Modelos de Funciones Lineales, Cuadráticas y Cúbicas

Objetivos

En esta sección, aprenderás a aplicar funciones lineales, cuadráticas y cúbicas para modelar algunos problemas cotidianos.

Concepto

Aprender a expresar situaciones cotidianas como funciones matemáticas permite convertir y analizar ideas y acciones complejas en partes simples y pequeñas.

¿Cómo puedes expresar matemáticamente la siguiente situación?

Dos hermanos deciden correr desde la escuela a su casa, cada uno por diferentes rutas con diferentes distancias. El segundo hermano parte 5 minutos después del primero, pero ambos llegan a su casa al mismo tiempo.

Intenta escribir expresiones o ecuaciones que representen esta situación antes de la revisión al final de esta sección.

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http://www.youtube.com/watch?v=dIejOnMP20c - Brightstorm – Número de Saludos de Mano en una Fiesta

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http://www.youtube.com/watch?v=CpOD4riglTU - James Sousa - Ej: Encuentra el Tamaño de Caja que se Necesita para Hacer una Caja con un Volumen Dado

Orientación

Un Modelo Lineal usa una función lineal (de forma ) para modelar una situación de cambio constante, ya sea de crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo A

Diriges un negocio de cortar césped y cobras $15 por prado. Escribe una función que describa la ganancia como una función del número de prados segados, si cada uno tiene un costo de $2 en vencida y otros gastos.

Solución:

Si expresas el número de prados cegados como , y las ganancias como la función , entonces:

.

Un Modelo Cuadrático usa una función cuadrática (de forma ) para modelar una situación.

Ejemplo B

Estás en el techo de un edificio de 20 pies de alto. Tiras una pelota al aire con una velocidad vertical inicial de 40 pies por segundo, de manera que caiga en piso y no en el techo. ¿Cuán alto llegará la pelota? ¿En qué punto alcanzará su altura máxima? ¿Cuándo llegará al piso la pelota?

Solución:

Esta situación puede ser modelada por una función cuadrática de forma  donde  representa la altura sobre el piso y:

1. la constante -16 (en unidades de ) se obtiene de la fuerza de gravedad hacia abajo;
2. representa el tiempo (en segundos) desde que la pelota fue lanzada;
3. representa la velocidad inicial (es pies/seg) de la pelota
4. representa la altura inicial (en pies) de la pelota.

Podemos escribir la función como  .

Para responder la primera y segunda pregunta, usa tu calculadora para examinar el gráfico de la función, configura la pantalla para una mejor visión y luego presiona GRAPH para ver la parábola resultante.

Si usas la función MAX en el menú CALC, verás que las coordenadas del vértice son (1,25, 45). Esto significa que después de 1,25 segundos de ser lanzada, la pelota alcanza su altura máxima de 45 pies.

Para responder la tercera pregunta, necesitamos determinar en qué punto la altura de la pelota es 0. Gráficamente, estamos buscando el intercepto en de la parábola. Si queremos determinar el valor exacto, podemos usar la función ZERO de la calculadora o solo resolver la ecuación cuadrática para los dos interceptos. Con cualquiera de los dos métodos, el resultado debería ser que el intercepto en es aproximadamente 2,93. Esto quiere decir que la pelota llega al piso en menos de 3 segundos.

Un Modelo Cúbico usa funciones cúbicas (de forma ) para modelar una situación. Los modelos cúbicos se pueden usar para modelar objetos tridimensionales que ayuden a identificar una dimensión o explorar el resultado de cambios a una o más dimensiones.

Ejemplo C

Considera una situación similar a la descrita en el video de arriba, en la que un trozo rectangular de cartón se pliega para formar una caja. Los pliegues se hacen cortando cuadrados en las cuatro esquinas del cartón.

Calcula el volumen máximo de la caja hecha a partir de un trozo de cartón de .

Solución:

La función  representa el volumen de la caja como una función de , el largo de los lados de los cuadrados que se recortan de las esquinas. Si multiplicamos los factores de esta función podemos verificar que es una función cúbica:

Podemos analizar el gráfico de la función para encontrar el volumen máximo de la caja. Al analizar la función para determinar el volumen de la caja, solo consideramos la parte del gráfico donde  no es mayor que 4. Si cortamos cuadrados de  cortaríamos todo el lado más pequeño del cartón rectangular y no podríamos formar una caja. Al centrarnos en el intervalo (0, 4) podemos ver que el volumen de la caja aumenta y luego disminuye. Se puede usar una calculadora gráfica para determinar que cuando  es igual a 1,57 pulgadas, el volumen máximo de la caja es .

Revisión de la Situación Inicial

¿Pudiste encontrar un modelo matemático para la pregunta del comienzo?

Dos hermanos deciden correr desde su casa hasta la escuela, cada uno por diferentes rutas con diferentes distancias. El segundo hermano parte 5 minutos después del primero, pero ambos llegan a su casa al mismo tiempo.

Existen diversas formas de modelar la información, todo depende de que parte o partes de información decidas usar. Un par de ejemplos incluye:

Si  es el tiempo que se demoró el segundo hermano en llegar a la casa, la distancia que corrió es  = al tiempo que se demoró el primer hermano.

Si  es el tiempo que se demoró el primer hermano es llegar a la casa, entonces representa el tiempo promedio que toma correr hasta la casa.

Tu modelo puede ser similar o puede estar escrito de manera diferente, pero deberías comparar distintos valores dados en el problema .

Vocabulario

Un Modelo Matemático: es una expresión o función matemática usada para describir una situación u objeto real.

Un Modelo Lineal es un modelo que usa una función lineal para representar una situación que incluya una tasa de cambio constante. El gráfico de una ecuación lineal es una línea recta.

Un Modelo Cuadrático es un modelo que usa una función cuadrática para representar una situación u objeto real. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

Un Modelo Cúbico es un modelo que usa una función cúbica para describir situaciones reales, así como objetos tridimensionales.

Práctica Guiada

Preguntas 1

1. Los estudiantes de último año pagaron $1000 a un DJ para su fiesta de graduación. Las entradas a la fiesta cuestan $15 cada una.
   1. Expresa el ingreso neto como una función del número de entradas vendidas.
   2. Grafica la función e identifica cualquier limitación del dominio.
2. Los estudiantes de primer año quieren hacer una recaudación de fondos. Tiene un total de $100 para gastar y quieren comprar un número de sandalias de $4 y gorras de béisbol de $5.
   1. Si  representa el número de sandalias y  representa el número de gorras de béisbol, escribe una función que represente el número de sandalias compradas como una función del dinero que sobre luego de comprar las gorras de béisbol.
   2. Usa la ecuación de (a) para determinar el número de gorras de béisbol que se pueden comprar si ya se compraron 10 sandalias.
3. 3. Estudios del metabolismo de alcohol muestran que el contenido de alcohol en la sangre (CAS) disminuye linealmente luego de aumentar rápidamente al momento de la ingesta. En un estudio, el CAS en una persona en ayuna aumentó a 0,018% luego de un solo trago. Luego de una hora el nivel bajo a 0,010%.
   1. Escribe una ecuación que vincule al CAS con el tiempo en horas luego de beber .
   2. Si asumimos que el CAS sigue disminuyendo linealmente (es decir, a una tasa constante de cambio), ¿cuándo será el CAS igual a 0,002%, aproximadamente?

Soluciones 1

1. Para encontrar el ingreso neto:

a.   = al ingreso neto de  entradas vendidas. Así, el ingreso se calcula al restar el costo del DJ del dinero recaudado.

b. El dominio de la función esta limitado a números positivos, ya que los alumnos de último año no venderán un número negativo de entradas. Podemos decir, por lo tanto, que el dominio de la función es , donde  es un entero.

2. Para expresar esta información como una función, recuerda que la pregunta especifica que tienen $100 para gastar y que cualquier dinero no gastado en gorros (a $5 cada uno) se gastó en sandalias (a $4 cada una).

a. es la ecuación básica que representa compras y dinero disponible. Esto quiere decir que: .

b. Para calcular cuantos gorros puedes comprar luego de comprar sandalias, reemplaza , por 10 y resuelve para :

Por ende, si se compran 10 pares de sandalias, quedará suficiente dinero para comprar 12 gorras de béisbol.

3. Para responder esta pregunta, debes expresar la relación como una ecuación y luego usar la ecuación.

Primero, define las variables en la función y haz una tabla.

Las dos variables son tiempo y CAS.

Luego, calcula la tasa de cambio.

Esta tasa de cambio implica que cuando el tiempo aumenta en 1, el CAS disminuye (puesto que la tasa de cambio es negativa) en 0,008. En otras palabras, el CAS disminuye en 0,008% cada hora. Hemos establecido que el CAS disminuye linealmente, podemos asumir que la figura se mantiene constante.

a. Ahora podemos escribir una ecuación con  (CAS) y  (tiempo en horas):

b. Para saber cuando el CAS será igual a 0,002%, reemplaza  por 0,002 y resuelve por .

Por ende, el CAS será igual a 0,002% luego de 2 horas.

Preguntas 2

1. 1. ¿Cuál es el volumen máximo de una caja abierta hecha a partir de un trozo de cartón con un área de 64 pies cuadrados?
   2. Si asumimos que la caja se formó al cortar cuadrados de cada esquina del trozo de cartón, ¿cuáles son las dimensiones de los cuadrados cortados?
   3. ¿Qué intervalo del gráfico hace referencia a esta pregunta en particular?
2. 2. En tu tienda favorita, comprar té a granel por onza. La tienda no calcula por fracciones de onza. En cambio, aproximan el peso del té a la onza más cercana. Tu té favorito cuesta $3 la onza. Escribe una función que represente el costo del té como una función del número de onzas que compras. Explica por qué la función no es continua.
3. 3. Las ganancias de una negocio se pueden determinar al restar los costos de los ingresos. Supón que las ganancias de un negocio son representadas por la función , y los costos de fabricación del producto son representados por , donde  es el número de unidades del producto.
   
   1. Escribe una función  que represente las ganancias de la empresa.
   2. Grafica  y determina la ganancia máxima.
4. 4. Expresa la siguiente situación como una composición de funciones: Estás manejando una microempresa de joyeros de madera. El costo por unidad de la fabricación de los joyeros es de $5 más una inversión inicial de $300 en otros materiales. Entonces, la fabricación de una caja tiene un costo extra de $2 por decoraciones.

Soluciones 2

1. Si  representa el largo de cada lado de los cuadrados cortados de las esquinas del cartón, entonces las dimensiones de la caja serán largo,  ancho y , alto.

El volumen de la caja como una función del largo de los lados:

Grafica esto con una calculadora gráfica para ver su función:

1. El volumen máximo es aproximadamente 38 pies cúbico.
2. Los lados de los cuadrados de las esquinas miden aproximadamente 1,3 pies
3. El intervalo: (0, 4) contiene todos los largos posibles, puesto que los lados no pueden ser igual a cero o negativos y no se pueden cortar trozos de 4 o más pies de un largo de 8 pies.

2. La función no es continua porque la función es constante entre cada número entero del dominio, pero luego "salta" entre cada número entero del rango. Por ejemplo, 1,99 onzas de te y 2 onzas de te cuestan $6, pero 2,01 onzas cuestas $9.

3. a.

b. La ganancia máxima es 125 (¡usualmente en miles o alguna unidad más grande!)

4. Función del costo inicial:

Segunda función del costo

Composición:

Práctica

1. Entre el 2002 y el 2009 la cantidad de bencineras en cierto país aumento en 100 por año. El 2004 habían 1100 bencineras. Escribe una ecuación lineal para la cantidad de bencineras, , como una función del tiempo, , donde  representa al año 2002.

Encuentra el vértice de las siguientes funciones cuadráticas y luego grafícalas.

2.

3.

4. En la celebración anual del 4 de Julio, se lanzan fuegos artificiales por control remoto desde un foso de 12 pies de profundidad.

1. a. Escribe una ecuación que represente la altura de un cohete  segundos después de ser lanzado al aire con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. Si asumimos que el cohete disminuye su velocidad a una tasa de 30 pies por segundo cada segundo
2. Encuentra el vértice de la función cuadrática.
3. ¿Cuál es la altura máxima sobre el nivel del suelo que alcanzará el cohete?
4. ¿A cuántos segundos luego de ser lanzado alcanzará dicha altura?

5. Se lanza un roca del techo de un edificio de 763 pies de altura. La distancia, en pie, entre la roca y el piso  segundos luego de ser lanzada se obtiene a partir de . ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la roca llegue a las 430 pies del piso luego de ser lanzada?

6. La fórmula de movimiento vertical  para encontrar la cantidad de segundos que le toma a un cohete lanzado con una velocidad inicial de 96 pies por segundo alcanzar una altura de 45 pies. Redondea las respuestas a la décima más cercana.

7. La función  representa a los habitantes en millones de Estados Unidos desde 1990. Usa la función  para predecir el año en que los habitantes sobrepasen el billón.

8. ¿Para cuál valor de  es  si ?

9. Una caja es formada a partir de un trozo de cartón rectangular con cuadrados recortados de cada esquina. Las dimensiones de la caja son  pulgadas por  pulgadas. Supón que .

1. Escribe un modelo para el volumen de la caja.
2. ¿Qué tan grande puede ser el cuadrado recortado de las esquinas del cartón?

10. Estás en tu último examen de matemática y les dicen que solo pueden usar una hoja de papel para tomar apuntes. El profesor dice que puedes usar cualquier hoja que quieras, pero la forma debe ser cuadrangular y el perímetro no exceder las 45 pulgadas.

1. ¿Qué dimensiones debería tener tu hoja para tener una mayor área para tus notas?
2. ¿De que manera ayuda una calculadora gráfica a simplificar esta pregunta?

11. Es  una función de potencia?

12. Es  una función de potencia?

13. Es  una función de potencia? Si no, ¿por qué no?

14. Es  una función de potencia? Si no, ¿por qué no?

15. El volumen  de una esfera varía directamente con el cubo del radio . Cuando el radio de una esfera es 6 cm, el volumen es . ¿Cuál es el radio de una esfera cuya volumen es ?

16. La fuerza de gravedad  que actúa sobre un objeto inversamente proporcional al cuadrado de la distancia  del objeto al centro de la tierra. Escribe una ecuación que representa esta situación.

17. Sue y Betty recopilaron información en la siguiente tabla con una ampolleta de 100 watt y una Laboratorio Basado en Calculadora (CBL) con Punta de Prueba de Voltaje.

Intensidad de Luz para un ampolleta de 100w

1. Usa una calculadora para encontrar modelo de regresión de poder de potencia.
2. Describe la relación entre la intensidad y distancia representada en la ecuación.
3. Usa el modelo de regresión para predecir la intensidad de un objeto a 2,75 metros de distancia.