Intervalos y Notación de Intervalos
Objetivos
En esta sección, aprenderás a identificar funciones reales, reconocer intervalos cerrados y abiertos e interpretar y expresar intervalos en ´su notación correspondiente.
Concepto
Supón que dos de tus amigos y tu salieron a almorzar y decidieron comprar tacos. En total tienes $15 para gastar en almuerzo y los tacos cuestan $1,25 cada uno. Es claro que el costo total puede ser graficado como una función del número de tacos comprados, pero ¿cómo puedes especificar que el gráfico no debe incluir valores mayores que $15 o menores que $3,75 (valor por taco)?
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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)
http://www.youtube.com/watch?v=hqg85P0ZMZ4 - James Sousa Notación de Intervalos
Orientación
Valores Reales e Intervalos
Una función se clasifica como una
función real
si tanto el dominio como el rango son conjuntos de números reales. Muchas de las funciones que has revisado antes son funciones reales y muchas de estas funciones tienen un
. Considera, por ejemplo, la función
. Abajo se muestra una sección del grafico de esta función.
Es posible que ya estés familiarizado con los gráficos de rectas. Es más, tal vez ya has desarrollado el hábito de poner flechas en las puntas. Las flechas indican que la recta continuará siempre en ambas direcciones positiva y negativa, tanto en términos de dominio y el rango. La recta de arriba, sin embargo, solo representa la función
en el
intervalo
[-3, 3]. Los corchetes indican que el grafico incluye los puntos finales del intervalo donde
y
. Esto se le conoce como intervalo cerrado. Un
intervalo cerrado
incluye sus puntos finales. Al contrario, un
intervalo abierto
no incluye sus puntos finales. Un intervalo abierto se representa con paréntesis. Por ejemplo, (-3, 3) representa el conjunto de números entre -3 y 3, sin incluir -3 y 3. Puedes haber notado que la notación para un intervalo abierto se ve como la notación para un punto
en el plano. Es importarte leer con atención los ejemplos o tareas para evitar confundir un punto con un intervalo. La diferencia suele ser bastante clara dado el contexto.
La siguiente tabla resume los tipos de intervalos que puede que tengas que considerar al momento de estudiar funciones y sus dominios (y rangos):
|
Notación de Intervalo |
Notación de Inecuación |
Descripción |
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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El valor de
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![[a, b]](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACAAAAASBAMAAADI5sFhAAAAMFBMVEX///8AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAv3aB7AAAAD3RSTlMAu6tUiXZmzUTvMiIQmd1w8P8UAAAApUlEQVQYGWMQMmCAAy8GNiUGBTiXYeEHBgYmZAEOATQBFgc0AfYGqIBrcgHYoPNmbmAz2BuYFMAClhs4D4AMDWRgSgALXGHgNAAJTGPgXAAWeMHA3wAU4PrNsBLM5/nAYA/SwvWBIZAZJML9gEEXZCjPBJ4SNm5poMgDrgKQAINJ8qIYjq9AAZMUJIeBNQEFQSrAAEOgByKOUAELFSYG5ABiAAYQAATEG4Qiwq/mAAAAAElFTkSuQmCC){kind=small}
y
, incluidos
![(a, b]](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAATBAMAAADojanHAAAAMFBMVEX///8AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAv3aB7AAAAD3RSTlMAEHaZiTK7Zs0i791URKsx3VdeAAAAzElEQVQYGWNgYFRgQAfMSAIsAQx1DxgYXBFCrPlA9gMGxgSEEMM1sBBTAZKQC1iIYwKSUC9YiAtIsqifAIsz/ikpAJo1G8jpZXgHFuJZybAQKBTBwMCUwPAcLMTswLAGIsRVwLAULMR9geEvRGP8BNYFYCF5Bp6PQCGg8fFArQdAYrMZ+AyAQkBHSDFIOBRMAzqGG2TyAwagU3ncjz4SuK/AAGQ4oHjoAFAnCDxAePsAiA8EDxgYoIHDKwAWAAsxKoDZPFARkCo0UPcAAKK3MFxwlPVxAAAAAElFTkSuQmCC){kind=small}
![(-\infty, a]](data:image/png;base64,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){kind=small}
Ejemplo A
Identifica los conjuntos descritos:
![(-3, 9]](data:image/png;base64,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){kind=small}
![[-23, 12]](data:image/png;base64,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){kind=small}
Solución:
- a. Conjunto de números entre -3 y 9, “incluido” el 9, pero “sin incluir” el -3.
- b. Conjunto de números entre -23 y 12, “incluido” el -23 y 12.
- c. Todos los números menores que 0, sin incluir el 0.
Ejemplo B
Grafica la función
en el intervalo [-4, 12).
Solución:
La siguiente figura representa el gráfico de
en el intervalo dado:
Ejemplo C
Transforma los intervalos descritos usando la notación de intervalos:
- Todos los números positivos
- Los números entre el menos ocho y el doscientos cuarenta y dos, incluidos ambos
- Todos los número negativos, el cero y los números positivos hasta el nueve.
Solución:
a.
El cero no es positivo ni negativo, así que se usa el “(” para especificar que el cero “no” está incluido. Ya que no hay un máximo de números positivos, establecemos el infinito como el valor más alto y usamos “)” ya que no puede ser alcanzado.
b.
![[-8, 242]](data:image/png;base64,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){kind=small}
El “[” es usado en ambos extremos, pues ambos valores están incluidos.
c.
El “(”denota que no se puede alcanzar el infinito negativo y el “]” en el otro extremo indica que el 9 está incluido en el conjunto.
Análisis del Problema de la Sección
Para especificar que el gráfico del costo del almuerzo solo incluye valores entre $3,75 y $15, escribe el intervalo del dominio de la siguiente manera: [3.75, 15].
Vocabulario
Un intervalo es una parte específica de una función, que puede ser evaluada por separado del resto de la función.
Un intervalo cerrado incluye los puntos finales del intervalo.
Un intervalo abierto no incluye los puntos finales del intervalo.
Una función real es una función en la que el dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales.
Práctica Guiada
1. Describe el conjunto de la recta numérica usando la notación de intervalo:
2. Transforma los intervalos descritos usando la notación de intervalos:
- Todos los números negativos.
- Los números entre el cinco y el doce, incluido el cinco, pero no el doce.
- Los número negativos desde menos seis, cero y todos los números positivos.
3. Describe el dominio de los conjuntos en los gráficos usando la notación de intervalo:
4. Describe el rango de los conjuntos en los gráficos de arriba usando la notación de intervalo.
Soluciones:
1.
El conjunto abre con “(”, puesto que el infinito negativo no puede ser alcanzado y cierra con “)”, puesto que el 3 no está incluido. El conjunto vuelve a abrir con “(” ya que el 0 no está incluido y cierra con “)” ya que el infinito positivo no puede ser alcanzado tampoco.
2. a.
El cero no es positivo ni negativo, así que se usa el “)” para aclarar que el cero “no” está incluido. Ya que no hay un máximo de números negativos, establecemos el infinito como el valor más bajo y usamos “(” ya que no puede ser alcanzado.
b.
El “[” indica que el 5 está incluido y el “)” indica que el 12 no está incluido.
c.
El “(” denota que no se puede alcanzar el infinito negativo y el “]” en el otro extremo indica que el 9 está incluido en el conjunto.
3. a. El dominio es el conjunto de valores de
que comienza con -6 incluido y termina con 4 no incluido: [-6, 4)
b. Al igual que arriba: [-6, 7)
4. a. El rango es el conjunto de valores de
desde el -3 (no incluido) al 4 (incluido): (-3, 4]
b. Al igual que arriba: [-1, 6)
Práctica
Escribe lo siguiente en notación de intervalo.
1.
2.
3.
4.
Resuelve y escribe tu respuesta en notación de intervalo.
5.
6.
Para cada recta numérica, escribe el conjunto de números dados en notación de intervalo.
7.
8.
9.
10.
Identifica el dominio y rango de cada relación usando la notación de intervalo.
11.
12.
Expresa los siguientes conjuntos en notación de intervalo, luego grafícalos en una recta numérica.
13.
14.
15.
es el conjunto de todos los números mayores que 2 y menores o iguales a 5.
16.
