Objetivos

En esta sección, se hará una introducción a lo que significa encontrar el límite de una función, la notación usada para describir límites y los tipos de límites.

Concepto

Supón que te paras exactamente a 4 pies de distancia de una pared y comienzas a moverte hacia la pared acortando la distancia a la mitad cada vez que das un paso. ¿Cuántos pasos serán necesarios para llegar a la pared? ¿Cuánta distancia habrás caminado en el proceso?

Esta es una pregunta de límites . Intenta resolverla antes de la revisión al final de la lección.

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Como introducción para encontrar límites, mira Math Video Tutorials by James Sousa, Introduction to Limits (8:46)

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http://www.youtube.com/watch?v=riXcZT2ICjA - Khan Academy: Introducción a los Límites (HD)

Para otra visión de la definición de un límite, la serie de videos en Tutorials for the Calculus Phobe tiene una introducción intuitiva de esta fundamental sección (a pesar del extravagante nombre).

Orientación

Ejemplo A

Realiza una conjetura del valor de la función $f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x+1}-1}$ en $x=0$ .

Solución:

En este problema, el valor de la función debe ser determinado en el valor especifico de $x$ . Sin embargo, la función $f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x+1}-1}$ no está definida en $x=0$ , su valor está dado por $\frac{0}{0}$ , una forma indeterminada . Veamos la función numéricamente para ver si podemos encontrar lo que pasa en las cercanías de $x=0$ . La siguiente tabla muestra ejemplos de valores de $x$ cerca de 0 desde el lado izquierdo y desde el lado derecho; en ambos casos, los valores de $f(x)$ , evaluados hasta al menos 5 decimales, se acercan más y más a 6.

$x$	-0.01	-0.001	-0.0001	-0.00001	0	0.00001	0.0001	0.001	0.01
$f(x)$	5.984962	5.9985	5.99985	5.999985	Indefinido	6.000015	6.00015	6.0015	6.014963

Otra forma de responder la pregunta es graficar $f(x)$ (como se muestra a continuación). Nota las dos flechas horizontales que muestran los valores de $x$ aproximándose a 0 desde el lado izquierdo y derecho; en ambos casos, los valores de $f(x)$ parecen acercarse cada vez más a 6.

La respuesta a la conjetura fue realizada de manera numérica y gráfica. Matemáticamente, la respuesta a la conjetura sería: el límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a 0 es 6, un valor especifico. Esto se escribe $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{\sqrt{x+1}-1}=6$ .

Notación y Definición Informal del Límite de una Función

$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L$

Significa que a medida que $x$ se acerca a (o se aproxima muy cerca a) $a$ , la función $f(x)$ se aproxima muy cerca del valor $L$ .

Cómo se lee “ $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L$ ”: El límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a $a$ es $L$ .

Ejemplo B

Considera la función $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ . Usando métodos numéricos y gráficos, determinemos lo que sucede bajo las siguientes condiciones:

a. $x$ se acerca al valor 1;

b. $x$ se acerca a valores muy grandes $(> 0)$ y muy pequeños $(< 0)$ .

Solución:

a. En este problema, el valor de la función debe ser determinado en un valor específico de $x$ . La función $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ no está definida en $x=1$ : su valor está dado por el valor indefinido $\frac{1}{0}$ . Veamos la función numérica y gráficamente para ver si podemos determinar lo que sucede en las cercanías de $x=1$ . La siguiente tabla muestra ejemplos de valores $x$ que se acercan a 1 desde el lado izquierdo y desde el lado derecho. En ambos casos, los valores de $f(x)$ incrementan a medida que $x$ se acerca más y más a 1.

$x$	0.99	0.999	0.9999	0.99999	1.0	1.00001	1.0001	1.001	1.01
$f(x)$	1E04	1E06	1E08	1E10	Indefinido	1E10	1E08	1E06	1E04

El siguiente gráfico muestra también esta tendencia. De hecho, $f(x)$ se puede determinar que es arbitrariamente grande por la selección derecha de $x$ cerca de 1. En este caso podemos decir que a medida que $x$ se acerca a 1 desde ambos lados, $f(x)$ se vuelve más y más grande, es decir, se acerca al infinito positivo, $\infty$ . Esta condición es escrita en notación de límites como: $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{(x-1)^2}=\infty$ . El límite no es un valor específico, pero tiene un valor indefinido.

Nota: La línea vertical en $x=1$ , se conoce como asíntota vertical , y representa la recta a la que $f(x)$ se acerca desde la izquierda y derecha a medida que $x$ se acerca a 1.

b. Nota que mientras los valores de $x$ se hacen más y más grandes, el gráfico se acerca más y más al eje $x$ En términos de valores funcionales, podemos decir que a medida que $x$ se hace más y más grande, $f(x)$ se acerca más y más a 0, un valor específico. Podemos decir que a medida que $x$ se acerca al infinito, $\infty$ , el límite de la función es 0. Esto se escribe así: $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x-1)^2}=0$ .

Nota: La recta $y=0$ se conoce como asíntota horizontal de la gráfica y representa la recta a la que $f(x)$ nunca alcanzará. Podemos decir también que $f(x)$ es asintótica a la recta $y=0$ .

Si consideramos el comportamiento de la función a medida que $x$ se acerca a $- \infty$ , vemos el mismo resultado: el límite de la función a medida que $x$ se acerca a $- \infty$ también 0, un valor específico. Esto se escribe así: $\lim_{x \to - \infty}f(x)=\lim_{x \to - \infty}\frac{1}{(x-1)^2}=0$ . Nota que la función tiene la misma asíntota: $y=0$ .

Debido a estamos considerando el límite de una función a medida que $x$ se acerca a $\infty$ y $- \infty$ , llamamos a esto estar enfocado en el comportamiento final de la función $f(x)$ .

Tanto en el ejemplo A como en el ejemplo B mencionados anteriormente, vimos en el valor de $f(x)$ a medida que $x$ se acercaba a un valor específico desde ambos lados y en cada ejemplo el valor era el mismo desde cualquier dirección.

Un límite que es evaluado a medida que $x$ se acerca al valor $x=a$ desde solo un lado, izquierda o derecha, se conoce como límite de un lado , y es representado por la siguiente notación:

Notación de un Límite de un Lado

$\text{Left sided}:& \lim_{x \to a^-}f(x)=L^- \\\text{Right sided}: & \lim_{x \to a^+}f(x)=L^+$

Cuando los límites de un lado izquierdo o derecho son evaluados a medida que $x$ se acerca a, $a$ , y $L^-=L^+=L$ , solo en ese momento escribimos $\lim_{x \to a}f(x)=L$ . El límite $\lim_{x \to a}f(x)=L$ se llama límite de dos lados . Si $L^- \ne L^+$ , decimos que $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Ejemplo C

Identifica el límite de la función $f(x)=\frac{|x|}{x}=\begin{cases} 1, x > 0 \\ -1, x < 0 \end{cases}$ a medida que $x$ se acerca a 0. La gráfica de la función se muestra a continuación.

Solución:

A medida que $x$ se acerca a 0 desde la izquierda, $f(x)$ se acerca a -1: $\lim_{x \to 0^+}\frac{|x|}{x}=-1$ . Por otro lado, a medida que $x$ se acerca a 0 desde la derecha, $f(x)$ se acerca a 1: $\lim_{x \to 0^-}\frac{|x|}{x}=1$ . Como los límites de dos lados no son los mismos, el límite de la función, el límite de dos lados $\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ , no existe.

Nota que para esta función, el valor $f(0)$ no está definido.

En resumen, la relación entre el límite de una función (límite de dos lados) y los límites de un lado es:

Condiciones para que un Límite Exista

(La relación entre límites de un lado y límites de dos lados)

Para que exista el límite de $L$ de una función, ambos límites de un lado deben existir en y deben tener el mismo valor.

Matemáticamente: $\lim_{x \to x_0}f(x)=L$ si y solo si $\lim_{x \to x^-_0}f(x)=L$ y $\lim_{x \to x^+_0}f(x)=L$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recordarás la pregunta al comienzo de la lección sobre la distancia involucrada en un extraño recorrido hacia una pared:

“Si empiezas a 4 pies de distancia de una pared y te acercas a la pared acortando la distancia a la mitad en cada paso, ¿cuántos pasos se requerirán y cuánta distancia recorrerás, antes de tocar la pared?”

Lógicamente, sabemos que solo hay una diferencia total de 4 pies entre tú y la pared, así que no importa lo que hagas, no puedes caminar más de 4 pies; sin embargo, la distancia real que cubras y la cantidad de pasos que tomará, no pueden ser realmente definidos, ya que siempre habría la $\frac{1}{2}$ de la distancia restante. Técnicamente hablando, ¡podrías continuar el proceso por siempre sin realmente tocar la pared! Por supuesto, en la práctica, tu capacidad de moverte solo la $\frac{1}{2}$ de la distancia restante está limitada por tu talla, tu control muscular y tu precisión para medir, por lo que tocarías la pared antes de haber dado varios pasos.

Matemáticamente: $\lim_{n \to \infty}\left(4-\frac{4}{2^n} \right)=4$ donde $n$ es el número de pasos y estamos buscando el comportamiento final.

En otras palabras: “A medida que la distancia restante se acerca más y más a 0, la distancia total se acerca a 4”

Vocabulario

Un límite es un valor al cual la salida de una función nunca alcanza, pero progresa hacia adelante a medida que se evalúan entradas más grandes o más pequeñas.

Forma indeterminada

Una asíntota es una recta que representa un límite en un gráfico, demostrando visualmente el valor que no puede ser alcanzado por la salida.

Una asíntota vertical es una recta vertical que es una asíntota en el valor que resulta en el denominador de una función teniendo un valor de 0 y por lo tanto la función es indefinida.

Una asíntota horizontal es una recta horizontal que es una asíntota de una función.

Comportamiento final es una descripción de la tendencia de una función a medida que los valores de entrada se vuelven más grandes o más pequeños, representados como los ‘finales’ de una función graficada.

Un límite de un lado es un límite tomado a medida que una variable independiente se acerca a un valor específico desde una dirección (un lado).

Un límite de dos lados es el nombre que se da cuando ambos límites de un lado que van hacia un valor específico se cruzan en el mismo resultado.

Práctica Orientada

Describe cada uno de los siguientes casos y haz un gráfico de cada función con las propiedades dadas:

$\lim_{x \to \infty}f(x)=2$
$\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$
$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\infty$
$\lim_{x \to 4}f(x)=- \infty$
$\lim_{x \to 4}f(x)=3$

Respuestas:

Hay un número de posibles gráficos para cada uno de los casos anteriores, se ofrece un ejemplo de cada uno a continuación.

1. Esto se lee: “El límite de $f(x)$ a medida ques $x$ se acerca al infinito es 2 .” En otras palabras, a medida que $x$ se hace más grande, $f(x)$ o $y$ se acercan infinitamente a 2.

2. Esto se lee: “El límite de $f(x)$ a medida que $x$ se aproxima al infinito negativo 0 .” En otras palabras, a medida que $x$ se vuelve masivamente negativo, $f(x)$ o $y$ se acercan infinitamente a 0.

3. Esto se lee: “El límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a cero desde la dirección positiva es infinito." En otras palabras, a medida que $x$ se acerca desde la derecha del gráfico y se acerca infinitamente a cero, $f(x)$ o $y$ crecen infinitamente.

4. Esto se lee: “El límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a 4 es infinito negativo .” En otras palabras, a medida que $x$ se acerca infinitamente a 4, $f(x)$ o $y$ se vuelven infinitamente negativos.

5. Esto se lee: “El límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a 4 i es 3 .” En otras palabras, a medida que $x$ se acerca infinitamente a 4, $f(x)$ o $y$ se acercan infinitamente a 3. Esta puede ser una línea recta, a medida que $y$ se acerca a 3 cuando 4 se acerca a 4 desde cualquier dirección.

Práctica

1. Define los términos asíntota horizontal y asíntota vertical.

2. Explica la diferencia entre $\lim_{x \to -6}f(x)=\infty$ y $\lim_{x \to \infty}f(x)=-6$

3. Explica qué significa $\lim_{x \to \infty}f(x)=200$

4. Explica qué significa $\lim_{x \to 175}f(x)=175$

Evalúa los siguientes límites para determinar si existen. Si un límite no existe, explica por qué.

5. $\lim_{t \to \infty}\frac{3t^2-7t}{t-8}$

6. $\lim_{t \to \infty}3$

7. $\lim_{t \to \infty}(t^2-t^4)$

8. $\lim_{x \to \infty}x+\sqrt{x^2+2x}$

9. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función: $h(g)=\frac{5g^2-7g+9}{g^2-2g-3}$

Dado: $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x^2-2x-8}$ desarrolla lo siguiente:

10. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales. Determina el comportamiento de $f$ cerca de la asíntota vertical.

11. Encuentra las raíces, el intercepto, $y$ y los “espacioes en blanco” en el gráfico.

Determina $\lim_{t \to \infty}\frac{1}{t^n}$ si:

12. $n > 0$

13. $n < 0$

14. $n=0$

Digamos que $G \& H$ son polinomios. Encuentra $\lim_{x \to \infty}\frac{G(x)}{H(x)}$ si:

15. El grado de $G$ es menor que el grado de $H$

16. El grado de $G$ es mayor que el grado de $H$

17. El grado de $G$ es el mismo que el grado de $H$

18. Una piscina contiene 8000 L de agua. Se agrega un aditivo que contiene 30 g de sal por litro de agua a una tasa de 25 L por minuto.

Demuestra que la concentración de sal después de $t$ minutos en gramos por litro es: $C(t)=\frac{(t)30g \cdot 25}{8000l+25(t)l}$
¿Qué le sucede a la concentración a medida que el tiempo aumenta a $\infty$ ? Físicamente, ¿Por qué tiene sentido?

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