Límites de un Lado

Objetivos

En esta Sección, seguirás trabajando con los límites de un lado que ya vimos en la sección anterior.

Concepto

Tuscany y Sophia estaban haciendo excursionismo. Mientras seguían el sendero hacia una colina, descubrieron que había ocurrido un derrumbe durante la última tormenta. El sendero se había destruido por un espacio de cerca de 15 pies en frente de ellos, pero cerca de 10 pies más adelante, el camino seguía hasta la cima de la colina.

¿Cómo se puede explicar esta situación con límites de un lado?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=3iZUK15aPE0 - James Sousa: Límites de un lado

Orientación

Continuamos con la exploración de límites de un lado. Recuerda la definición que usamos:

Límites de uno y de dos Lados

Un límite que es evaluado a medida que $x$ se acerca al valor $x=a$ desde solo un lado, izquierda o derecha, se conoce como límite de un lado , y se representa por la siguiente notación:

$\text{Left sided} : & \lim_{x \to a^-} f(x) = L^- \\\text{Right sided} : & \lim_{x \to a^+} f(x) = L^+$

Cuando se evalúan tanto el límite del lado izquierdo como el límite del lado derecho a medida que $x$ se acerca a, $a$ , y $L^- = L^+ = L$ , solo entonces escribimos $\lim \limits_{x \to a} f(x) = L$ . Este límite $\lim \limits_{x \to a} f(x) = L$ se denomina como límite de dos lados . Si $L^- \ne L^+$ , decimos que $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ no existe.

Las funciones que exploramos en esta lección pueden tener los mismos o diferentes límites para cada “lado” del valor $x$ que se evalúa. Para evaluar estas funciones, debemos hacerlo con cada “lado” por separado: primero, evaluamos lo que ocurre a medida que $x$ se acerca desde la izquierda (los valores de $x$ aumentan); luego, evaluamos lo que ocurre a medida que $x$ se acerca desde la derecha (los valores de $x$ disminuyen). Cuando el valor de $f(x)$ no se acerca mucho a ciertos valores individuales $L$ mientras $x \to x_0$ decimos que el límite de la función a medida que $x$ se acerca a $x_0$ no existe. Podemos establecer los límites para cada “lado” de $x_0$ , pero la función completa tendrá solo un límite si es el mismo para ambos lados.

Ejemplo A

Considera la función $f(x)$ graficada en la siguiente figura y encuentra:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$
$\lim_{x \to 2^+} f(x)$
$\lim_{x \to 2} f(x)$
$f(2)$

Solución:

Del gráfico, podemos ver que, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -2$ .
Podemos ver también que $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$ .
Como los límites de ambos lados no son iguales (no se acercan a ningún valor individual $L$ ), el límite no existe. Por lo tanto $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existe.
$f(2)=1$ .

Ejemplo B

Encuentra $\lim_{x \to 3} f(x)$ para la función graficada a continuación. Asume unidades de valor 1 para cada unidad en los ejes.

Solución:

Inspeccionando, vemos que a medida que nos acercamos al $x=3$ desde la izquierda, hacemos lo mismo en lo que parece ser una porción de la recta horizonta $y=2$ , así el límite del lado izquierdo está dado como: $\lim_{x \to 3^-} f(x) =2$ .

Vemos que a medida que nos acercamos desde la derecha al valor $x=3$ hacemos lo mismo en un segmento de la recta teniendo una pendiente positiva y el límite de la izquierda se puede escribir así: $\lim_{x \to 3^+} f(x) =2$ .

Debido a que los límites de ambos lados tienen el mismo valor de 2, podemos decir que: $\lim_{x \to 3} f(x) =2$ .

Ejemplo C

Encuentra el límite $\lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x^2+x-6}$ .

Solución:

El gráfico de $f(x)$ se muestra a continuación.

Al inspeccionar el gráfico podemos ver que alrededor de $x=2$ la función no se acerca a un valor en particular.

A medida que $x$ se acerca a 2 desde la izquierda (esto es, para $x<2$ ), los valores de $f(x)$ cerca de $x=2$ todos se encuentran en el cuarto cuadrante y disminuyen a números negativos grandes: $\lim \limits_{x \to 2^-} \frac{x+3}{x^2+x-6} = -\infty$

A medida que $x$ se acerca a 2 desde la derecha (esto es, para $x>2$ ), los valores de $f(x)$ cerca de $x=2$ todos se encuentran en el primer cuadrante y aumentan rápidamente a números positivos grandes: $\lim \limits_{x \to 2^+} \frac{x+3}{x^2+x-6} = \infty$

Si calculamos numéricamente valores de $f(x)$ en el otro lado de y muy cerca de $x=2$ , como se muestra en la siguiente tabla, podemos ver que los límites de un lado son diferentes.

$x$	1.999	1.9999	2.0000	2.001	2.0001
$f(x)$	-1000	-10000	ERROR	10000	1000

Podemos escribir: $\lim \limits_{x \to 2^-} \frac{x+3}{x^2+x-6} = -\infty$ y $\lim \limits_{x \to 2^+} \frac{x+3}{x^2+x-6} = \infty$ .

Para este ejemplo, decimos que $\lim \limits_{x \to 2} \frac{x+3}{x^2+x-6}$ no existe.

Análisis del Problema de la Sección

El camino de Tuscany y Sophia podría ser examinado como una función discontinua de elevación basada en la distancia recorrida durante el camino. Por ejemplo, si Tuscany y Sophia hubieran recorrido 500 yardas durante el camino antes de encontrar el derrumbe, entonces el límite de la función desde el “lado del punto de partida” sería la elevación en el camino cortado que encontraron. La función sería entonces indefinida por las siguientes 5 yardas más o menos (ya que el camino no existe) y retomaría en las 506 yardas, donde la elevación sería de 10 pies de altura. Si Sayber bajara por el camino hacia Tuscany y Sophia, desde su punto de vista el “límite” de elevación sería 10 pies más grande y sería la elevación más baja que su lado de la función alcanzaría.

Vocabulario

Un límite de un lado es un límite que solo se aplica a medida que el límite se acerca desde un lado específico.

Un límite de dos lados , o límite, tiene el mismo valor desde ambas direcciones.

Práctica Orientada

Para la función $f(x) = \frac{6x(x-2)}{x-1}$ , graficada a continuación, encuentra los límites de ambos lados en:

el valor $x=1$
el valor $x=3$

Haz una afirmación sobre la existencia del límite de dos lados.

Soluciones:

a. La revisión del gráfico indica que: $\lim \limits_{x \to 1^-} \frac{6x(x-2)}{x-1} = \infty$ y $\lim \limits_{x \to 1^+} \frac{6x(x-2)}{x-1} = -\infty$ .

Esto es respaldado por la siguiente tabla de valores.

$x$	0.999	0.9999	1.0000	1.0001	1.001
$f(x)$	6000	60000	ERROR	-60000	-6000

Vemos que los límites de dos lados no son iguales y, por lo tanto, el límite (de dos lados) de $f(x)$ no existe.

b. La revisión del gráfico indica que: $\lim \limits_{x \to 3^-} \frac{6x(x-2)}{x-1} = 9$ y $\lim \limits_{x \to 3^+} \frac{6x(x-2)}{x-1} = 9$ .

Esto es respaldado por la siguiente tabla de valores.

$x$	2.999	2.9999	3.0000	3.0001	3.001
$f(x)$	8.992	8.9992	9.0000	9.0007	9.007

Vemos que los límites se acercan al mismo valor de 9 y, por lo tanto, el límite (de dos lados) de $f(x)$ no existe. Podemos escribir: $\lim \limits_{x \to 3} \frac{6x(x-2)}{x-1} = 9$ .

Práctica

Identifica el límite, basado en cada gráfico.

$\lim_{x \to -3^-}$
$\lim_{x \to 2^+}$
$\lim_{x \to -1^+}$ y $\lim_{x \to -1^-}$
$\lim_{x \to -1}$
$\lim_{x \to -2^-}$ y $\lim_{x \to 5^+}$

Identifica el límite basado en la ecuación:

$\lim_{x \to 2^+} \frac{-x^2-2x+8}{x-2}=$
$g(x) = \begin{cases} 4; \ x=-3 \\ 1; \ x \ne -3\end{cases}$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2 + 4x}{x}=$
$g(x) = \begin{cases} -5; \ x \ne -1 \\-1; \ x = -1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{4x^2 -x-3}{x-1}=$
$f(x) = \begin{cases} 4; \ x \ge 3 \\x+1; \ x < 3 \end{cases}$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 -4x}{x}=$
$h(x) = \begin{cases} 4x+4; \ x \ne 2 \\1; \ x = 2 \end{cases}$
$\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2-7x-2}{x-2}=$
$g(x) = \begin{cases} x-5; \ x =-2 \\4x+1; \ x \ne -2 \end{cases}$
$g(x) = \begin{cases} -3; \ x \ne 3 \\-9; \ x = 3 \end{cases}$
$\lim_{x \to -5^-} \frac{-3x^2-13x+10}{x+5}=$
$f(x) = \begin{cases} x; \ x = 2 \\3x-3; \ x \ne 2 \end{cases}$

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