Propiedades de los Límites

Objetivos

En esta sección, aprenderás algunas propiedades básicas de los límites que se pueden aplicar a funciones “complejas” hechas a partir de operaciones aritméticas sobre otras funciones.

Concepto

En las secciones anteriores, la idea de un límite de una función fue introducida y algunos límites eran calculados usando métodos numéricos y gráficos. Esta sección comenzará a introducir algunas reglas que se pueden usar para evaluar límites de funciones. Para motivar la introducción de algunas reglas básicas, ve si puedes resolver el siguiente problema antes del término de la presentación de esta sección: Encuentra $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{x}$ .

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Como introducción para encontrar límites, mira Math Video Tutorials by James Sousa, Introduction to Limits (8:46)

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Para más ejemplos de cómo encontrar límites de funciones, mira Math Video Tutorials by James Sousa, Determining the Limits (8:46)

Orientación

Empecemos con algunas observaciones sobre los límites de funciones simples. Considera los siguientes problemas de límites: $\lim_{x \to 2} 5$ y $\lim_{x \to 4} x$ .

Notamos que cada una de estas funciones está definida por todos los números reales. Si aplicamos nuestra intuición para encontrar los límites podemos concluir correctamente que: $\lim_{x \to 2} 5=5$ y $\lim_{x \to 4} x=4$ .

Los resultados anteriores pueden ser resumidos en las siguientes reglas de límites:

Reglas Básicas de Límites

$\lim_{x \to a} c=c$
$\lim_{x \to a} x=a$

Muchas funciones se pueden expresar como las sumas, diferencias, productos, cocientes, potencias y raíces de otras funciones más simples. Las siguientes reglas son útiles al momento de evaluar límites:

Reglas Básicas de Límites

Si $\lim_{x \to a} f(x)$ y $\lim_{x \to a} g(x)$ ambos existen, entonces

$\lim_{x \to a}[cf(x)]=c \lim_{x \to a} f(x)$ donde $c$ es un número real,
$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$ ,
$\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)]=\lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ ,
$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ siempre que $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0.$
$\lim_{x \to a}[f(x)]^n=[\lim_{x \to a} f(x)]^n$ donde $n$ es un número real
$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$ , donde $n$ es un entero impar o $n$ entero positivo par $\lim_{x \to a} f(x)>0.$

Conocer estas reglas permite la evaluación de un amplio rango de funciones.

Ejemplo A

¿Qué es $\lim_{x \to 2}(3x+7)$ ?

Solución:

Basado en las reglas anteriores, el límite puede ser evaluado en los siguientes pasos:

$\lim_{x \to 2}(3x+7)&= \lim_{x \to 2}(3x)+ \lim_{x \to 2} 7 \\&= 3 \cdot \lim_{x \to 2}(x)+7 \\&= 3 \cdot 2+7 \\&= 13$

Por lo tanto: $\lim_{x \to 2}(3x+7)=13$

Nota que la aplicación de las reglas básicas de límites da como resultado, en este caso, en un valor de límite igual a la sustitución directa de $x=2$ en la función.

Ejemplo B

Evalúa $\lim_{x \to 2}\left ( x^3 \cdot \sqrt{2 x} \right )$ .

Solución:

Basado en las reglas anteriores, el límite puede ser evaluado en los siguientes pasos:

$\lim_{x \to 2} \left ( x^3 \cdot \sqrt{2x} \right ) &= \lim_{x \to 2}x^3 \cdot \lim_{x \to 2}\sqrt{2x} \\&= (\lim_{x \to 2}x)^3 \cdot \sqrt{\lim_{x \to 2}2 x} \\&= (2)^3 \cdot \sqrt{4} \\&= 16$

Por lo tanto: $\lim_{x \to 2}\left ( x^3 \cdot \sqrt{2x} \right )=16$

De nuevo, nota que la aplicación de las reglas básicas de límites da como resultado, en este caso, en un valor de límite igual a la sustitución directa de $x=2$ en la función.

Ejemplo C

Encuentra el siguiente límite si este existe: $\lim_{x \to -4} \frac{2 x^2}{\sqrt{4-x}}$

Solución:

Apliquemos la regla básica de cocientes para evaluar este límite.

$\lim_{x \to -4} \frac{2 x^2}{\sqrt{4-x}}&= \frac{\lim\limits_{x \to -4} 2 x^2}{\lim\limits_{x \to -4} \sqrt{4-x}} \\&= \frac{32}{\sqrt{8}} \\&= 8\sqrt{2}$

Por lo tanto: $\lim_{x \to -4} \frac{2 x^2}{\sqrt{4-x}}=8\sqrt{2}$

Nuevamente, el límite resulta ser el mismo al usar la sustitución directa de $x=-4$ la función.

Análisis del Problema de la Sección

¿Fuiste capaz de determinar la solución del problema presentado al comienzo de la Sección?

El problema es: Encuentra $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{x}$ . Este es un caso donde usar la sustitución directa para evaluar el límite nos da como resultado la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ . Sin embargo, reduciendo la fracción y luego aplicando las reglas básicas de límites, nos permitirá evaluar el límite:

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{x}=\lim_{x \to 0}(x+5)=5.$

Práctica Orientada

Evalúa $\lim_{x \to 0}f(x)$ donde $f(x)$ es la función racional $f(x)=\frac{x^3+3 x^2-10x-24}{x^2+1}.$

Solución:

$\lim_{x \to 0}f(x)&= \lim_{x \to 0} \left [ \frac{x^3+3 x^2-10x-24}{x^2+1}\right ] \\&= \left [ \frac{\lim\limits_{x \to 0}(x^3+3 x^2-10x-24)}{\lim\limits_{x \to 0}(x^2+1)}\right ] \\&= \left [ \frac{\lim\limits_{x \to 0} x^3+ \lim\limits_{x \to 0} 3 x^2- \lim\limits_{x \to 0} 10x- \lim\limits_{x \to 0} 24}{\lim\limits_{x \to 0} x^2+ \lim\limits_{x \to 0}1}\right ] \\\lim\limits_{x \to 0}f(x)&= \lim\limits_{x \to 0}\left [ \frac{x^3+3 x^2-10x-24}{x^2+1}\right ] \\&= \left [ \frac{0+0-0-24}{0+1}\right ] \\&= -24$

Práctica

¿Cuál es límite de $3x^2+4x-9$ a medida que $x \rightarrow -2$ ?
¿Cuál es límite de $5^x \cdot \cos(\pi x)$ a medida que $x \rightarrow 0$ ?
¿Cuál es límite de $5^x+ \cos(\pi x)$ a medida que $x \rightarrow 1$ ?
Si el límite de $f(x)$ mientras $x \rightarrow 1$ es cero, ¿el límite de $f(x) g(x)$ a medida que $x \rightarrow 1$ es siempre igual a cero, para todos $g(x)$ ?
¿Qué es $\lim_{x \to 3}\frac{x^2+7x+12}{x+3}$ ?
¿Qué es $\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3+4x^2+3}$
Encuentra $\lim_{x \to -2}(x+4)^3(2x-1)^2$
$\lim_{x \to -7}\frac{x^2+7x+12}{x+7}$
Si el límite de $f(x)$ a medida que $x \rightarrow 5$ es uno y el límite de $g(x)$ a medida que $x \rightarrow 5$ es dos, y tanto $f(x)$ como $g(x)$ son funciones continuas, ¿es necesariamente verdad que $f(5) g(5)=2$ ?
Si el límite de $f(x)$ a medida que $x \rightarrow 0$ es 5, y $g(x)=x^2+x$ , ¿cuál es el límite de $g(f(x))$ a medida que $x \rightarrow 0$ ?
¿Cuál es límite de $5 e^x+2 \pi^x + \frac{x+2}{\cos(x)}$ a media que $x \rightarrow 0$ ?
Digamos que $h(x)$ es una función con un límite finito definido en todas partes. ¿Cuál es el límite de $\frac{3 \sin(x)h(x)}{x^9+8x^5 +10x^4 +9x+1}+e^x (\cos (h(x)\sin(x+2 \pi)))$ a medida que $x \rightarrow \pi$ ?
Digamos que $p(x)=x^3+x^2+x+1$ . ¿Cuál debe ser el límite de $f(x)$ a medida que $x \rightarrow 0$ si $\lim p(f(x))=0$ a medida que $x \rightarrow 0$ ?
¿Qué límites de $\frac{\sin(x)}{x}$ no puedes obtener con la regla de cocientes?
Demuestra que $\lim f(x)^5$ es igual a $(\lim f(x))^5$ donde sea que un límite exista sin usar la regla de potencias. ¿Este método es suficiente para probar la regla de potencias?

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