Composición de Funciones
Objetivos
En esta sección, aprenderás sobre la composición de funciones. Esta hace referencia a la combinación de dos funciones al tomar el resultado de una función y usarlo como entrada en la otra.
Concepto
Si
, y
, ¿a que es igual
?
Una función puede ser conceptualizada como una ‘caja negra’. La entrada o valor de
se pone dentro de la caja y la caja realiza un conjunto específico de operaciones en
. Cuando las operaciones se han realizado se obtiene el resultado, la “
” o el valor de “
” Una vez finalizado el proceso, la caja esta lista para trabajar en la siguiente entrada.
Siguiendo esta idea, la,
composición de funciones
se puede entender como una caja dentro de una caja. El valor de
entra en la caja interna. El resultado de la caja interna se usa como entrada en la caja externa.
Esta sección trata sobre cajas dentro de cajas. Intenta responder la pregunta del comienzo antes de terminar esta sección.
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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)
http://www.youtube.com/watch?v=qxBmISCJSME - James Sousa – Composición de Funciones
Orientación
Composición de Funciones
Las funciones se describen a menudo en términos de “ingresar” y “obtener”. Por ejemplo, considera la función
. Cuando ingresamos un valor de
obtenemos un valor de
o un valor de función. al tomar el valor
, multiplicarlo por 2 y sumarle 3. Podemos realizar este proceso para cualquier valor de
. Ahora probemos con la función
. Para este función también podemos tomar un valor de
reemplazar
en
, y obtener el resultado. ¿Qué pasa si usamos el resultado de
en
?
Ejemplo A
Según la definición de función de arriba,
. Por lo tanto si
, tenemos que
. ¿Qué pasa si usamos el resultado, 20, como valor de entrada de
?
Solución:
Al reemplazar
por 20 en
obtenemos:
.
La siguiente tabla muestra varios ejemplos de este mismo proceso:
|
|
Resultado de
|
Resultado de
|
|
2 |
10 |
23 |
|
3 |
15 |
33 |
|
4 |
20 |
43 |
|
5 |
25 |
53 |
Al examinar los valores de la tabla, podemos apreciar que existe un patrón: todos los resultados de
son mayores en 10 unidades a la anterior. Hemos creado una nueva función llamada
y se encuentra fuera de
en la que
es el valor de entrada:
Cuando reemplazamos un función dentro de otra se conoce como la composición de dos funciones. Formalmente, debemos escribir la función compuesta como
o
.
Ejemplo B
Encuentra
y
:
-
y
-
y
Solución:
a.
y
En ambos casos, el resultado es una función cuadrática.
b.
y
En este caso, los compuestos son iguales entre sí y ambos son iguales a
, el valor de entrada inicial de la función. Esto significa que existe una relación especial entre las dos funciones. Revisaremos esta relación en secciones siguientes. Es importante recordar, sin embargo, que
no es necesariamente igual a
.
Ejemplo C
Descompone la función
en una función cuadrática
y una función lineal
.
Solución:
Cuando componemos funciones, combinamos dos o más funciones al reemplazar el resultado de una en el valor de entrada de otra. También podemos descomponer una función. Considera la función
. Podemos descomponer esta función en una función “interna” o “externa” Por ejemplo, la función
se forma con una función lineal y una cuadrática. Si
y
, entonces
. La función lineal
es la función interna y la función cuadrática
es la función externa.
Si
y
. Entonces
porque
.
La descomposición de una función no es única. Por ejemplo, hay muchas maneras de expresar una función lineal como la composición de otras funciones lineales.
Análisis del Problema de la Sección
¿Puedes responder la pregunta del comienzo ahora?
Si
, y
, ¿a qué es igual
?
¡Cuando te acostumbras a la idea, las funciones compuestas no son tan difíciles como parecen!
Vocabulario
Una función compuesta es una función que se forma al usar el resultado de una función como valor de entrada de otra.
La
entrada
de una función es el valor en el que se realiza la función (la variable independiente, mejor conocida como el valor de
).
La
salida
de una función es el resultado de las operaciones realizadas en
(la variable dependiente, mejor conocida como
o
.
Práctica Guiada
1. Dado:
Resuelve:
2. Dado:
Resuelve:
3. Dado:
Resuelve
Soluciones:
1. Para encontrar
, necesitamos saber el resultado de
para reemplazarlo en
:
Reemplazar
por 4 en la función
, nos da:
Simplifica:
Reemplazar
por 48 en la función
nos da:
Simplifica:
2. Primero, resolvamos la función interna,
. Así sabremos qué valor ingresar en la función externa.
Para resolver el valor de
, necesitamos resolver
Ahora tenemos:
Simplifica para obtener:
Ahora sabemos que
. Esto quiere decir que
es
Resuelve
Para resolver y encontrar el valor de
, necesitamos resolver y encontrar el valor de
¡Ahora podemos terminar!
3. Primero, resuelve la función interna
para encontrar el valor que debes reemplazar en la función externa
Luego, resuelve para
que sabemos es:
Para resolver y encontrar el valor de
, necesitamos resolver y encontrar el valor de
.
Por último:
Práctica
Para los problemas 1-4:
y
y
.
1. Resuelve:
2. Resuelve:
3. Resuelve:
4. Resuelve:
Evalúa cada composición:
5. Dado:
y
Encuentra
6. Dado:
y
Ecuentra
7. Dado:
y
Encuentra
8. Dado:
y
Encuentra
9. Dado:
y
Encuentra
10. Dado
Encuentra
11. Dado
Encuentra
12. ¿Son conmutativas las composiciones? En otras palabras, ¿es
?
13. Dado:
y
Encuentra
14. Dos funciones son inversas entre sí, si
y
. Si
, encuentra su inverso:
.
15. Un fabricante de juguetes tiene un producto nuevo para vender. El número de unidades para vender,
, es una función del precio
como:
. La ganancia
de las ventas es una función del número
de unidades vendidas, como:
Encuentra la función para la ganancia en relación con el precio,
.
