Límites de Funciones Polinómicas y Racionales

Objetivos

En esta sección, aprenderás a encontrar los límites de funciones polinómicas y racionales.

Concepto

Encontrar el límite de una función polinómicas es relativamente fácil. ¿Puedes explicar por qué? Encontrar el límite de una función racional también puede ser fácil, excepto bajo unas pocas condiciones particulares. ¿Conoces las condiciones que pueden hacer que encontrar el límite de una función racional sea algo difícil?

Mira esto

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http://www.youtube.com/watch?v=tRkyiMuaoic - James Sousa: Ex: Límites en la Infinidad de una Función Polinómica

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http://www.youtube.com/watch?v=gRk24f3SUWQ - James Sousa: Ex 3: Determina Límites de manera Analítica por medio de la Factorización

Puedes encontrar videos adicionales de James Sousa sobre límites de funciones racionales en:

a. Ex: Limits at Infinity of a Rational Fu nction (DNE)

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b. Ex: Limits at Infinity of a Rational Fu nction (Zero)

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c. Ex: Limits at Infinity of Rational Function (Ratio of Leading Coefficients)

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Orientación

Recuerda que una función $f(x)$ es conocida como función polinómica solo si cumple con:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0$

Para todas las $x$ , donde $n$ es un entero no negativo y $a_0, a_1,a_2, \ldots, a_n$ son coeficientes constantes.

Ejemplo A

Usa las propiedades de límites presentadas en la Sección anterior para encontrar los siguientes límites:

$\lim_{x \to 20} (x^2-3x+4)$ , es decir, el límite a medida que $x$ se acerca a un valor particular.
$\lim_{x \to \infty} (x^2-3x+4)$ , es decir, el límite a medida que $x$ se acerca a la infinidad. Esto se puede ver en el comportamiento final.

Solución:

La función es un polinomio, un trinomio cuadrático que está graficado a continuación y puede ser tratado como la suma de tres funciones. Esto significa que podemos usar la regla “el límite de la suma es la suma de los límites” en la determinación del límite.

a. El polinomio puede ser tratado como la suma de las tres funciones. Esto significa que podemos usar la regla “el límite de la suma es la suma de los límites” en la determinación del límite.

$\lim_{x \to 20} (x^2-3x+4) & = \lim_{x \to 20} x^2 + \lim_{x \to 20} (-3x) + \lim_{x \to 20} 4\\& = ( \lim_{x \to 20} x )^2 -3 \lim_{x \to 20} x+4\\& = (20)^2 - 3(20)+4\\& = 344$

Así, $\lim_{x \to 20} (x^2-3x+4) = 344$ .

Nota que el valor del límite podría haber sido encontrado por medio de la sustitución directa de $x=1$ en la función polinómica.

b. El polinomio puede ser tratado como el producto de dos funciones. Esto significa que podemos usar la regla “el límite del producto de funciones es el producto de los límites de cada función” en la determinación del límite.

$\lim_{x \to \infty} (x^2-3x+4) & = \lim_{x \to \infty} x^2 \left (1+ \frac{-3x}{x^2} + \frac{4}{x^2} \right )\\& = \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot \lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac{-3x}{x^2} + \frac{4}{x^2} \right )\\& = \infty \cdot 1 \qquad \qquad \ldots \text{Note that the terms divided by }x^2 \text{ go to 0}.\\& = \infty$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} (x^2-3x+4) = \infty$ . Una evaluación similar muestra que $\lim_{x \to -\infty} (x^2-3x+4) = \infty$ . Este comportamiento representa el hecho de que el comportamiento final de polinomios avanza a medida que el término con mayor grado y valor crece sin límites.

Los resultados del ejemplo A se pueden generalizar con las siguientes reglas:

El límite de una Función Polinómica

Dada la función polinómica $f(x) =p(x)$ :

$\lim_{x \to a} f(x) = p(a)$ , para cualquier número real $a$ .
$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} a_nx^n \ \infty \text{ or } -\infty$ .

Ahora, consideremos los límites de funciones racionales. Una función racional es la razón de dos polinomios. En el caso de una variables individual, $x$ , una función se conoce como una función racional si y solo si esta puede ser escrita en la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_2x^2 + b_1x+b_0}$

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones polinómicas en $x$ y $Q(x)$ no es cero. El dominio de $f$ es el conjunto de todos los valores de $x$ para el cual el denominador $Q(x)$ no es cero.

El siguiente ejemplo evalúa una función racional en un valor específico y mira al comportamiento final de la función.

Ejemplo B

Usa las propiedades del cociente de límites presentado en la Sección anterior para encontrar los siguientes límites:

Encuentra $\lim_{x \to 10} \frac{x-4}{x-2}$ .
Encuentra $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x-2}$ .

Solución:

La función se muestra en el siguiente gráfico.

a. Notamos que el denominador de la función racional no es cero en el valor $x=10$ . La regla de cocientes puede entonces ser usada para comenzar la evaluación de la función de la siguiente manera:

$\lim_{x \to 10} \frac{x-4}{x-2} & = \frac{\lim\limits_{x \to 10} (x-4)}{\lim\limits_{x \to 10} (x-2)}\\& = \frac{\lim\limits_{x \to 10} (x) - \lim\limits_{x \to 10} (4)}{\lim\limits_{x \to 10} (x) - \lim\limits_{x \to 10} (2)}\\& = \frac{(10-4)}{(10-2)}\\& = \frac{3}{4}$

Por lo tanto $\lim_{x \to 10} \frac{x-4}{x-2} = \frac{3}{4}$ .

Nota que debido a que el denominador no es igual a 0 en $x=10$ , el límite podría haber sido encontrado por medio de la sustitución directa de $x=10$ en la función racional.

b. Los siguientes pasos se usan para evaluar el límite a medida que $x$ se acerca a la infinidad.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x-2} & = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x \left ( 1-\frac{4}{x} \right ) }{x \left ( 1-\frac{2}{x} \right )} \quad \ldots \text{Factor the out the highest degree variable}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{from numerator and denominator.}\\& = \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{4}{x} \right )}{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{2}{x} \right )} \quad \ \ \ldots \text{Use the quotient rule of limits.}\\& = \frac{1-0}{1-0}\\& = 1$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x-2}=1$ .

El ejemplo B ilustra la evaluación del límite de una función racional en un valor de $x$ para el cual el denominador no es igual a 0. A veces encontrar el límite de una función racional $f(x)$ en algún $x=a$ puede conllevar más trabajo que solo usar sustitución directa porque el denominador es igual a cero en $x=a$ . ¿Qué tal si el denominador es igual a 0?

Ejemplo C

Encuentra $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ .
Encuentra $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x-2}$ .

Solución:

a. Nota que la función aquí es indeterminada en $x = 2$ , para que la sustitución directa no funciona. Sin embargo, en este caso es posible eliminar el cero en el denominador factorizando el numerador y cancelando el factor $(x - 2)$ desde el numerador y el denominador.

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)} \quad \ldots \text{Factor the numerator.}\\& = \lim_{x \to 2} (x+2)\\& = 4$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4$ .

La factorización del numerador que se muestra a continuación, y luego la cancelación de cualquier factor común en el denominador, es una técnica común usada para encontrar los límites de funciones racionales en puntos donde el denominador es 0. Siempre comprueba para ver si la función se puede simplificar para eliminar el cero en el denominador, especialmente cancelando factores comunes que puedan eliminar una discontinuidad.

b. Vemos al comportamiento final de la función a medida que $x$ va hacia la infinidad como se muestra a continuación:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x-2} & = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2\left ( 1-\frac{4}{x^2} \right )}{x \left ( 1-\frac{2}{x} \right )} \qquad \quad \ldots \text{Factor the highest degree variable}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{in numerator and denominator.}\\& = \lim_{x \to \infty} \frac{x\left ( 1-\frac{4}{x^2} \right )}{ \left ( 1-\frac{2}{x} \right )}\\& = \lim_{x \to \infty} x \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\left ( 1-\frac{4}{x^2} \right )}{ \left ( 1-\frac{2}{x} \right )} \quad \ldots \text{Use limit of product rule}\\& = \infty \cdot 1\\& = \infty$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x-2} = \infty$ .

El comportamiento final a medida que $x$ va hacia $-\infty$ se puede determinar por un acercamiento similar y es encontrado para ser $-\infty$ .

Los ejemplos B y C son ejemplos específicos de las siguientes reglas de límites para funciones racionales.

Límites de una Función Racional

a. Para la función racional $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ y cualquier número real $a$ ,

$\lim_{x \to a} f(x) = \frac{p(a)}{q(a)} \text{ if } q(a) \ne 0.$

Si $q(a)=0$ , entonces la función puede o no puede tener un límite.

b. Para la función racional $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_2x^2 + b_1x+b_0}$ ,

$\lim_{x \to \pm \infty } f(x) = \left ( \frac{a_n}{b_m} \right ) \cdot \lim_{x \to \infty} x^{n-m} = \begin{cases} + \infty \text{ or } - \infty & \text{if } n>m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{if } n=m \\ 0 & \text{if } n < m .\end{cases}$

Análisis del Problema de la Sección

Encontrar el límite de una función polinómica es relativamente fácil debido a que este tipo de función se puede evaluar en cualquier valor de la variable independiente para que el límite en un valor específico pueda ser evaluado por medio de sustitución directa. El límite, a medida que la variable independiente va hacia $\pm \infty$ es solo $\pm \infty$ dependiendo si el grado del polinomio es par o impar.

Evaluar el límite de una función racional puede ser más difícil debido a que la sustitución directa puede dar como resultado una forma indefinida o indeterminada que requieres un enfoque diferente y el límite a medida que la variable independiente va hacia $\pm \infty$ depende de cual es más grande, el grado del numerador o del denominador del polinomio.

Vocabulario

Una función polinómica es una función definida por un polinomio.

Una función racional es cualquier función que pueda ser escrita como razón de dos.

Una función discontinua muestra quiebres u hoyos al momento de ser graficada.

Práctica Orientada

1. Encuentra $\lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{x^2+x-12}$ .

2. Encuentra $\lim_{x \to 1} \frac{-5x^2+x+4}{x-1}$ .

3. Encuentra $\lim_{x \to -2} \frac{-x^2+2x+8}{x+2}$ .

Soluciones:

1. El numerador y el denominador son ambos igual a cero en $x = 3$ , pero hay un factor común $x - 3$ que puede ser eliminado (es decir, podemos simplificar la función racional):

$\lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{x^2+x-12} & = \lim_{x \to 3} \frac{2(x-3)}{(x+4)(x-3)}\\& = \lim_{x \to 3} \frac{2}{x+4}\\& = \frac{2}{7}$

2. Para encontrar $\lim_{x \to 1} \frac{-5x^2+x+4}{x-1}$ .

$\frac{(-5x-4)(x-1)}{(x-1)}$ ..... Empieza por factorizar el numerador

Como tenemos $(x - 1)$ tanto en el numerador como en el denominador, sabemos que la función original es igual a solo $-5x-4$ excepto donde esta sea indefinida (1).

Por lo tanto, mientras más cerca pongamos 1, más cerca llegaremos al mismo valor, desde el lado + o - .

Para encontrar el valor, solo resuelve $-5x-4$ para $x=1$

$\therefore \lim_{x \to 1} \frac{-5x^2+x+4}{x-1} = -5 \cdot 1 - 4 \to -9$

3. Para encontrar $\lim_{x \to -2} \frac{-x^2+2x+8}{x+2}$ .

$\frac{(-x-4)(x+2)}{(x+2)}$ ..... Empieza por factorizar el numerador

Como tenemos $(x + 2)$ tanto en el numerador como en el denominador, sabemos que la función original es igual a solo $-x+4$ excepto donde esta sea indefinida (-2).

Por lo tanto, mientras más cerca lleguemos a sustituir -2, más cerca llegaremos a obtener el mismo valor de salida, desde el lado + o -.

Para encontrar el valor, solo resuelve $-x+4$ para $x=-2$

$\therefore \lim_{x \to -2} \frac{-x^2+2x+8}{x+2} = -(-2) + 4 \to 6$

Práctica

Resuelve los siguientes límites de funciones racionales.

$\lim_{x \to 1} \frac{-12x^2+12}{4x-4}$
$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{3}{x+3} - \frac{11}{9}}{2x-4}$
$\lim_{x \to \frac{-57}{56}} \frac{\frac{-5x-3}{2x+3}- \frac{13}{6}}{-56x-57}$
$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2-5x+2}{-x+2}$
$\lim_{x \to \frac{3}{4}} \frac{4x^2+5x-6}{4x-3}$
$\lim_{x \to 4} \frac{\frac{-3}{-2x+3}-\frac{3}{5}}{6x-24}$
$\lim_{x \to \frac{-3}{2}} \frac{\frac{-4x-3}{-2x+2} - \frac{5}{2}}{-2x-3}$
$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-8x+16}{x-4}$
$\lim_{x \to \frac{10}{39}} \frac{\frac{3x+3}{-3x+4} - \frac{7}{6}}{39x-10}$
$\lim_{x \to -4} \frac{-3x^2+7x-20}{-x-4}$
$\lim_{x \to -4} \frac{4x^2+14x-8}{x+4}$
$\lim_{x \to \frac{-18}{13}} \frac{\frac{-4x+1}{-3x+5} - \frac{5}{7}}{-13x-18}$
$\lim_{x \to -2} \frac{\frac{3}{x+4} - \frac{3}{2}}{-3x-6}$
$\lim_{x \to \frac{-3}{4}} \frac{\frac{-x+3}{4x+3}- \frac{11}{2}}{-4x-3}$
$\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{-8x^2-2x+1}{-4x+1}$
$\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{16x^2-16x+3}{-4x+1}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x}{x}$