Límites que Involucran Infinidad

Objetivos

En esta sección, aprenderás los diferentes significados de la frase “límites que involucran infinidad”, y por qué las distinciones son importantes.

Concepto

Algunas funciones aumentan sin parar (se hacen más y más grandes) a medida que el valor absoluto de la variable independiente se hace más y más grande. Algunas funciones crecen sin límites a medida que la variable independiente va hacia un valor específico. ¿Puedes pensar en un ejemplo de una función que demuestre lo que se acaba de plantear?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=lMJ_-rq71l4 - James Sousa: Límites en la Infinidad.

Orientación

La sección de “límites que involucran infinidad” debe ser discutido en dos contextos:

1. Primero, podemos discutir el valor(es) que una función presenta a medida que aumentamos $x$ sin límites. En este caso, hablamos del límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a $\infty$ , y escribimos $\lim_{x \to \infty}f(x)$ . Podemos referirnos de manera similar al límite de $f(x)$ a medida que $x$ se acerca a $-\infty$ y escribimos $\lim_{x \to -\infty}f(x)$ . En este contexto, discutimos el comportamiento final de la función. La función puede presentar un valor específico final, por ejemplo 0 o aumentan sin parar.

2. Segundo, podemos discutir la situación en la que los valores de una función aumenta sin parar a medida que el valor de $x$ se acerca a un valor específico. En este caso, hablamos del límite de $f(x)$ acercándose a $\infty$ o $-\infty$ a medida que $x$ se acerca al valor específico, por ejemplo, $\lim_{x \to a}f(x)=\infty$ .

Ejemplo A

Para la función $f(x)=x^2+2x-3$ , si tenemos $\lim_{x \to \infty}f(x)$ , ¿Cuál es el comportamiento final de $f(x)$ ?

Solución:

A medida que $x$ va hacia $\infty$ o $-\infty$ , $f(x)$ aumenta sin parar y $f(x)\approx x^2$ , como el valor $x^2$ crece más rápido que el valor $2x$ Si esto no es obvio de inmediato, evalúa la función para $x = 1,000,000$ , y ¡rápidamente tendrás una idea! La cuerva $f(x)\approx x^2$ se considera como una asíntota de $f(x)$ , esto es, la curva a la que $f(x)$ tiende a ir en valores absolutos grandes de $x$ .

Por lo tanto, ambos $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$ y $\lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty$ , y podemos usar la función $y = x^2$ para describir el comportamiento final de $f(x)$ .

Ejemplo B

Encuentra $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+x-1}{x^6-x^5+3x^4-2x+1}$ .

Solución:

Nota que no podemos aplicar inmediatamente la Propiedad de Cocientes porque tenemos la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . Sin embargo, si dividimos primero el numerador y el denominador por $x^6$ , tendremos una función de la forma

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{2x^3}{x^6}-\frac{x^2}{x^6}+\frac{x}{x^6}-\frac{1}{x^6}}{\frac{x^6}{x^6}-\frac{x^5}{x^6}+\frac{3x^4}{x^6}-\frac{2x}{x^6}+\frac{1}{x^6}}=\frac{\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}-\frac{1}{x^6}}{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{x^6}}.$

Observamos que los límites $\lim_{x \to \infty}f(x)$ y $\lim_{x \to \infty}g(x)$ ambos existen. En particular, $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ y $\lim_{x \to \infty}g(x)=1$ . Así la Propiedad de Cocientes ahora puede ser aplicada y tenemos

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+x-1}{x^6-x^5+3x^4-2x+1}=\frac{0}{1}=0.$

Ejemplo C

Para la función racional $f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}$ , ¿existe $\lim_{x \to 1}f(x)$ ?

Solución:

Tenemos la situación en la cual el gráfico crece sin límites en ambos lados de $x=1$ , y en ambas direcciones, positiva y negativa. Hay una asíntota vertical en $x=1$ . (Hay otra en $x=-1$ .)

En este ejemplo notamos que $\lim_{x \to 1}f(x)$ no existe, pero los límites de un lado son:

$\lim_{x \to 1^-}f(x)=-\infty$ y $\lim_{x \to 1^-}f(x)=+\infty$ .

Resumen de la Sección

¿Cuál es tu ejemplo de una función que crece sin límites a medida que $x$ se dirige hacia la infinidad positiva o negativa y crece sin límites en un valor específico de $x$ ? Hay muchos ejemplos posibles de funciones racionales que hacen esto. Solo considera un caso donde el grado del numerador es mayor que el denominador y el denominador va hacia 0 por un valor específico de $x$ .

Por ejemplo: $f(x)=\frac{x^4}{x-2}$ , tiene un comportamiento final asintótico $f(x)\approx x^3$ , y una asíntota vertical en $x=2$ .

Vocabulario

Una función infinita es una cuya salida se acerca a la infinidad positiva o negativa a medida que se calculan valores muy pequeños o muy grandes para la variable de entrada (usualmente “ $x$ ”).

Una asíntota es una recta (o curva) cuyos valores de la función se pueden acercar, pero nunca alcanzarse.

Práctica Orientada

Describe el comportamiento final de cada gráfico. Es decir, determina si la función tiene un límite $L$ , si el límite es infinito o si el límite no existe.

a. $y=x^2$

b. $y=2(-1)^x$

c. $y=1-\frac{1}{|x|}$

Solución:

a. $y=x^2$

A medida que $x$ se acerca a $+\infty$ , $x^2$ también se acerca a $+\infty$ . A medida $x$ se acerca a $-\infty$ , $x^2$ se acerca a $+\infty$ . Por lo tanto $\lim_{x \to \infty}x^2=\lim_{x \to -\infty}x^2=\infty$ .

b. $y=2(-1)^x$

Esta función es difícil de entender sin realizar un gráfico. La tabla muestra que la función solo toma dos valores: 2 y -2, y no está definida en los valores no enteros de . A medida que $x$ . $x$ se acerca a $+\infty$ or $-\infty$ , los valores de la función alternan entre 2 y -2. Por lo tanto, el límite no existe.

c. $y=1-\frac{1}{|x|}$

Si miras la tabla de esta función, la cual tiene valores positivos y negativos de $x$ , puedes ver que a medida que $x$ se acerca a $+\infty$ o $-\infty$ , los valores de la función se acercan a 1.

Por lo tanto $\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{1}{|x|}\right)=\lim_{x \to -\infty}\left(1-\frac{1}{|x|}\right)=1$ .

Podemos también determinar este límite de manera analítica. Para valores grandes de $x$ , $|x|$ es también grande y, por lo tanto $\frac{1}{|x|}$ es pequeño (como dividir 1 por un número grande da como resultado un número muy pequeño). Entonces, para valores grandes de $x$ , $1-\frac{1}{|x|}\approx 1-0=1$ . Podemos argumentar de la misma forma para x acercándose $-\infty$ .

Práctica

1. Evalúa $\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x-7}$

2. Evalúa $\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+2x}{x-3}$

3. Evalúa $\lim_{x \to \infty}{x^3}$

4. Describe el comportamiento final de $y=2x^2+3x-7$

5. Evalúa $-2x^3-5x^2+8x$

En los problemas 6 - 12, encuentra los límites si estos existen.

6. $\lim_{x \to 3^+}\frac{(x+2)^2}{(x-2)^2-1}$

7. $\lim_{x \to \infty}\frac{(x+2)^2}{(x-2)^2-1}$

8. $\lim_{x \to 1^+}\frac{(x+2)^2}{(x-2)^2-1}$

9. $\lim_{x \to \infty}\frac{2x-1}{x+1}$

10. $\lim_{x \to -\infty}\frac{x^5+3x^4+1}{x^3-1}$

11. $\lim_{x \to \infty}\frac{3x^4-2x^2+3x+1}{2x^4-2x^2+x-3}$

12. $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-x+3}{x^5-2x^3+2x-3}$

En los problemas 13 - 15, analiza la función dada e identifica todas las asíntotas y el comportamiento final del gráfico.

13. $f(x)=\frac{(x+4)^2}{(x-4)^2-1}$

14. $f(x)=-3x^3-x^2+2x+2$

15. $f(x)=\frac{2x^2-8}{x+2}$

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