Límites que Involucran Funciones Radicales

Objetivos

En esta sección, aprenderás varias formas de evaluar límites que involucran funciones radicales, tales como sustitución directa y transformaciones a formas indeterminadas o indefinidas.

Concepto

Hay muchos problemas que involucrarán tomar la raíz $n$ de una expresión variable, así que es natural que a veces haya una necesidad de encontrar el límite de una función que involucre expresiones radicales, usando raíces cuadradas o cúbicas u otras raíces. ¿Crees que encontrar el límite de una función que involucre radicales sea diferente a encontrar el límite de funciones polinómicas o racionales? ¿Puedes pensar en cualquier forma que los radicales puedan presentar problemas diferentes a los polinomios?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=5meojrrJM0U - James Sousa: Ex: Límites en la Infinidad de una Función que involucra un Raíz Cuadrada

Orientación

Siempre que sea posible, usa sustitución directa para ver si se puede evaluar un límite. Si no es posible, debemos buscar otros métodos para evaluar el límite.

Ejemplo A

Encuentra los siguientes límites para la función $f(x)=\sqrt{x}-3$ :

a. $\lim_{x \to 9} \sqrt{x}-3$

b. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}-3$

Solución:

a. Los siguientes pasos

$\lim_{x \to 9} \sqrt{x}-3 &= \lim_{x \to 9} \sqrt{x}-\lim_{x \to 9}3 \\\lim_{x \to 9} \sqrt{x} -3 &= \lim_{x \to 9} \sqrt{x} - \lim_{x \to 9}3\\&= \sqrt{9}-3\\&= 0$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 9} \sqrt{x}-3=0$ , el cual pudo haber sido determinado por la sustitución directa evaluando $f(x)$ en $x=9$ , es decir, por medio de sustitución directa.

b. Evaluar $f(x)$ en valores positivos de $x$ muestra que $f(x)$ aumenta sin parar. Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}-3=\infty$ .

En ambos casos, la sustitución directa puede ser usada para evaluar los límites.

Ejemplo B

Dado $g(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5}$ , encuentra lo siguiente:

a. $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5}$

b . $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5}$

Solución:

a. Primero notamos que deberíamos excluir $x=-\frac{5}{7}$ en cualquier evaluación. Usar sustitución directa para encontrar el límite da como resultado la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . Para transformar la expresión radical a una forma mejor, usa el hecho de que el valor de $x$ va hacia valores positivos cada vez más grandes. Esto permite lo siguiente:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2 \left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x \left(7+\frac{5}{x}\right)}\\\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 \left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x \left(7+\frac{5}{x}\right)}\\&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{|x| \sqrt{\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x \left(7+\frac{5}{x}\right)}\\&= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{\lim\limits_{x \to \infty} \left(7+\frac{5}{x}\right)}\\&= \frac{1}{7}$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5}=\frac{1}{7}$ .

b. la solución para evaluar el límite en la infinidad negativa es similar al enfoque anterior a excepción de que $x$ es siempre negativo.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 \left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x\left(7+\frac{5}{x}\right)}\\&= \lim_{x \to -\infty} \frac{|x| \sqrt{\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x\left(7+\frac{5}{x}\right)}\\&= \frac{\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{-\lim\limits_{x \to -\infty} \left(7+\frac{5}{x}\right)} \quad \ldots \text{Note the denominator has a - because} \ x<0 \\&= -\frac{1}{7}$

Por lo tanto, $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{7x+5}=-\frac{1}{7}$ .

Nuevamente, se utilizó un procedimiento similar para evaluar algunas de las funciones racionales en la sección anterior.

Ejemplo C

Dada la función $h(x)=\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$ , Encuentra

a. $\lim_{x \to 9} h(x)$

b. $\lim_{x \to \infty} h(x)$

c. $\lim_{x \to -\infty} h(x)$

Solución:

a. Usar sustitución directa para encontrar el límite da como resultado la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ .Para evaluar el límite, tenemos que transformar la expresión para eliminar la forma indeterminada. Esto se cumple usando la relación para la diferencia de cuadrados de números reales: $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ .

Entonces rescribimos y simplificamos la función como sigue:

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} &= \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)} \ \ldots \text{Use the difference of squares factoring to remove the 0 in the denominator.}\\&= \lim_{x \to 9} \frac{1}{(\sqrt{x}+3)} \\&= \frac{1}{\lim_{x \to 9} \left(\sqrt{9} +3\right)}\\&= \frac{1}{6}$

Entonces $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\frac{1}{6}$ .

b. A medida que $x$ aumenta hacia valores positivos más grandes, la función toma la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . La transformación anterior puede ser usada también para evaluar el límite (Enfoque 1), además de la técnica usada en la evaluación de funciones racionales (Enfoque 2).

$& \qquad \mathbf{Approach} \ 1 && \qquad \mathbf{Approach} \ 2\\\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} &&=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} \left(1-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}{x \left(1-\frac{9}{x}\right)}\\& =\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(\sqrt{x}+3)} && =\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\left(1-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}{\left(1-\frac{9}{x}\right)}\\& =\frac{1}{\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x}+3\right)} && =0 \cdot 1\\& =0 && =0$

Entonces $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=0$ .

c. La solución a este problema es que $\lim_{x \rightarrow -\infty} h(x)$ no existe porque el dominio de $h(x)$ no incluye a $x<0$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recordarás la pregunta al comienzo de la lección:

“¿Crees que encontrar el límite de una función que involucra radicales sería diferente a encontrar el límite de función racional o polinómica?

¿Puedes pensar en cualquier forma de que los radicales presenten problemas diferentes a los polinomios?”

Los ejemplos en esta sección muestran que algunos de los métodos para evaluar límites que involucran funciones polinómicas y racionales se pueden usar para encontrar límites de funciones radicales. El uso de sustitución directa es un método común. Transformar formas indeterminadas o indefinidas encontrando y eliminando factores en el numerador y denominador o factorizando y simplificando las potencias de mayor grado de las variables representa enfoques comunes.

Una de las diferencias más notables entre funciones polinómicas y radicales es que el dominio de polinomios puede incluir todos los valores reales de la variable independiente, pero el dominio de las funciones radicales no, por ejemplo, $\sqrt{x}$ , está restringido.

Vocabulario

Funciones radicales son funciones que contienen raíces $n$ de las expresiones variables.

Práctica Orientada

Encuentra $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ .

Solución:

Usar sustitución directa para encontrar el límite de la función da como resultado la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ . Para transformar la expresión radical a una forma mejor, haz lo siguiente:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}\right) && \ldots \text{Rationalize the numerator: multiply by}\\&= \lim_{x \to 0} \left(\frac{x+4-4}{x \cdot \sqrt{x+4}+2}\right) && \quad \text{the conjugate of the numerator.}\\&= \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{x \cdot \sqrt{x+4}+2}\right)\\&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\\&= \frac{1}{4}$

Por lo tanto, $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{1}{4}$ .

Práctica

Encuentra cada uno de los siguientes límites si estos existen.

$\lim_{x \to 3} \sqrt{x}$
$\lim_{x \to 8} \sqrt{x-7}$
$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-1}$
$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2-5x}-x \right)$
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^6+3x^2+1}}{4x^3+3}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}$
$\lim_{x \to 3} \left(\sqrt{x^2+4x}\right)$
$\lim_{x \to -1} (x^2+2x+10)^{\frac{3}{2}}$
$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$
$\lim_{x \to 1} \left(\sqrt{2x^3+3x^2+7}\right)$
$\lim_{x \to 3} \left(\sqrt[3]{2x^2-10}\right)$
$\lim_{x \to 7} \frac{5x}{\sqrt{x+2}}$
$\lim_{x \to 0} \frac{7-\sqrt{x^2+49}}{x}$

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