Funciones
Objetivos
En esta sección, revisaremos cómo identificar una función y cómo usar la terminología de una función.
Concepto
Durante los años, has acumulado $250 en monedas de cinco, diez y veinticinco centavos. Supón que quieres cambiar estos ahorros por dinero en efectivo. Para ver donde puedes obtener la mejor oferta, entras a internet para revisar lo que ofrecen distintos bancos y encuentras la siguiente información:
Banco A: Valor total en efectivo para clientes con una cuenta. Para otros clientes, 91,1% del valor de las monedas.
Banco B: Valor total en efectivo para clientes con una cuenta, si el valor es depositado en una tarjeta con costos por uso. Para otros clientes, 92% del valor de las monedas.
Banco C: Valor total en efectivo para clientes con una cuenta, si el valor es $100 o menos. Para otros clientes, 99% del valor de las monedas.
Cuando compartes esta información con tus amigos, uno de ellos te dice: "¡Enserio! El dinero que obtendrás por tus monedas no es una función de su valor real." ¿Está tu amigo en lo correcto? ¿Por qué? o ¿Por qué no?
Mira esto
Este video de YouTube entrega instrucciones paso a paso de la prueba de la recta vertical.
Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)
http://www.youtube.com/watch?v=-xvD-n4FOJQ - CK – 12 Álgebra Básica: Prueba de la Recta Vertical (3:11)
Orientación
Considera las dos situaciones que se muestran en la siguiente tabla:
|
Situación 1: Estas vendiendo boletos de rifa para recaudar fondos para la escuela. Cada boleto cuesta $3. |
Situación 2: Recopilas las edades y alturas de varios alumnos de tu clase: (18, 65″), (17, 64″), (18, 67″), (18, 68″), (17,66″) |
En la primera situación, la variable
representará el número de tickets de rifa que vendas y la variable
representará la cantidad de dinero que recaudes. Si vendes
tickets de rifa, recaudarás
dólares; existe solo un número que representará tus ingresos. Ten en cuenta que puedes usar el número de tickets de rifa que vendas para predecir cuánto dinero obtendrás. Este es un ejemplo de una
función
.
Ahora, considera la segunda situación. ¿Puedes usar la información obtenida de manera similar a la situación 1 para predecir alturas específicas basadas en la edad? No, esta situación no es igual a la primera. Por ejemplo, si un estudiante tiene 18 años, podría tener múltiples alturas. Esta situación no es una función.
Una función es una relación entre una variable independiente, la entrada, y una variable dependiente, la salida. Cada valor de entrada de la variable independiente , corresponde a solo un valor de salida de la variable dependiente .
Es importante recordar que ambas situaciones son relaciones. Una relación se crea entre dos conjuntos de números o información. Por ejemplo, en la segunda situación creamos una relación entre las edades y las alturas de los estudiantes solo con escribir la información de cada estudiante como un par ordenado.
Las funciones pueden ser representadas de muchas maneras. Algunas de las formas más comunes incluyen: Conjuntos de pares ordenados (p. ej. como en la tabla), reglas escritas o ecuaciones y gráficos.
La notación usada para mostrar que existe una relación funcional entre una variable independiente y una dependiente se llama notación funcional. La notación típica para una función es
, la cual es otra manera de representar a la variable dependiente
en una ecuación. La función
representada con la notación funcional quedaría de la siguiente manera:
Ejemplo A
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Representación |
Ejemplo |
|
Conjunto de Pares Ordenado |
(1,3), (2,6), (3,9), (4,12) (un conjunto de pares ordenados para esta situación) |
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Ecuación |
|
|
Gráfico |
|
o
Solución:
En la primera representación de arriba, tenemos un conjunto de pares ordenados. Para verificar que esta es una función, debemos asegurarnos que cada valor de
está asociado con solo un valor de
En este ejemplo, el primer número de cada par (el valor de
) es diferente, por lo que podemos estar seguros que en ningún caso un valor de
estará asociado a más de un valor de
.
En la segunda representación, la ecuación de la recta, es evidente que cualquier número que reemplace a
resultará en un
, diferente, ya que el número
solo está siendo multiplicado por 3.
La tercera representación es un gráfico. Una forma rápida y efectiva de revisar visualmente si un gráfico es una función es hacer la “ prueba de la recta vertical ”. Si todas las rectas verticales posibles solo cruzan la relación en un lugar, entonces la relación es una función. Si la recta vertical se puede trazar en cualquier parte del gráfico de manera que la recta cruce la relación en dos partes, entonces la relación no es una función.
Prueba de la Recta Vertical
Una relación graficada es una función, siempre que no haya rectas verticales intersecando la relación graficada en más de un punto.
Ejemplo B
¿Son funciones las siguientes relaciones graficadas?
a.
b.
Solución:
- Al dibujar una recta vertical (la línea roja) en el gráfico, podemos ver que la recta vertical interseca el círculo más de una vez. Por lo que este gráfico NO es una función.
- Sin importar en que parte del gráfico se trace una recta vertical, solo habrá una intersección. Por lo que este gráfico es una función.
Ejemplo C:
Determina si cada relación es una función:
- (2, 4), (3, 9), (5, 11), (5, 12)
- Define la función:
Solución:
a. (2, 4), (3, 9), (5, 11), (5, 12)
Esta relación no es una función porque el valor 5 está emparejado con los valores 11 y 12.
b. (en referencia a la imagen) Este relación es una función porque cada
esta emparejado con solo un
. Una recta vertical a través del gráfico siempre intersecará en un solo punto.
Análisis del Problema de la Sección
¿Recuerdas la pregunta al comienzo de esta sección sobre obtener dinero en efectivo por tus monedas? ¿Representa una función la información recibida de los bancos? Tu amigo piensa que no.
Solución:
Si organizamos la información en pares ordenados
, se vería de la siguiente manera:
Banco A: ($250, $250), ($250, $250*0.911)
Banco B: ($250, $250-fees), ($250, $250*0.92)
Banco C: ($250, $250*0.99)
Cada valor de
la variable independiente, representa el valor real de las monedas, en este caso $250, y cada valor de
la variable dependiente, representa el dinero que el banco te dará por las monedas.
Ya que existen muchos valores diferente de
para un valor de
las relaciones definitivamente no son funciones. Tu amigo estaba en lo correcto.
Vocabulario
Una relación es una comparación de dos o más conjuntos de valores.
Una función es una relación de dos o más conjuntos de valores en los que cada variable independiente corresponde solo a una variable dependiente.
Una variable independiente es una variable o valor de entrada de una relación o ecuación que puede variar o ajustarse. Los valores de estas variables forman el dominio de una relación.
Una variable dependiente es una variable cuyo valor depende de la variable independiente. Los valores de estas variables forman el rango de una relación.
La prueba de la recta vertical es una prueba usada para determinar si la relación graficada es una función.
El
dominio
de una función es el conjunto de todos los valores de la
variable independiente
(representada por la variable
) que pueden ser usados en la función.
El
rango
de una función es el conjunto de todos los valores de la
variable dependiente
(representada por la variable
) que resultan de los valores del dominio.
Práctica Guiada
Determina si cada relación es una función:
Soluciones:
-
Hay dos diferentes ‘salidas’ o valores de
para la ‘entrada’ o valor de
1. Debido a que no podemos saber si 1 debe ir acompañado de 5 o 7 en un momento dado, esta relación
no
es una función.
-
Ya que
, cada vez que se escoja un número para representar
, ese, y solo ese, número se convertirá en
. A partir de esto, es evidente que cada entrada tiene solo una salida: Esta relación
es
una función.
-
¡No te dejes engañar! Esta es una función, hay solo un valor de salida para cada valor de entrada. El hecho de que ambos valores de
2.1 y 1 estén asociados al valor de
4 no implica que 2,1 y 1 no estén vinculados con un valor específico. Además, no importa cuán cerca estén los valores de
(2 y 2,1, por ejemplo), si no son
exactamente
iguales, no afectan la definición de una función.
-
Esta es una función, muy similar a la 2. Cualquier valor que se escoja para
tendrá solo un valor de
(4 veces más grande) .
-
Esta
no
es una función. El gráfico de esto se ve como una “<”, con el punto en el origen. Cualquier valor de
tendrá dos valores de
asociados. Por ejemplo:
.
Práctica
1. ¿Cuál es la definición de una función?
2. ¿Puede una función ser escrita como
en vez de
?
3. ¿Es obligatorio que una función tenga ambas variables, dependiente e independiente?
4. ¿Puede una oración convertirse en una función si solo tiene un valor de entrada y uno de salida?
5. Da un ejemplo de una relación que no sea función y explica por qué no es una función.
De las preguntas 6 – 14, identifica cada relación como función o no función:
6.
7.
8.
9.
10. (Jim, Kitty) (Joe, Betty) (Brian, Alice) (Jesus, Anissa) (Ken, Kelli)
11. (Jim, Alice) (Joe, Alice) (Brian, Betty) (Jim, Kitty) (Ken, Anissa)
12.
13.
14.
15. En un baile de graduación, cada joven le entrega un ramillete a su cita. ¿Es este un ejemplo de una función?
16. Luego, en el mismo baila, Cory llega con dos citas, ¿cambia esto la respuesta?
