esta ecuación tiene un grado de dos; es decir, es una ecuación cuadrática. Podemos resolverla usando la fórmula cuadrática.

$x=\frac{5 \pm \sqrt{185}}{4} \Rightarrow x \approx -2.15 \ \text{or} \ x \approx 4.65$

Ejemplo C

Resuelve $\frac{3x}{5x+2}=\frac{1}{x}$ .

Solución:

Empieza multiplicando cruzado:

$\frac{3x}{5x+2}=\frac{1}{x} \Rightarrow 3x^2=5x+2 \Rightarrow 3x^2-5x-2=0$

Como la ecuación tiene un término al cuadrado como su potencia más alta, es una ecuación cuadrática. Podemos resolver esto usando la fórmula cuadrática o factorizando.

1. Como no hay factores comunes, empezamos encontrando el producto de los coeficientes en frente del término al cuadrado y de la constante:

$3\cdot -2=-6$

2. ¿Que factores de -6 suman hasta 5? Sería -6 y 1, ya que -6+1=-5.

3. Factoriza, comienza por descomponer el término de al medio, $-5x$ , como sigue:

$0&=3x^2-5x-2=3x^2-6x+1x-2\\\ &=3x(x-2)+1(x-2)= (3x+1)(x-2)$

4. Utiliza el Principio del Producto Cero:

$(3x+1)(x-2)=0 \Rightarrow 3x+1=0 \text{ or } x-2=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3} \text{ or } x=2$

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Resuelve $-\frac{x}{2}=\frac{3x-8}{x}$ .

Solución:

$\text{Cross multiply:} && -\frac{x}{2}=\frac{3x-8}{x} \Rightarrow x^2&=-2(3x-8)\\\\text{Set one side equal to zero to get a quadratic equation:} && 0&=x^2+2(3x-8)\\\\text{Simplifica by distributing:} && 0&=x^2+6x-16\\\\text{Factor by determining } -16=8\cdot -2 \text{ and } 6=8+(-2): && 0&=x^2-2x+8x-16=x(x-2)+8(x-2)=(x+8)(x-2)\\\\text{Use the zero product principle:} && 0&=(x+8)(x-2) \Rightarrow x+8=0 \text{ or } x-2=0 \Rightarrow x=-8 \text{ or } x=2$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio práctico es el mismo en ambos CK-12 Basic Algebra: Solving Rational Equations (12:57)

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Resuelve las siguientes ecuaciones.

$\frac{2x+1}{4}=\frac{x-3}{10}$
$\frac{4x}{x+2}=\frac{5}{9}$
$\frac{5}{3x-4}=\frac{2}{x+1}$
$\frac{7x}{x-5}=\frac{x+3}{x}$
$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x+4}=0$
$\frac{3x^2+2x-1}{x^2-1}=-2$

Revisión Mixta

Divide: $-2 \frac{9}{10} \div - \frac{15}{8}$ .
Resuelve $g: -1.5 \left(-3 \frac{4}{5}+g \right)=\frac{201}{20}$ .
Encuentra el discriminante de $6x^2+3x+4=0$ y determina la naturaleza de las raíces.
Simplifica $\frac{6b}{2b+2}+3$ .
Simplifica $\frac{8}{2x-4}- \frac{5x}{x-5}$ .
Divide: $(7x^2+16x-10) \div (x+3)$ .
Simplifica $(n-1)*(3n+2)(n-4)$ .

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Ecuaciones Racionales Usando Proporciones

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