Operaciones Aritméticas en Funciones

Objetivos

En esta sección, aprenderás a realizar operaciones matemáticas estándar, suma, resta, multiplicación y división, en funciones. También trabajarás con los gráficos que resulten de estas operaciones.

Concepto

Al igual que los números, las funciones pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas y divididas. Combinar funciones de esta manera suele tener resultados sorprendentes, puesto que la función final puede tener un gráfico que no se asemeje a ninguna de las funciones iniciales.

¿Cómo puedes saber, antes de terminar la operación y graficar el resultado si la función resultante se asemejará a una de las funciones iniciales? ¿Cómo puedes describir funciones combinadas sin un gráfico?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=AKbvrYehh2Q James Sousa – El Álgebra de las Funciones

Orientación

Suma y Resta de Funciones

Considera la función: $f(x) = \frac{48}{x}+2x^2$ .

La ecuación tiene dos términos:

El primero es: $\frac{48}{x}$

El segundo es: $2x^2$

Por lo tanto, podemos considerar la función $f(x)$ cómo la de dos otras funciones:

La función recíproca $g(x) = \frac{48}{x}$

La función cuadrática $b(x) = 2x^2$

Al sumar las funciones, obtenemos un nuevo tipo de gráfico, como se muestra abajo, que se asemeja a ambos gráficos de $g(x)$ y $b(x)$ :

El gráfico de la derecha es $f(x)$ . La parte derecha de $f(x)$ se asemeja a la parábola $b(x)$ , pero es asíntota al eje $y$ La parte izquierda de $f(x)$ se asemeja al lado izquierdo de $g(x)$ , puesto que ambas funciones son asíntotas a eje $y$ negativo.

Hay dos puntos que deben tenerse en cuenta: Primero, podemos sumar funciones y segundo, el resultado de la suma puede ser una función distinta a las dos funciones iniciales.

Es más probable que la suma o diferencia de una función se asemeje a las funciones originales si estas pertenecen al mismo tipo.

Por ejemplo, si se suman dos funciones lineares, la suma de la funciones también será linear.

Ejemplo A

Si $f(x) = {x^3} + 2{x^2}$ y $g(x) = {x^2} - 5$ , ¿a qué es igual $f - g$ ? ¿Cómo es el gráfico de ese resultado?

Solución:

La diferencia es: $f - g = {x^3} + 2{x^2} - ({x^2} - 5) = {x^3} + 2{x^2} - {x^2} + 5 = {x^3} + {x^2} + 5$ .

El gráfico de la nueva función, junto con $f(x)$ , se muestra a continuación:

Debido a que $f(x)$ y la nueva función $y = {x^3} + {x^2} + 5$ son funciones cúbicas, tienen formas similares.

En resumen: Al sumar o restar funciones, la suma o diferencia resultante puede ser del mismo tipo que las funciones iniciales o de un tipo diferente. La función resultante tiene más probabilidades de ser del mismo tipo que las iniciales, si estas últimas son del mismo tipo entre sí.

Ejemplo B

Dado $f(x) = 2x^2$ y $g(x) = x + 1$ , encuentra $r(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ y $t(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ .

Solución:

$r(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x^2}{(x + 1)}$ . Esta es una función racional y no tiene una asíntota horizontal. Sin embargo, tiene una asíntota vertical en $x = -1$ , ya que el dominio no incluye a $x = -1$ .

$t(x) = \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{(x + 1)}{2x^2}$ . Esta también es una función racional. Esta función tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ (el eje $x$ ), y una asíntota vertical en $x=0$ (el eje $y$ ).

El gráfico de esta función cruza su asíntota en (-1, 0), pero a medida que $x$ se acerca a $-\infty$ , el valor de la función se acerca a 0.

En general, si multiplicamos una función lineal y una función polinomial (cuadrática, cúbica y otro tipo de funciones con exponentes grandes, como $y = x^4+3x^2+2$ ), obtendremos otras funciones polinomiales. Si dividimos estos tipos de funciones, obtendremos otras funciones polinomiales o racionales.

Multiplicar y dividir otros tipos de funciones puede resultar en gráficos más complicados.

Ejemplo C

Considera la función $f(x) = |x|$ y $g(x) = x^2 - 4$ .

Identifica los gráficos de $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{|x|}{(x^2 - 4)}$ y $\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{(x^2 - 4)}{|x|}$ .

Solución:

Los gráficos de estas dos funciones no son distintos de las funciones racionales que veremos en otra sección.

Análisis del Problema de la Sección

¿Descubriste el truco utilizado para identificar si el gráfico resultante se asemejará a las funciones iniciales?

Es más probable que la suma o diferencia de una función se asemeje a las funciones originales si estas pertenecen al mismo tipo.

En otras palabras, si se suman o restan dos ecuaciones cuadráticas, es probable que el resultado sea cuadrático y que tenga un gráfico similar a los originales.

Vocabulario

Suma de funciones: El resultado de la adición de dos funciones.

Diferencia de funciones: El resultado de la sustracción de dos funciones.

Asíntota: Una recta en un gráfico a la que se puede acercar el resultado de una función, pero nunca llega a ella.

Práctica Guiada

1. Dada $f(x)=4x^2-7$ y $g(x)=3x^2-2x+8$ :

Encuentra y grafica (usa calculadora): $(f+g)(x)$

2. Multiplica la función por el valor escalar

Si $f(x)=3x+10$ encuentra $3\cdot f(x)$

3. Dada $f(x)=3x-7$ y $g(x)=4x+6$ :

encuentra y grafica (usa calculadora) $(f\cdot g)(x)$

Soluciones:

1. Paso 1: Recuerda que $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Paso 2: Reemplaza $f(x)+g(x)=(4x^2-7)+(3x^2-2x+8)$

Paso 3: Junta términos similares $(f+g)(x)=7x^2-2x+1$

Así, la respuesta es: $(f+g)(x)=7x^2-2x+1$ y el gráfico es:

2. Para multiplicar una función por un escalar, debes multiplicar cada término de la función por el escalar:

Paso 1: Reemplaza: $3f(x)=3(3x+10)$

Paso 2: Distribuye: $3f(x)=9x+30$

Así, la respuesta es: $3f(x)=9x+30$

3. Paso 1: Recuerda que $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Paso 2: Reemplaza: $f(x)\cdot g(x)=(3x-7)(4x+6)$

Paso 3: Distribuye: $(f\cdot g)(x)=12x^2+18x-28x-42$

Paso 4: Junta términos similares: $(f\cdot g)(x)=12x^2-10x-42$

Así, la respuesta es: $(f\cdot g)(x)=12x^2-10x-42$

El gráfico de $(f\cdot g)(x)=12x^2-10x-42$ es:

Práctica

Dada $f(x)=\frac{x^3}{x+1}$ y $g(x)=x(x+1)$ encuentra cada una de las siguiente funciones:

1. $(fg)(x)=$

2. $(fg)(-1)=$

3. $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=$

Simplifica:

4. Si $f(x)=2x+4$ y $g(x)=3x-7$ , encuentra $(f+g(x))$ .

5. Si $g(x)=\frac{2}{3}x+12$ y $h(x)=\frac{1}{4}x+7$ , encuentra $(g+h)(x)$ .

6. Si $f(x)=-4x^2-10$ y $g(x)=5x^2-2x-3$ , encuentra $(f+g)(x)$ .

7. Si $f(x)=6x^2-3x+5$ y $g(x)=4x^2+5x-8$ , encuentra $(g-f)(x)$ .

8. Si $g(x)=6x-8$ , encuentra $-\frac{3}{2}g(x)$ .

9. Si $g(x)=2x^2+3$ y $h(x)=-3x-6$ , encuentra $(g\cdot h)(x)$ .

Evalúa y Grafica:

10. Si $f(x)=6x+4$ y $g(x)=-7x-8$ , encuentra $(f+g)(3)$ .

11. Si $f(x)-\frac{1}{4}x+3$ y $h(x)=\frac{3}{2}x+6$ , encuentra $(g+h)(12)$ .

12. Si $g(x)=5x^2-4x+3$ y $h(x)=2x-7$ , encuentra $(g-h)(2)$ .

13. Si $g(x)=4x^3-3x$ encuentra $5g(6)$ .

14. Si $h(x)=|4x-7|$ encuentra $2h(-5)$ .

15. Si $f(x)=x+4$ y $g(x)=3x-6$ , encuentra $(f\cdot g)(1)$ .

16. Si $h(x)=x^4$ y $g(x)=x-12$ , encuentra $(h\cdot g)(-2)$ .

Intenta resolver estos problemas más complejos.

Resuelve y Grafica.

17. Si $f(x)=4x-7$ , $g(x)=3x+18$ , y $h(x)=-5x+2$ , encuentra $(f+g-h)(x)$ .

18. Si $f(x)=6x-8$ , $y(x)-\frac{1}{2}x$ , y $h(x)=x+4$ , encuentra $(f\cdot g\cdot h)(x)$ .

19. Si $g(x)=3x-7$ y $(g \cdot h)(x)=15x^2-47x+28$ , encuentra $(h)(x)$ .

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