Funciones Pares e Impares
Objetivos
En esta sección aprenderás a determinar si una función es par, impar o ninguna.
Conceptos
La profesora les da a sus alumnos la tarea de graficar una función. Uno de los alumnos admitió que la tarea sería sencilla porque los signos de los valores del dominio no afectan en el cálculo de los valores de la función, y solo se necesita la mitad de los valores en el domino. ¿Qué tipo de función estaba evaluando el alumno?
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http://www.youtube.com/watch?v=8VgmBe3ulb8 - Khanacademy: Reconocer Funciones Pares e Impares
Orientación
Una función
es una
función par
si:
, es decir, el valor de la función que actúa sobre el factor
es el mismo que el valor de la función que actúa sobre el factor
. Así, por ejemplo, si
es una función par, entonces
tiene la misma respuesta que
;
tiene la misma respuesta que
, y así sucesivamente.
Las funciones pares son simétricas sobre el eje
-.
Ejemplo A
Demuestra que la función
es una función par.
Solución:
Una función es par si
. Para la función de arriba,
. Por ende, la función es par. El gráfico de abajo muestra que la función es simétrica en el eje
.
Por el contrario, una función
es una
función asimétrica
si:
, decir, la función es impar cuando el negativo del resultado de la función para cierto factor dado es igual a la función de cierto factor negativo. Si una función
fuera impar, entonces
;
, y así sucesivamente.
Las funciones impares no son simétricas sobre el eje
pero son simétricas en el origen.
Ejemplo B
Demuestra que la función
es impar.
Solución:
Una función es impar si
. Para la función de arriba,
. Por ende, la función es impar.
Es importante tener en cuenta que una función no tiene que ser par o impar . La mayoría de las funciones no son pares ni impares.
Ejemplo C
Determina si la función
es par o impar.
Solución:
Aplica la prueba para funciones pares:
. La función no es par.
Aplica la prueba para funciones impares:
. La función no es impar.
La función de arriba no es par ni impar. Como se puede apreciar en el gráfico de abajo , la función no es simétrica en el eje
ni en el origen.
Análisis del Problema de la Sección
Graficar un función sin preocuparse por los signos de valores del dominio implica que la función es par,
, y es simétrica en el eje
Solo se necesitaran la mitad de los valores de la variable dependiente para completar el gráfico. Para graficar la función, se pueden usar todos los valores positivos o todos los valores negativos.
Vocabulario
Una
función par
es una función que tiene la propiedad:
; es simétrica sobre el eje
.
Una
función impar
es una función que tiene la propiedad:
; es simétrica en el origen.
Práctica Guiada
A continuación se enlistan ocho funciones básicas que puedes encontrar. Usa sus gráficos para determinar si son pares, impares o ninguna.
1.
Esta función lineal es simétrica en el origen e impar:
.
2.
Como se demostró anteriormente en esta sección, esta función cuadrática es simétrica sobre el eje
y par:
.
3.
Como se demostró anteriormente en esta sección, esta función cúbica es simétrica en el origen e impar:
.
4.
Esta función de raíz cuadrada no es simétrica en el origen ni en el eje
, tampoco es par o impar.
5.
Esta función de valor absoluto es simétrica en el eje
y par:
.
6.
Esta función racional es simétrica en el origen e impar:
.
7.
Esta función seno es simétrica en el origen e impar:
.
8.
Esta función coseno es simétrica en el eje
y par:
.
Práctica
¿Es la función par, impar o ninguna?
1.
2.
3.
4.
Determina algebraicamente si la función es par, impar o ninguna.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
