Transformaciones en Gráficos de Funciones: Estirar, Reflejar y Comprimir

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar y realizar transformaciones, como estirar, reflejar y comprimir los gráficos de las funciones.

Concepto

Entender cómo cambios en las ecuaciones de las funciones provocan que el gráfico de una función se estire , refleje o comprima es un gran paso para develar el misterio de graficar ecuaciones más complejas. Reconocer la familia a cual pertenece una ecuación más compleja y luego identificar qué cambios se han hecho a la ecuación general facilita el entendimiento de funciones muy detalladas y por consiguiente su graficación.

Antes de la revisión al final del capítulo, intenta identificar que partes de la ecuación: $y=-\frac{1}{5}x^2$ representan un estiramiento o una reflexión de la función general: $y=x^2$ .

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=2S9LUinJ8-w - James Sousa – Transformación de Funciones: Estiramientos y Compresiones Verticales y Horizontales

Orientación

Gráficos de estiramiento y compresión

Si multiplicamos una función por un coeficiente, el gráfico de la función se estirará o comprimirá.

Dada la función $f(x)$ , podemos comprimir o estirar el gráfico de $f(x)$ de la siguiente manera:

Una función $g(x)$ representa un estiramiento vertical de $f(x)$ si $g(x)= cf(x)$ y $c > 1$ .

Una función $g(x)$ representa una compresión vertical de $f(x)$ si $g(x) = cf(x)$ y $0 < c < 1$ .

Una función $h(x)$ representa una compresión horizontal de $f(x)$ si $h(x) = f(cx)$ y $c > 1$ .

Una función $h(x)$ representa un estiramiento horizontal de $f(x)$ si $h(x) = f(cx) \ 0 < c < 1$ .

Una compresión vertical o un estiramiento horizontal sucede cuando el coeficiente es un número entre 0 and 1.

Reflejar gráficos sobre el eje $y$ e $x$

Considera el gráfico de las funciones $y = x^2$ y $y = -x^2$ , que se muestran a continuación.

El gráfico de $y = -x^2$ representa una reflexión de $y = x^2$ , sobre el eje $x$ Es decir, cada valor de la función $y = -x^2$ es el negativo de un valor de la función $y = x^2$ . En general, el gráfico de, $g(x) = -f(x)$ es el gráfico de $f(x)$ , reflejado sobre el eje $x$ .

Ejemplo A

Identifica el gráfico de la función $y = (3x)^2$ .

Solución:

Hemos multiplicado $x$ por 3. Esto debería afectar al gráfico horizontalmente. Sin embargo, si simplificamos la ecuación obtenemos $y = 9x^2$ . Por lo tanto, el gráfico de esta parábola será más alto o delgado que $y = x^2$ . Multiplicar $x$ por un número mayor que 1 genera una compresión horizontal, que se ve como un estiramiento vertical.

Ejemplo B

Identifica la transformación descrita por $y = \left(\left(\frac{1}{2}\right)x\right)^2$ .

Solución:

Si simplificamos esta ecuación obtenemos $y = \left(\frac{1}{4}\right) x^2$ . Por lo tanto, multiplicar $x$ por un número entre 0 y 1 genera un estiramiento horizontal, que se ve como una compresión vertical. Es decir, la parábola será más corta o ancha.

Ejemplo C

Haz el gráfico de $y = x^3$ y $y = -x^3$ en los mismos ejes.

Solución:

A primera vista, las funciones se asemejan a dos parábolas. Si haces el gráfico a mano, o configuras tu calculadora en modo secuencia y no simultáneo, podrás notar que el gráfico de $y = -x^3$ es de hecho una reflexión sobre el eje $y = x^3$ de $x$ .

Sin embargo, si observar con detención el gráfico, notarás que también es una reflexión sobre el eje $y$ Esto sucede porque para obtener una reflexión sobre el eje $y$ debemos convertir $x$ . en negativo. En otras palabras, $h(x) = f(-x)$ es una reflexión de $f(x)$ sobre el eje $y$ Para la función $y = x^3, h(x) = (-x)^3 = (-x) (-x) (-x) = -x^3$ . Esta es la misma función que graficamos anteriormente.

Es importante tener en cuenta que este es un caso especial. El gráfico de $y = x^2$ también es un caso especial. Si reflejamos $y = x^2$ sobre el eje $y$ ¡obtendremos el mismo gráfico! Esto se puede explicar algebraicamente: $y = (-x)^2 = (-x) (-x) = x^2$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Eres capaz de identificar las transformaciones descritas al comienzo de la lección ahora?

La función: $y=-\frac{1}{5}x^2$ es el resultado de transformar $y=x^2$ mediante:

una reflexión sobre el eje $x$ por el coeficiente negativo en $x$ . y:

una compresión vertical ( ancharla ), por el coeficiente fraccionario entre 0 y 1.

Vocabulario

Las reflexiones son transformaciones que resultan en una “imagen espejo” de una función general. Son el resultado de signos diferentes entre funciones generales y específicas.

Los estiramientos son transformaciones que provocan que el ancho de un gráfico aumente o disminuya. Son el resultado del coeficiente de $x$ con valor entre 0 y 1.

Práctica Guiada

1. Grafica las funciones $y=\sqrt{x}$ y $y=\sqrt{-x}$ .

2. Dibuja el gráfico de $y=3x^2$ a partir del estiramiento del gráfico de $y=x^2$ .

3. Dibuja en gráfico de $y=-3x^2$ a partir de la reflexión del grafico de $y=3x^2$ anterior.

4. Dibuja el gráfico de $y=\sqrt{x}$ a partir del estiramiento de $y=\sqrt{3x}$ .

5. Identifica la función y dibuja el gráfico de $y=\sqrt{x}$ reflejado sobre ambos ejes.

Soluciones:

1. La ecuación $y=\sqrt{-x}$ puede parecer confusa debido al $-x$ bajo la raíz cuadrada. Recuerda que $-x$ es el opuesto de $x$ . Por ende el dominio de esta función está limitado a valores $\le 0$ . Por ejemplo, si $x=-4, y=\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2$ . Este es el dominio, incluye todos los números reales no incluidos en el dominio de $y=\sqrt{x}$ más cero. Por consiguiente, el gráfico de esta ecuación será una reflexión sobre el eje $y$ .

En resumen, un gráfico representa una reflexión sobre el eje $x$ si la función es negativa. Por ejemplo $y$ es negativo si pensamos en $y=f(x)$ . Un gráfico representa una reflexión sobre el eje $y$ si la variable $x$ es negativa.

2. El gráfico de $y=3x^2$ es el gráfico de la función general, $y=x^2$ , con cada coordenada en $y$ multiplicada por 3. La imagen de arriba muestra que ambas funciones comienzan en el mismo eje.

3. El gráfico de $y=-3x^2$ es el gráfico de $y=3x^2$ reflejado sobre el eje $x$ la imagen de abajo muestra ambas funciones.

4. El gráfico de $y=\sqrt{3x}$ es el gráfico de $y=\sqrt{x}$ con cada coordenada multiplicada por 3, la imagen de abajo muestra ambos gráficos.

5. Para reflejar el gráfico de $y=\sqrt{x}$ sobre ambos ejes, la función debe ser negativa tanto dentro como fuera de la raíz: $y=-\sqrt{-x}$ . El negativo de afuera de la raíz tiene el efecto de reflejar el gráfico verticalmente, y la de adentro tiene el efecto de reflejar el gráfico horizontalmente. La siguiente imagen muestra tres versiones:

(AZUL) $y=\sqrt{x}$
(VERDE) $y=-\sqrt{x}$
(ROJO) $y=\sqrt{-x}$

Práctica

1. Si una función es multiplicada por un coeficiente, ¿qué pasará con el gráfico de la función?

2. ¿Qué implica multiplicar $x$ por un número mayor que uno?

3. ¿Qué pasa si multiplicamos $x$ por un número entre 0 y 1?.

4. Para obtener una reflexión sobre el eje $y$ ¿Qué debemos hacer con el eje $x$ ?

5. ¿Cómo podemos generar un reflexión sobre el eje $x$ ?

6. Escribe una función que cause una compresión horizontal a partir de: $f(x)=x^2+3$

7. Escribe una función que estire horizontalmente a: $f(x)=x^2-6$

8. Reescribe esta función $f(x)=-\sqrt{x}$ para obtener una reflexión sobre el eje $x$ .

9. Reescribe esta función $f(x)=\sqrt{x}$ para obtener una reflexión sobre el eje $y$ .

Grafica cada una de las siguientes funciones con el uso de transformaciones. Identifica las traslaciones y reflexiones.

10. $f(x)=|x|-2$

11. $h(x)=\sqrt{x+3}$

12. $g(x)=\frac{1}{x+1}$

13. $f(x)=-4x^3$

14. $h(x)=(x+3)^3+1$

15. $f(x)=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$

16. $f(x)=-4 \sqrt{x+1}-2$

17. $f(x)=\frac{2}{3(x-2)}+\frac{1}{4}$

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