Objetivos

En esta sección, aprenderás a aplicar funciones exponenciales para modelar algunos problemas reales.

Concepto

Supón que estas evaluando un lugar para una futura tienda de radios para automóviles, “Rock and Roll”. Para garantizar el éxito de la tienda, esta debe estar ubicada en un pueblo con al menos 100,00 habitantes. Tienes ahorrado lo suficiente para mantener la tienda por los primeros dos años desde su apertura, por lo que el pueblo podría tener una población menor, siempre que llegue a 100,000 para el tercer año.

El pueblo que más le gusta tiene una población actual de 89,000 de personas que aumenta en una tasa de 6% por año. ¿Es esto suficiente para que la tienda sea exitosa en este pueblo?

Mira esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=iT2tdp8Z0nY - James Sousa: Modelos de Crecimiento Exponencial - Parte 1 de 2

Orientación

El crecimiento exponencial puede ser un poco sorpresivo, pues puede verse bastante lento en un comienzo. Pero en cierto punto, la función exponencial empezará (a veces de manera sorpresiva) a incrementar muy rápido.

El crecimiento poblacional usualmente puede ser modelado con una función exponencial (asumiendo que la población crece en un porcentaje de la población actual, es decir 8% por año).

Ejemplo A

La población de un pueblo pequeño era de 2,000 en el año 1950. La población creció a través del tiempo, según los valores presentes en la tabla.

¿Cuál es el número de personas en las que aumenta la población cada año? ¿Por qué esta pregunta es más compleja de lo que parece?

Año (1950 = 0)	Población
0	2000
5	2980
10	4450
20	9900
30	22,000
40	50,000

Solución:

Si se grafican los puntos dados por los datos, verá que el patrón de crecimiento es no-lineal:

La población no continúa su crecimiento en el mismo número de personas cada año, este crece en un porcentaje de la población existente al final de cada año, como una función exponencial.

Ejemplo B

Use una calculadora gráfica para encontrar una función de la forma $y = a(b^x)$ que se ajuste a los datos de la tabla.

Año (1950 = 0)	Población
0	2000
5	2980
10	4450
20	9900
30	22,000
40	50,000

Solución:

Usando una calculadora gráfica TI-83/84 para encontrar una función exponencial que mejor se ajuste al conjunto de datos.

1. Ingresando los datos

a. Los datos deben ingresarse en “lists”. La calculadora tiene seis nombres de listas, L1, L2,…, L6. Nosotros ingresamos el valor $x$ en L1 y el valor $y$ en L2. Una forma de hacer esto es lo siguiente:

Presiona <TI font_2nd> [{] y luego ingresa los números separados por comas y finaliza presionando lo siguiente: <TI font_2nd> [{]<TI font_STO> <TI font_2nd> [L1].

Las tres primeras líneas de la siguiente figura muestran las entradas en la lista L1, seguido por las entradas de los valores de $y$ en la lista.

Ahora presiona <TI font_STAT>, y avanza a la derecho hasta el menú CALC. Baja hasta la opción 10, ExpReg. Presiona <TI font_ENTER>, y retornará a la pantalla principal Deberá ver ExpReg en la pantalla. Si los números están en L1 y L2, la calculadora procederá a encontrar una función exponencial que ajuste la data ingresada en las listas L1 y L2. En la pantalla principal deberían aparecer los valores de $a$ y $b$ en la función exponencial (observa la siguiente figura).

Así la función $y = 1992.7(1.0837)^x$ es un modelo aproximado para los datos.

2. Graficando los datos y la ecuación

Para ver el gráfico de puntos de los datos y la ecuación en la misma pantalla.

a. Primero, presiona <TI font_Y=> y borra cualquier ecuación.

Puedes escribir la ecuación de arriba, u obtener la ecuación desde la calculadora, haga lo siguiente:

b. Escriba la ecuación redondeada de arriba en Y1, o use el siguiente procedimiento para obtener la ecuación completa desde la calculadora: pon el cursor en Y1, presiona <TI font_VARS>, 5, EQ y 1. Esto debería colocar la ecuación en Y1 (observa la figura anterior).

c. Ahora presiona <TI font_2nd>[STAT PLOT] y completa el ítem como muestra la siguiente figura.

d. Ahora fija la ventana. (usa el rango de la información para escoger la ventana – la figura siguiente muestra nuestra elección.)

e. Presiona <TI font GRAPH> y verás la función y los puntos de datos como se muestra en la siguiente figura.

3. Comparando los datos reales con los resultados del modelamiento

Al parecer los puntos de datos coinciden con la función. Sin embargo, usando la función TRACE (Traza) se puede determinar qué tan cerca están los puntos modelados de los datos reales. Presiona <TI font_TRACE> para entrar en el modo TRACE (traza). Luego presiona la flecha derecha para moverse desde un punto a otro. Realiza esto hasta llegar al punto con el valor Y = 22000. Para ver el correspondiente valor modelado, presiona la flecha hacia arriba o hacia abajo. Observa la siguiente figura. El valor modelado es aproximadamente 22197, el cual está bastante cerca del valor real. Puedes verificar cualquier otro punto usando el mismo método.

Ejemplo C (revisión situación inicial)

Necesitas encontrar un pueblo que cuente con una población mínima de 100,000 en tres años más. El pueblo que tienes en mente posee una población actual de 89,000, con una tasa de crecimiento anual del 6%. ¿Es suficiente?

Solución:

La población final es igual a la población inicial multiplicada por la tasa de crecimiento una vez cada año.

Esto nos dice que la población final es: $[(P_i \cdot growth) \cdot growth] \cdot growth \ldots$ etc. Donde $P_i$ es la población inicial que se multiplica por la tasa de crecimiento.

Si usamos $r$ para la tasa de crecimiento y $x$ como los años que pasan, se simplifica a la siguiente función exponencial:

$P(f) = P_i \cdot r^x$

En nuestro pueblo, la población después $x$ años debería ser de: $P(x)=89,000 \cdot (1.06)^x$

El comienzo del tercer año ocurre después de que dos años han pasado, así sustituyendo 2 en $x$ obtenemos:

$P(2) & = 89,000 \cdot (1.06)^2\\\therefore P(2) & = 100, 000.4$

La población proyectada es 100,00 (y $\frac{4}{10}$ ... alguien esta embarazado!) en el tercer año listo lo suficiente.

Vocabulario

Extrapolar desde los datos es crear nuevos puntos de datos o predicciones, afuera del dominio del conjunto de datos.

Interpolar es crear nuevos puntos de datos o predicciones, dentro del dominio del conjunto de datos, pero para puntos que no estén en el conjunto original.

Un modelo exponencial es una función que refleja una cantidad que crece o decae a una tasa proporcional de su actual valor.

Guía Práctica

Pueblo pequeño, CO, actualmente (al comienzo del año 2012) tiene una población de 26 personas, pero con una tasa de crecimiento del 17% anual.
1. ¿Cuánto es el factor de crecimiento para Pueblo pequeño?
2. ¿Cuál será la población al comienzo del año 2030?
Abbi invierte $4000 en su cuenta de ahorros con APR del 6.5% compuesto anual.
1. ¿Cuánto tendrá después de 2 años?
2. ¿Cuánto tendrá después de 15 años?
3. ¿Cuantos años deberán pasar para que tenga $50,000?
Brandon compró un auto Nuevo a $30,000. No fue hasta que manejó lejos que su amigo Kyle mencionó que el auto iba a depreciarse a una tasa del ¡50% anual!
1. ¿Cuánto es el factor de decaimiento del auto?
2. ¿Cuánto valdrá el auto en 5 años?
3. Usando sus cálculos de “b.”, aproximadamente ¿cuánto tiempo deberá pasar para que el auto cueste solo $100?

Solución:

1. Recordemos que la función simplificada para el crecimiento poblacional es $P_f=P_i \cdot r^t$ Donde “ $P_f$ ” es la población final, “ ” es la población inicial (de partida), “ $r$ ” es la tasa de crecimiento y “ $t$ ” es el tiempo (en años).

a. El factor de crecimiento es de 1.17, puesto que la población cada año es la población total del año anterior: $1 \cdot P$ más la nueva población: $.17 \cdot P$ .

b. La población en 2030, 18 años después será aproximadamente 429:

$P_f &=26 \cdot 1.17^{18} \\P_f &=26 \cdot 16.879 \\P_f &=439$

2. El dinero de Abbi puede ser calculado con el mismo tipo de fórmula que el ejercicio anterior: $A=P \cdot r^t$ Donde “ $A$ ” es la cantidad final, “ $P$ ” es el capital inicial, “ $r$ ” es la tasa de crecimiento (interés) y “ $t$ ” es el tiempo (en años).

a. Después de dos años, Abbi tendrá aproximadamente $4537

$A=4000 \cdot 1.065^2=4536.9$

b. Después de 15 años, Abbi tendrá aproximadamente $10,287.

$A=4000 \cdot 1.065^{15}=10287.4$

c. Para calcular cuánto tiempo debe pasar para obtener $50,000, usamos la forma con $x$ como el número de años.

$50,000 & =4000 \cdot 1.065^x\\12.5 & =1.065^x \qquad \qquad \ldots \text{Divide both sides by } \$4000 \\\log 12.5 & = \log 1.065^x \qquad \ \ldots \text{Take the log of both sides} \\\log 12.5 & =x \log 1.065 \qquad \ldots \text{Using the log property } \log x^y=y\log x \\\frac{\log 12.5}{\log 1.065} & =x \qquad \qquad \qquad \ \ldots \text{Divide both sides by } \log 1.065\\40.14 & =x$

Tendrán que pasar más de 40 años para que los $4000 de Abbi sean $50,000 a una tasa de interés compuesta del 6.5% anual.

3. La fórmula para calcular el decaimiento es, nuevamente, muy similar $V_f=V_i \cdot r^t$ Donde “ ” es el valor final, “ $V_i$ ” es el valor inicial, “ $r$ ” es el factor de decaimiento (tasa de depreciación), y “ $t$ ” es el tiempo (en años).

a. La tasa de decaimiento es simplemente $1-.5=.5$ pues el valor del auto decae al 50% anual.

b. En 5 años el auto valdrá aproximadamente $938.

$V_f=30000 \cdot 0.5^5=30000 \cdot 0.03125=937.5$

c. Si el auto pierde $\frac{1}{2}$ de su valor cada año y vale aproximadamente $1000 después de 5 años:

Año 6 = $500

Año 7 = $250

Año 8 = $125

Solo tienen que pasar alrededor de 8 años para que el auto valga solo $100. Brandon quizás hizo una compra cuestionable

Práctica

Calcule los siguientes valores usando: $A=P \cdot r^t$

Asuma que todas las tasas son de $x \%$ por año, anual compuesto a menos que se indique lo contrario

1. ¿Cuál es el valor de una inversión de $5000 después de 5 años a una tasa del 5%?

2. ¿Cuál es el valor de una inversión de $15000 después de 3 años a una tasa del 8%?

3. ¿Cuál es el valor de una inversión de $3500 después de 12 años a una tasa del 2%?

4. ¿Cuál es el valor de una inversión de $7550 después de 7 años a una tasa de 4.3%?

5. ¿Cuál es el valor de una inversión de $42,340 después de 13 años a una tasa de 5.034%?

Para los problemas 6-10, calcule:

El factor de crecimiento
La población final

6. Si la población es de 5,000 personas en 1995 y crece a una tasa del 7% anual, ¿Cual será la población en 2032?

7. Si la población es de 15,000 personas en 2000 y crece a una tasa del 3% anual ¿Cual será la población en 2027?

8. Si la población es de 25,500 personas en 1990 y crece a una tasa del 2% anual, ¿Cuál será la población en 2008?

9. Si la población es de 87,432 personas en 1940 y crece a una tasa del 4.3% anual, ¿Cual será la población en 2040?

10. Si la población es de 126,352 personas en 1776 y crece a una tasa del 1.067% anual, ¿Cual será la población en 2012?

Para los problemas 11-15, calcule:

El factor de decaimiento (recuerde que $\text{decay factor} = 1 - \% \text{ decay as a decimal}$ )
El valor final, usando $V_f=V_i \cdot r^t$ .

11. Un auto vale $4000 y se devalúa a una tasa del 12% anual, ¿Cuál será su valor en valdrá en 5 años?

12. Un bote se compra en $14,000 y se devalúa a una tasa del 16% anual, ¿Cuál será su valor en 7 años?

13. Un auto se compra en $40,500 y se devalúa a una tasa del 21% anual, ¿Cual será su valor en 4 años?

14. Una motocicleta vale $9350 y se devalúa a una tasa del 6.5% anual, ¿Cuál será su valor en 3.5 años?

15. Un avión se compra en $342,137 y se devalúe a una tasa del 4.67% anual, ¿Cuál será su valor en 13 años?

Para los problemas 16-20 , calcule el número de años necesarios para que el valor inicial alcance uno final especifico, usando $A_f=A_i \cdot r^t$ y comience con $A_f=$ valor final y $x$ (en el exponente) como el número de años.

16. ¿Cuántos años deben pasar para que una población de 5,000 alcance al menos 8,000 a una tasa de crecimiento del 6%?

17. ¿Cuántos años deben pasar para que una inversión de $4,000 alcance al menos el valor de $7,000 a una tasa de crecimiento del 4%?

18. ¿Cuántos años deben pasar para que una inversión de $12.000 alcance al menos el valor de $25,000 a una tasa de crecimiento del 12%?

19. ¿Cuántos años deben pasar para que una población de 15,500 alcance al menos 46,000 personas a una tasa de crecimiento del 8.5%?

20. ¿Cuántos años deben pasar para que un auto que vale actualmente $52,138 se deprecie al menos hasta $8,000 a una tasa de depreciación del 14,7%?

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