Funciones Inversas
Objetivos
En esta sección, aprenderás a determinar si una función tiene un inverso y si dicho inverso es una función.
Concepto
La oración “Los restaurantes de pizza venden pizza” puede ser considerada como una función. Se podría graficar, con diferentes restaurantes en el eje
y diferentes tipos de comida en los que se especializan en el eje
Cada vez que se ingrese un restaurante de pizza a la función, dará como resultado “pizza” como la comida especializada.
¿Es esta función de restaurante de pizza una función 1 a 1? ¿cómo podemos saber?
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http://www.youtube.com/watch?v=qgezKpQYH2w - James Sousa: Funciones Inversas
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http://www.youtube.com/watch?v=UKhwZbgaT5M - James Sousa: Animación: Función Inversa
Orientación
Considera la función
. Sabemos que
es una función porque al aplicar la prueba de la “recta vertical ” a su gráfico veremos que cada valor del dominio corresponde solo a un valor del rango. ¿Es el inverso de
una función?
¿Qué es el inverso de una función? El inverso de una función se obtiene al tomar sus pares ordenados
invertir los valores de las variables independiente y dependiente a
y graficar los resultados. Es lo mismo que tomar la ecuación de la función
, cambiar las variables
e
a
, y resolver para
. El resultado de esto es
![y=\sqrt[3]{x}](data:image/png;base64,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){kind=small}
. Los gráficos de
y
se muestran abajo.
La prueba de la recta vertical muestra que
también es una función. La función inversa de
se escribe como
![f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}](data:image/png;base64,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){kind=small}
, donde
es la notación que indica la función inversa de
(No hay que confundir con una función a la potencia -1).
La función
es un ejemplo de una función uno a uno. Una función debe ser uno a uno para que su inverso sea una función. Uno a uno se define de la siguiente manera:
Propiedad uno a uno
Una función es uno a uno si y solo si cada elemento de su rango corresponde exactamente a un elemento de su dominio.
La propiedad uno a uno de una función puede ser probada visualmente con la prueba de la recta horizontal, como se describe para la función
.
La función
no es uno a uno. Abajo se muestra el grafico de esta función.
Si dibujamos una recta horizontal a través de
, la recta toca al gráfico en más de un punto. Esto indica que el inverso no será una función, esta es la razón: Si invertimos la función
, el resultado es una reflexión sobre la recta
, del gráfico original (gira en 90 grados). Debido a que
e
se han intercambiado, la función nueva falla la prueba de la recta vertical.
Por ende, la función
no es una función uno a uno. Si una función no es uno a uno, su inverso no será una función.
Puedes determinar gráficamente si una función es invertible (tiene un inverso) al aplicar la prueba de la recta horizontal : Dibuja un recta horizontal a través del gráfico de la función, si toca más de un punto, la función no es invertible.
Ejemplo A
Grafica la función
. Usa la prueba de la recta horizontal para verificar que la función es invertible.
Solución:
El siguiente gráfico muestra que esta función es invertible. Puedes trazar una recta horizontal en cualquier valor de
y la recta solo cruzará
una vez. La función inversa se puede determinar como
.
En resumen, una función uno a uno es invertible. Es decir, si invertimos una función uno a uno, su inverso también es una función. Ahora que hemos establecido que implica que una función sea invertible, nos centraremos en el dominio y rango de las funciones inversas.
Ejemplo B
Establece el dominio y rango de la función y su inverso:
Función: (1, 2), (2, 5), (3, 7)
Solución:
El inverso de esta función es el conjunto de puntos (2, 1), (5, 2), (7, 3)
El dominio de esta función es {1, 2, 3}. También, es el rango del inverso.
El rango de esta función es {2, 5, 7}. También, es el dominio del inverso.
Todas las funciones lineales que hemos revisado anteriormente, así como
, han tenido un dominio y rango igual al conjunto de todos los números reales. Por lo tanto, los inversos también han tenido un dominio y rango igual al conjunto de todos los números reales. Ya que el dominio y el rango son iguales para estas funciones, intercambiarlos no altera la relación.
Además, como revisamos anteriormente, la función
no es uno a uno, así que no es invertible.
Es decir, si la invertimos, la relación resultante no es una función. Podemos cambiar esta situación si definimos el dominio de la función de manera más limitada. Establezcamos que
es una función definida como:
, con un dominio limitado a los números reales ≥ 0. Así, el inverso de la función es la raíz cuadrada de la función:
Ejemplo C
Define el dominio de la función
de manera que
sea invertible.
Solución:
El gráfico de esta función es una parábola. Necesitamos limitar el dominio a un lado de la parábola. Convencionalmente, en casos como estos se escoge el lado positivo; por lo tanto, el dominio está limitado a los números reales
.
Revisión de la Situación Inicial
¿Has considerado la pregunta del comienzo?
“Los restaurantes de pizza venden pizza” es una función. Sin embargo, NO es una función uno a uno.
Para que sea uno a uno, debe ser invertible. Algo como: “los vendedores de pizza son restaurantes de pizza”, y esa oración debe ser una función también.
Las tiendas venden pizza, por lo que estarían dentro de los resultados de la nueva función, pero no dentro de los valores de entrada de la función original (la cual especifica “restaurantes de pizza”), Las funciones no son invertibles.
Vocabulario
El inverso de una función es la relación que se obtiene al intercambiar los valores del dominio y el rango de una función.
Una función es uno a uno si y solo si cada elemento de su rango corresponde exactamente a un elemento de su dominio. Una función uno a uno puede ser comprobada con la prueba de la recta horizontal. Si una función es uno a uno, tiene un inverso que es una función.
La prueba de la recta horizontal es una prueba usada para determinar si una función es uno a uno: Si una recta horizontal interseca el gráfico de una función en más de un punto, entonces la función no es uno a uno.
Práctica Guiada
1. Es
a una función uno a uno?
2. Usa la prueba de la recta horizontal para verificar si
es uno a uno.
3. Es
uno a uno?
Soluciones:
1. La Prueba Algebraica para funciones 1 a 1 dice que si
,
, entonces
es uno a uno
Si
es uno a uno
Prueba:
es
2. Grafica la ecuación:
Esta es la función general de las funciones cúbicas. Cada valor de
tiene un valor único de
que no es usado por ningún otro valor de
Ya que esa es la definición de una función uno a uno, esta función es uno a uno.
3. Grafica la ecuación:
Esta función de valor absoluto tiene valores de
emparejados con más de un valor de
como (4, 2) y (0,2). Esta función no es uno a uno. Además, esta función falla la prueba de la recta horizontal usada en la pregunta 2.
Práctica
1. Describe la prueba de la recta horizontal uno a uno
2. Describe la prueba algebraica uno a uno
¿Qué funciones son uno a uno?
3.
4.
5.
Para que la siguiente función sea una función uno a uno, ¿qué valores no puede tener,
?
6.
7.
¿Son las siguientes funciones uno a uno?
8.
9.
10.
11.
12.
Determina si las siguientes relaciones son funciones, funciones uno a uno o ninguna:
13.
14.
15.
