Despejando Denominadores en Ecuaciones Racionales

En esta Sección aprenderás a despejar denominadores para resolver ecuaciones racionales.

Supón que tienes 24 cuartos de jugo para repartirlos en igual medida a cada miembro de tu clase. Sin embargo, no asistieron 10 miembros de la clase, por lo que la cantidad de jugo a repatir a cada alumno aumento en $\frac {1}{5}$ de un cuarto. ¿Cuántas personas hay en la clase? ¿Qué ecuación usarías para encontrar la respuesta? En esta Sección, aprenderás a resolver ecuaciones racionales despejando denominadores para que puedas resolver problemas de este tipo.

Orientación

Despejando Denominadores

Cuando una ecuación racional tiene muchos términos, no se puede utilizar el método de productos cruzados. Un segundo método para resolver ecuaciones es despejar las fracciones multiplicando la ecuación completa por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo A

Resuelve $5x-\frac{1}{x}=4$ .

Solución:

Empieza despejando los denominadores. En este caso, solo hay un denominador, $x$ . Esto significa que $x$ es el MCM de todos los denominadores, ya que solo hay un denominador. Simplemente multiplica la ecuación complete por ese denominador, $x$ . Luego encuentra el valor de $x$ usando los métodos aprendidos anteriormente.

$&& 5x-\frac{1}{x}&=4\\\\text{Clear the denominator.} && 5x^2-1&=4x\\\\text{This is quadratic, so make one side equal to zero.} && 5x^2-4x-1&=0\\\\text{Factor.} && (5x+1)(x-1)&=0\\\\text{Use the Zero Product Property to solve for the variable.} && x=-\frac{1}{5} \text{ or } x&=1$

Ejemplo B

Resuelve $\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x-5}=\frac{2}{x^2-3x-10}$ .

Solución:

Factoriza todos los denominadores y encuentra el mínimo común múltiplo.

$\frac{3}{x+2}- & \frac{4}{x-5}-\frac{2}{(x+2)(x-5)}\\\LCM &= (x+2)(x-5)$

Multiplica todos los términos en la ecuación por el MCM y cancela los términos comunes.

$(x+2)(x-5) \cdot \frac{3}{x+2}-(x+2)(x-5) \cdot \frac{4}{x-5} &= (x+2)(x-5) \cdot \frac{2}{(x+2)(x-5)}\\\\cancel{(x+2)}(x-5) \cdot \frac{3}{\cancel{x+2}}-(x+2) \cancel{(x-5)} \cdot \frac{4}{\cancel{x-5}} &= \cancel{(x+2)(x-5)} \cdot \frac{2}{\cancel{(x+2)(x-5)}}$

Ahora resuelve y simplifica.

$3(x-5)-4(x+2) &= 2\\\3x-15-4x-8 &= 2\\\x &= -25 \ \text{Answer}$

Comprueba tu respuesta.

$\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x-5} &= \frac{3}{-25+2}-\frac{4}{-25-5}=0.003\\\\frac{2}{x^2-3x-10} &= \frac{2}{(-25)^2-3(-25)-10}=0.003$

Ejemplo C

Un grupo de amigos deciden juntar su dinero y comprar un regalo que cuesta $200. Más tarde, 12 de los amigos decidieron no participar. Esto significa que cada persona tiene que pagar $15 más que al principio. ¿Cuántas personas estaban en el grupo al principio?

Solución:

Deja $x=$ el número de amigos en el grupo original.

	Número de personas	Precio del regalo	Monto repartido
Grupo original	$x$	200	$\frac{200}{x}$
Grupo Final	$x-12$	200	$\frac{200}{x-12}$

Como la parte que puso cada persona aumento en $15 después de que 12 personas decidieran no participar, escribimos la siguiente ecuación:

$\frac{200}{x-12}=\frac{200}{x}+15$

Resuelve despejando las fracciones. ¡No olvides revisar!

$LCM &= x(x-12)\\\x(x-12) \cdot \frac{200}{x-12} &= x(x-12) \cdot \frac{200}{x} + x(x-12) \cdot 15\\\x\cancel{(x-12)} \cdot \frac{200}{\cancel{x-12}} &= \cancel{x}(x-12) \cdot \frac{200}{\cancel{x}}+x(x-12) \cdot 15\\\200x &= 200(x-12)+15x(x-12)\\\200x &= 200x-2400+15x^2-180x\\\0 &= 15x^2-180x-2400\\\x &= 20, x=-8$

La respuesta es 20 personas. Descartamos la solución negativa ya que no tiene sentido en el contexto de este problema.

Revisión en Video

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Práctica Orientada

Resuelve $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x}$ .

Solución:

Como cada denominador no puede ser un múltiplo de otro denominador, o en otras palabras, los denominadores no comparten factores comunes, el $LCM$ es el producto de los 3 denominadores:

$LCM=(x-1)(x+1)(x).$

$&& \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x}\\\\text{Multiplica by the }LCM. && (x-1)(x+1)(x)\cdot \frac{1}{x-1} - (x-1)(x+1)(x)\cdot \frac{1}{x+1} &= (x-1)(x+1)(x)\cdot\frac{1}{x}\\\\text{Simplifica by cancelling.} && \cancel{(x-1)}(x+1)(x)\cdot \frac{1}{\cancel{x-1}} - (x-1)\cancel{(x+1)}(x)\cdot \frac{1}{\cancel{x+1}} &= (x-1)(x+1)\cancel{(x)}\cdot\frac{1}{\cancel{x}}\\\ && (x+1)(x) - (x-1)(x) &= (x-1)(x+1)\\\\text{Simplifica by distributing.} && x^2+x- x^2+x&=x^2-1\\\\text{Simplifica by combining like terms.} && 2x&=x^2-1\\\\text{Arrange so that one side is equal to zero.} && 0&=x^2-2x-1$

Esta ecuación cuadrática no puede ser factorizada, así que usa la fórmula para obtener:

$x=1\pm \sqrt{2}.$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones.

$x+ \frac{1}{x}=2$
$-3 + \frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$
$\frac{1}{x}-\frac{x}{x-2}=2$
$\frac{3}{2x-1}+\frac{2}{x+4}=2$
$\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{3x+4}=3$
$\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-4}{x+4}=3$
$\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}=\frac{1}{x^2+x-6}$
$\frac{2}{x^2+4x+3}=2+ \frac{x-2}{x+3}$
$\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}=\frac{1-x}{x+5}$
$\frac{x}{x^2-36}+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x+6}$
$\frac{2x}{3x+3}-\frac{1}{4x+4}=\frac{2}{x+1}$
$\frac{-x}{x-2}+\frac{3x-1}{x+4}=\frac{1}{x^2+2x-8}$
Juan trota una cierta distancia y luego camina una cierta distancia. Cuando trota lo hace a una velocidad promedio de 7 millas por hora. Cuando camina lo hace a una velocidad promedio de 3,5 millas por hora. Si camina y trota un total de seis millas en un total de siete horas, ¿Cuánta distancia trota y cuanta camina?
Un bote viaja 60 millas rio abajo en el mismo tiempo que le toma viajar 40 millas rio arriba. La velocidad del bote en el agua es de 20 millas/hora. Encuentra la velocidad de la corriente.
Paul sale de San Diego manejando a 50 millas/hora. Dos horas más tarde, su madre se da cuenta que olvidó algo y maneja en la misma dirección a 70 millas/hora. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar Paul?
En un viaje, un aeroplano vuela a una velocidad constante contra el viento. En el retorno del viaje el aeroplano vuela en la misma dirección del viento. El aeroplano se tarda la misma cantidad de tiempo para volar 300 millas contra el viento mientras que le toma 420 millas volar con el viento a favor. El viento sopla a 30 millas/hora. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano cuando no hay viento?
Una deuda de $420 es compartida en partes iguales por un grupo de amigos. Cuando cinco de ellos deciden no pagar, la cuota de los otros amigos aumenta #25. ¿Cuántos amigos estaban en el grupo originalmente?
Una organización sin fines de lucro recolecta $2.250 en donaciones iguales de parte de sus miembros para repartir el costo de la mejora de un parquet. Si hay treinta miembros más, entonces cada miembro puede contribuir $20 menos. ¿Cuántos miembros tiene la organización?

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