Transformaciones en Gráficos de Funciones Desplazamientos Verticales y Horizontales
Objetivos
En esta sección, aprenderás a graficar con facilidad funciones más complejas con la aplicación de desplazamientos verticales y horizontales a los gráficos de las funciones generales .
Conceptos
Desplazar vertical u horizontalmente son dos de las maneras que existen para convertir las funciones generales de una familia de funciones en sus contrapartes más complejas.
¿Qué desplazamientos verticales u horizontales se deben aplicar a la
función general
de
para poder graficar
?
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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)
http://www.youtube.com/watch?v=CESXLJaq6Mk - James Souza – Transformación de Funciones: Traslaciones Horizontales y Verticales
Orientación
¿Alguna vez has intentado dibujar un conejo o un gato o un perro? A menos que seas muy talentoso, incluso los animales más comunes pueden ser todo un desafío para dibujar (¡o incluso que queden reconocibles!). En casi todos los cursos de dibujo se enseña el mismo truco que puede ayudar incluso a los menos artísticos a crear un dibujo básico claramente reconocible: comienza con las formas básicas . Al comenzar un boceto con formas simples como círculos, rectángulos, elipses, etc., se forma el esquema básico de la figura más compleja. Luego se pueden agregar más detalles, pero la figura ya es reconocible.
El mismo truco es aplicable para graficar ecuaciones. Graficar funciones complejas es tan sencillo como aprender las formas básicas de los diferentes tipos de gráficos de funciones y luego ajustarlos con las distintas transformaciones, Esta sección se centrara en dos tipos de transformaciones: desplazamientos verticales y horizontales.
Podemos expresar los desplazamientos verticales de la siguiente manera:
Formalmente: Para cualquier función
, la función
tiene un gráfico igual a
, con un desplazamiento vertical de
unidades. Si
es positivo, el grafico se desplaza hacia arriba. Si
es negativo, el gráfico se desplaza hacia abajo.
Informalmente: Sumar un número positivo después de la
fuera del paréntesis
desplaza el grafico hacia arriba. Sumar un número negativo (o restar), desplaza el gráfico hacia abajo.
Podemos expresar los desplazamientos horizontales de la siguiente manera:
Formalmente: Dada una función
, y una constante
, la función
representa un desplazamiento horizontal
unidades desde la derecha
. La función
representa una desplazamiento horizontal
unidades a la izquierda.
Informalmente: Sumar un número positivo después de la
dentro del paréntesis
desplaza el grafico hacia
la izquierda
, Sumar un número negativo (o restar), desplaza el gráfico hacia
la derecha
.
Ejemplo A
¿Qué modificación se debe hacer al gráfico
para convertirlo a los gráfico de
, y
?
Solución:
A primera vista, parece que los gráficos son de anchos distintos. Por ejemplo, la parábola de más arriba
, parece ser más delgada que las otras dos. Sin embargo, no es así. Las parábolas son
congruentes
.
Si desplazamos el gráfico de
cuatro unidades hacia arriba, obtendremos exactamente el mismo grafico que
. Si desplazamos
hacia abajo tres unidades, obtendremos el gráfico de
.
Ejemplo B
Identifica las trasformaciones realizadas para convertir el gráfico de
en
.
Solución:
A partir de ejemplo de desplazamientos verticales de arriba, es probable que creas que el gráfico de
es el gráfico de
, desplazado 3 unidades a la izquierda. Sin embargo, no es así. El gráfico de
es el gráfico de
, desplazado 3 unidades a la derecha.
Si miramos los valores de la función, notaremos que la dirección de los desplazamientos es la correcta.
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0 |
3 |
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1 |
2 |
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2 |
1 |
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3 |
0 |
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4 |
1 |
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5 |
2 |
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6 |
3 |
A partir de la tabla, podemos observar que el vértice del gráfico es el punto (3, 0). Los valores de la función en ambos lados de
son simétricos y mayores que 0.
Ejemplo C
¿Qué transformaciones se deben realizar a
, para graficar
?
Solución:
El gráfico de
es el gráfico de
desplazado 2 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.
Análisis del Problema de la Sección
¿Fuiste capaz de resolver la pregunta del comienzo de la lección?
“¿Qué transformaciones se deben realizar a
, para graficar
?”
El gráfico de
es el gráfico de
desplazado 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba.
Si fuiste capaz de identificar el desplazamiento antes de la revisión, ¡felicitaciones! Te encuentras en camino de obtener una excelente base conceptual para manipular funciones.
Vocabulario
Un desplazamiento , también conocido como traslación o cambio , es una transformación aplicada al gráfico de una función que no altera la forma del gráfico, solo afecta su ubicación .
Los desplazamientos verticales son el resultado de agregar una término constante al valor de una función. Un término positivo genera un desplazamiento hacia arriba y uno negativo, hacia abajo.
Los desplazamientos horizontales son el resultado de agregar un término constante a la función dentro del paréntesis . Un término positivo genera un desplazamiento hacia la izquierda y uno negativo, hacia la derecha (son fáciles de confundir así que presta atención).
Práctica Guiada
1. Usa el gráfico de
para graficar la función
.
2. ¿Cuál es la relación entre
y
?
3. ¿Cuál es la relación entre
y
?
4. Usa la función general
para graficar
.
5. Usa la función general
para graficar
.
Soluciones:
1. El gráfico de
es una parábola con vértice en (0, 0).
Por ende, el gráfico de
es una parábola con vértice en (0, -5).
Para graficar rápidamente
, puedes dibujar varios puntos en
, y luego desplazarlos 5 unidades hacia abajo.
2. El gráfico de
es el gráfico de
, desplazado 2 unidades a la derecha.
3. Sumar o restar un valor afuera del paréntesis resulta en un desplazamiento vertical.
Por lo tanto, el gráfico de
es igual a
desplazado 6 unidades hacia abajo.
4. La función
es una parábola con vértice en (0, 0).
Como vimos en la pregunta anterior, sumar fuera del paréntesis desplaza el gráfico verticalmente.
Por lo tanto,
será una parábola con el vértice en 3 unidades hacia arriba
5. El gráfico de la función general de valor absoluto
es una “V” con vértice en el origen.
Sumar o restar dentro del paréntesis genera un movimiento horizontal.
Recuerda que el desplazamiento horizontal es a la derecha para los números negativos y hacia la izquierda para lo positivos.
Por lo tanto
es una “V” con vértice en 4 unidades a la derecha del origen.
Práctica
1. Grafica la función
sin usar una calculadora.
2. ¿Cuál es el vértice del gráfico? ¿Cómo puedes saberlo?
3. ¿Está abierto hacia arriba o hacia abajo? ¿Cómo puedes saberlo?
4. Para la función:
si
es positivo, ¿en qué dirección se desplaza el gráfico?
5. Para la función:
si
es negativo, ¿en qué dirección se desplaza el gráfico?
6. La función
¿representa un desplazamiento hacia la izquierda o la derecha?
7. La función
¿representa un desplazamiento hacia la izquierda o la derecha?
8. Si un gráfico es en la forma
. ¿Qué pasaría si reemplazara la
?
Describe la transformación realizada en la función general
.
9.
10.
Escribe una ecuación que refleje la transformación realizada a la función general
, si se mueve de la siguiente manera:
11. Dos unidades hacia arriba
12. Cuatro unidades a la derecha
13. Estírala dos unidades en la dirección del eje
Escribe una ecuación para cada transformación descrita.
14. Una forma V desplazada 4 unidades hacia abajo.
15. Una forma V desplazada 6 unidades a la izquierda
16. Una forma V desplazada 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba.
