Gráficos de Funciones: Transformaciones Múltiples
Objetivos
En esta sección aprenderás a aplicar los cuatro tipos de transformaciones revisadas a un solo gráfico.
Concepto
¿Cómo es posible que las diferentes formas de transformaciones causen las diferencias entre las funciones generales que hemos estudiado y algunos de los gráficos más complejos que hemos visto? Es probable que se te haya ocurrido que estas transformaciones por si solas no son suficientes para dar lugar a tales diferencias significativas. Entonces, ¿cómo podemos aplicar transformaciones individuales para facilitar la comprensión de gráficos más complejos?
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http://www.youtube.com/watch?v=4zXn_s9RHWI - James Sousa – Graficar Múltiples Transformaciones de Funciones - Parte 1 de 2
Orientación
Al combinar desplazamientos , reflexiones , estiramientos verticales y horizontales y compresiones el gráfico de una función general simple puede representar a una función mucho más avanzada.
Considera la ecuación
. Podemos comparar el gráfico de esta función al gráfico de la función general
: el gráfico representa un estiramiento vertical de 2 unidades, un desplazamiento horizontal de 3 unidades y un desplazamiento vertical de 1 unidad.
Podemos usar esta relación para graficar la función
. Puedes empezar con
o
. Luego puedes desplazar el gráfico 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.
Ejemplo A
Grafica la siguiente función haciendo uso de tu conocimiento de la
función general
y las transformaciones.
Solución:
El gráfico general de esta función es el gráfico de
, reflejado sobre el eje
y desplazado tres unidades hacia arriba. La pregunta es ¿qué transformación debes realizar primero?
Podemos responder esta pregunta si consideramos algunos puntos de la función. La siguiente tabla muestra varios valores de la función
:
|
|
|
| -3 |
|
| -2 |
|
| -1 | 2 |
| 0 | 3 |
| 1 | 2 |
| 3 | 0 |
A partir de los valores de la tabla podemos apreciar que la función crece hasta un vértice en (0, 3) y luego decrece nuevamente. Esto implica que para obtener el gráfico deseado primero tenemos que reflejar
sobre el eje
(dar vuelta la “v” ) y luego desplazar el gráfico 3 unidades hacia arriba.
Si pensamos en el
orden de operaciones
. veremos que el orden de transformaciones que acabamos de realizar esta correcto. Para encontrar cualquier valor de una función debemos tomar el un valor
encontrar su valor absoluto, transformar a negativo su valor absoluto y luego sumar 3.
Este proceso es igual al orden de operaciones: las reflexiones van primero que los desplazamientos
.
Ejemplo B
Describe la relación entre los gráficos de
y
.
Solución:
El gráfico de
es el gráfico de
, estirado verticalmente en un factor de 3, desplazado 7 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba.
Ejemplo C
Grafica la siguiente función haciendo uso de tu conocimiento de la
función general
y las transformaciones.
Solución:
Esta función representa un desplazamiento horizontal de
, y una reflexión sobre el eje
Antes de graficar, considera algunos valores de la función:
|
|
|
| -3 |
|
| -2 |
|
| 0 | 3 |
| 1 | 2 |
| 3 | 0 |
| 4 | 1 |
A partir de los valores de la tabla, podemos apreciar que el vértice del gráfico es (3, 0). A continuación se muestra el gráfico obtenido.
Se ve igual que el gráfico de
. Esto se debe a que
, y porque
para todos los valores de
, entonces
. Así, la función original es igual a
.
Aún podemos referirnos a este gráfico como una reflexión: si reflejamos
sobre el eje
el gráfico se mantiene igual, puesto que es simétrico sobre el eje
Luego, desplazamos el gráfico 3 unidades a la derecha. Es importante tener en cuenta que para "leer" la ecuación como un desplazamiento horizontal, toda la expresión dentro de la función (en este caso, dentro del valor absoluto) debe ser negativa.
Vocabulario
Un desplazamiento es una transformación de una función que no altera la forma del gráfico, solo altera la posición.
Un estiramiento o compresión es una transformación que adelgaza o ensancha el gráfico sin cambiar su posición.
Una reflexión es una transformación que copia el gráfico vertical u horizontalmente.
Práctica Guiada
1. Dibuja el gráfico de
2. Dibuja el gráfico de
3. Dibuja el gráfico de
4. Dibuja el gráfico de
Solución:
Recuerda que la clave para realizar transformaciones múltiples es realizarlas en orden. Otra forma de verificar que operaciones van primero que otras, es seguir el orden en que aparecen en la ecuación, de izquierda a derecha.
1. Para graficar
, debemos empezar con la función general,
.
a. Primero tenemos que reflejar la función sobre el eje
:
b. Luego, estirar por 3 unidades:
c. Desplazar 3 unidades a la izquierda:
d. Por último, desplazar 4 unidades hacia arriba:
2. Para graficar
debemos comenzar con la ecuación general:
y realizar las transformaciones de izquierda a derecha:
a. Primero tenemos que reflejar sobre el eje
:
b. Luego, desplazar 2 unidades a la izquierda:
c. Por último, desplazar 3 unidades hacia abajo:
3. Para graficar
debemos comenzar con la ecuación general
a. Primero, tenemos que estirar por 2 unidades:
b. Luego, desplazar 1 unidad a la derecha:
4. Para graficar
debemos comenzar con la ecuación general
a. Primero tenemos que reflejar sobre el eje
:
b. Luego, estirar por 2 unidades:
c. Por último, desplazar 1 unidad a la derecha:
Práctica
1. ¿Qué parte de la función
desplaza verticalmente el gráfico de
?
2. ¿Qué parte de la función
refleja el gráfico de
sobre el eje
?
3. ¿Cuál es la diferencia entre
y
que causa que sus gráficos sean diferentes?
4. ¿Qué parte de la función
,
desplaza verticalmente
el gráfico de
?
- 3.0
-
- 2.0
5. ¿Qué parte de la función
,
estira
verticalmente el gráfico de
?
- 3.0
-
- 2.0
6. ¿Qué parte de la ecuación
desplaza horizontalmente el gráfico de
?
7. ¿Qué parte de la función
refleja el gráfico de
sobre el eje
?
8. ¿Qué parte de la función
,
desplaza
horizontalmente el gráfico de
?
9. ¿Qué parte de la función
,
estira
verticalmente el gráfico de
?
10. El gráfico de
es el gráfico de
reflejado sobre el eje
El gráfico de
es el gráfico de
reflejado sobre el eje
El gráfico de
es el gráfico de
reflejado sobre el eje
y en el eje
. ¿Afecta el orden en que se han realizado las reflexiones al graficar
? (¿Importa el eje sobre el cual ocurre la reflexión?)
11. Dada la función
, escribe una función
que sea:
reflejada sobre el eje
y estirada verticalmente por 8 unidades.
12. ¿Cómo transformas el gráfico de:
para que se vea como el gráfico de:
?
-
Estíralo por un factor de
y desplázalo hacia arriba en 6 unidades.
- Estíralo por un factor de 6 y desplázalo hacia la izquierda en 4 unidades.
- Estíralo por un factor de 4 y desplázalo hacia abajo en 6 unidades.
- Estíralo por un factor de 4 y desplázalo hacia arriba en 6 unidades.
13. ¿Cómo transformas el gráfico de:
para que se vea como el gráfico de:
?
-
Refléjalo sobre el eje
desplázalo hacia abajo en 4 unidades.
-
Refléjalo sobre el eje
desplázalo hacia arriba en 4 unidades.
-
Refléjalo sobre el eje
desplázalo hacia arriba en 4 unidades.
-
Refléjalo sobre el eje
desplázalo hacia abajo en 4 unidades.
14. El siguiente gráfico es una transformación de una función común. ¿Cuál es la función común que ha sido transformada?
15. ¿Cómo fue transformada la función de la pregunta 14?
-
Reflejada sobre el eje
y desplazada hacia la derecha en 3 unidades.
- Estirada verticalmente por un factor de 3 y desplazada a la derecha en 1 unidad.
-
Reflejada sobre el eje
y desplazada hacia arriba en 3 unidades.
-
Reflejada sobre el eje
y desplazada hacia la izquierda en 4 unidades.
16. Escribe una función
cuyo gráfico se vea como el gráfico de
reflejado sobre el eje
y desplazado hacia arriba en 1 unidad.
17. Escoge una función cuyo gráfico se vea como el gráfico de
reflejado sobre el eje
y desplazado hacia la derecha en 2 unidades.
