Dominio y Rango de una Función

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar el dominio (de la variable independiente) y el rango (de la variable dependiente) de una función.

Concepto

Tres amigos y tú debaten sobre qué cine escoger para ir a ver una película el viernes. Hay cuatro cines en la ciudad, todos con diferentes precios de entradas. El cine más caro cobra $12,5 por persona, pero tiene asientos tipo estadio y una pantalla de 5 pisos de alto. El cine más barato cobra solo $5,5 por entrada, pero solo tiene en cartelera películas antiguas y es mucho menos cómodo. Los otros dos cobran $8,5 y $9,75 respectivamente.

Si graficaras el costo total por los 4 basado en que el cine de preferencia, ¿qué valores representarían el dominio y el rango?

Mira esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=FtJRstFMdhA - James Sousa Determinando el Dominio y el Rango

Para aprender más sobre el dominio de una función, ve el siguiente video en el que el narrador resuelve un ejemplo de las Pruebas Estandarizadas de Californa. En este caso, se debe encontrar el dominio de una función inusual.

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=NRB6s77nx2g - Khan Academy CA Álgebra I Funciones (6:34)

Orientación

El conjunto todos los valores posibles de la variable independiente de una función se llama dominio . El dominio se puede expresar: en palabras, como un conjunto o como una inecuación.

El rango de una función consta de todos los valores de la variable dependiente que resultan de los valores del la variable independiente. El rango se puede expresar: en palabras, como un conjunto o como una inecuación. A continuación se muestras diferentes representaciones del dominio y el rango…

Ejemplo A

Considera la función representada por los pares ordenados $(x, y):\{(-3, 1), (0, 4), (3, 8), (6, 13), (9, 19)\}$ .

¿Cuál es el dominio de la función y cuál es el rango?

Solución:

La función relaciona cada valor de $x$ , la variable independiente, a un valor de $y$ , la variable dependiente.

El dominio consta del conjunto de valores (-3, 0, 3, 6, 9). Por lo general, estos valores se ordenan de menor a mayor.

El rango consta del conjunto de valores (1, 4, 8, 13, 19). Por lo general, estos valores se ordenan de menor a mayor.

Ejemplo B

Encuentra el dominio y rango de cada función:

$y=x^2$
$y = \sqrt x$

Solución:

a. $y=x^2$

El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. El rango de la función es el conjunto de todos los números reales mayores o igual a cero, ya que cada valor de $y$ es el cuadrado que un valor de $x$ lo cual siempre será positivo. El rango puede escribirse como $y \ge 0$ .

b. $y = \sqrt x$

Debido a que la función toma la raíz cuadrada de cada $x$ , los valores de $x$ se ven limitados a valores mayores o iguales a 0. Esto quiere decir que el dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. Otra manera de representar este dominio es $x \ge 0$ . Por lo tanto, el rango son todos los números reales positivos, es decir, el rango son todos los $y \ge 0$ .

Ejemplo C

Establece el dominio y rango de la función $y = \frac{2}{x}$ .

Solución:

Para esta función podemos escoger cualquier valor de $x$ excepto $x=0$ , ya que no podemos dividir un número por cero. Por lo tanto, el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales excepto $x=0$ , o, representado de otra forma, el dominio es $x \ne 0$ .

El rango también está restringido a los números reales distintos de cero porque la fracción nunca debe ser igual a cero. El rango es $y \ne 0$ .

Análisis del Problema de la Sección

Si graficaras el costo total por los 4 basado en que el cine de preferencia, ¿qué valores representarían el dominio y el rango?

Una función que describa esta situación sería: $P(t)=4t$ , donde $P(t)$ es el costo total basado en el precio por entrada, el que es igual a $4 \times \text{ticket price}$ .

En este caso, el dominio sería: {$5.50, $8.50, $9.75, $12.50} estos son los valores que reemplazarías en la variable independiente , $t$ para obtener el costo total para cada cine. El rango sería: {$22.00, $34.00, $39.00, $50.00} estos son los valores obtenidos para la variable dependiente , $y$ .

Vocabulario

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de la variable independiente (representada por la variable $x$ ) que pueden ser usados en la función.

El rango de una función es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente (representada por la variable $y$ ) que resultan de los valores del dominio.

Práctica Guiada

1. Determina si cada relación es una función:
1. (-1, 4), (0, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 15)
2. $y=x$
Establece el dominio y rango de cada relación de la pregunta a.
Da un ejemplo de una función en la que el dominio y el rango sean equivalentes entre sí.
Imagine un parque de juegos lleno de niños y niñas, todos los niños están usando gorro. La función "niños en el parque" puede ser utilizada para identificar cuantos están usando gorros. En este caso, ¿qué grupo sería el dominio y qué grupo sería el rango? En otras palabras, ¿qué grupo de niños es la entrada y qué grupo es la salida?
¿Se puede invertir el ejemplo de la pregunta 4 a las niñas y seguir siendo función? En ese caso, ¿qué grupo sería el dominio y qué grupo sería el rango?

Respuestas:

1. No es una función porque hay dos valores diferentes de $y$ para el mismo valor de $x$ (1).
2. Si es una función. Debido a que $x$ y $y$ son el mismo número (igual), cualquier número que se reemplace en $x$ tendrá solo una $y$ .
1. El dominio es el conjunto de valores de $x$ :{-1, 0, 1, 2}. El rango es el conjunto de valores de $y$ : {3, 4, 5, 7, 15}
2. El dominio o valor de $x$ puede ser cualquier número real. $D: \mathbb{R}$ . Por ende, el rango o valor de $y$ también puede ser cualquier número real. $R: \mathbb{R}$
Las respuestas serán variadas. $y=x$ es un ejemplo.
En este ejemplo, “niños en el parque” es el dominio puesto que usarás ese grupo para identificar los que están usando gorro.
Podría ser, depende de si las niñas están usando gorros o no. Si hay niñas en el parque usando gorro, entonces usar “niños y niñas usando gorros” no nos daría como resultado solo “niños en el parque”. En cualquier caso, sin embargo, “niños y niñas usando gorros” sería el dominio en esta versión de la función.

Práctica

Determina el dominio y el rango de las relaciones.

1. Relación: {(0, 4) (3, 20) (90, 33)}

2. Relación: {(3, -4) (6, 37) (10, -10) (-31, 2)}

3. El auto de Tina recorre alrededor de 30 millas por cada un galón de combustible. Su estanque tiene entre 10 y 12 galones de combustible. Encuentra el dominio y rango de la función para calcular cuán rápido puede manejar.

4. Joe y tres de sus amigos quieren ir a jugar bolos, pretenden jugar uno o dos juegos cada uno. Cada juego cuesta $2,75. Encuentra el dominio y rango de la función calculando el costo total.

5. Bod tenía un trabajo de verano en el que le pagaban $10 por hora y él trabajaba entre 20 y 25 horas cada semana. Su sueldo semanal puede ser representado por la ecuación $S=10 \ h$ , donde $S$ es su sueldo semanal y $h$ es el número de horas trabajadas. ¿Cuál es la variable independiente en este problema? Identifica el dominio y rango de este problema.

6. ¿Qué significa cada valor del par ordenado (20, 200) en relación con el problema anterior?

7. ¿Cuál grupo de alumnos representa el dominio y el rango en estos pares ordenados? (Jim, Kitty) (Joe, Betty) (Brian, Alice) (Jesus, Anissa) (Ken, Kelli)

Indica el dominio y el rango:

8. $y=|x|$

9. $x=|y|$

10. $y=x^2$

11. $x=y^2$

12.

13.

14.

15.

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