Límites que Involucran Funciones Trigonométricas

Objetivos

En esta sección, aprenderás unas cuantas formas para evaluar límites que involucran funciones trigonométricas.

Concepto

Las funciones trigonométricas pueden ser un componente de una expresión y, por lo tanto, estar sujetas al proceso de un límite. ¿Crees que la naturaleza periódica de estas funciones y el rango limitado o infinito de las funciones trigonométricas individuales podría hacer que la evaluación de límites que involucran estas funciones sea difícil?

Mira esto

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http://www.youtube.com/watch?v=SMev4H51Jqc - Videos tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Introducción a los Límites (7:20)

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http://www.youtube.com/watch?v=igJdDN-DPgA - Khan Academy Teorema de Estricción (7:36)

Orientación

Las reglas de límites presentadas en secciones anteriores ofrecen algunas, pero no todas, las herramientas para evaluar límites que involucran funciones trigonométricas.

Ejemplo A

a. Encuentra $\lim_{x \to 0} \sin(x)$

b. Encuentra $\lim_{x \to 0} \cos(x)$

c. Encuentra $\lim_{x \to \pm\infty} \sin(x)$

Podemos encontrar estos límites evaluando la función a medida que $x$ se acerca a 0 en la izquierda y la derecha, es decir, evaluando los límites de dos lados. Los gráficos y tablas de valores se muestran a continuación.

$x (rad)$	-0.001	-0.0001	0	0.0001	0.001
$\sin(x)$	-0.001	-0.0001	0	0.0001	0.001
$\cos(x)$	0.999	0.9999	1	0.9999	0.999

La revisión del gráfico y de la tabla de valores en las cercanías de $x=0$ , indica que:

a. $\lim_{x \to 0^-}\sin(x)=\lim_{x \to 0^+}\sin(x)=0$ , lo que significa $\lim_{x \to 0}\sin(x)=0$ .

b. $\lim_{x \to 0^-}\cos(x)=\lim_{x \to 0^+}\cos(x)=1$ , lo que significa $\lim_{x \to 0}\cos(x)=1$ .

Nota que los límites se pueden encontrar usando sustitución directa.

c. Debido a que $\sin(x)$ es una función periódica, a medida que $x$ se hace más y más grande (más pequeña), su valor oscilará entre 1 y -1 y nunca se quedará en un valor individual. Por lo tanto, podemos decir que $\lim_{x \to \pm\infty} \sin(x)$ no existe.

Podemos generalizar y extender los descubrimientos anteriores y presentar las siguientes propiedades:

Propiedades de Límites para Funciones Trigonométrica Básicas

(1) Límite a medida que $x\rightarrow a$ para cualquier número real $a$ . :

$&\lim_{x \to a}\sin(x)=\sin(a) \qquad \ \lim_{x \to a}\cos(x)=\cos(a)\\&\lim_{x \to a}\tan(x)=\tan(a) \qquad \lim_{x \to a}\cot(x)=\cot(a)\\&\lim_{x \to a}\sec(x)=\sec(a) \qquad \ \lim_{x \to a}\csc(x)=\csc(a)$

(2) Límite a medida que $x\rightarrow \pm\infty$ :

$\lim_{x \to \pm\infty}\sin(x) \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\cos(x) \qquad \text{Limits Do Not Exist}\\\lim_{x \to \pm\infty}\tan(x) \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\cot(x) \qquad \text{Limits Do Not Exist}\\\lim_{x \to \pm\infty}\sec(x) \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\csc(x) \qquad \text{Limits Do Not Exist}$

Ejemplo B

Para $f(x)=x^2\cos(10\pi x)$ , encuentra $\lim_{x \to 0}f(x)$ .

Solución:

El gráfico de la función se muestra a continuación.

Como sabemos que el límite de $x^2$ y $\cos(x)$ existe, podemos encontrar el límite de esta función aplicando la Regla de Productos o la sustitución directa:

$\lim_{x \to 0}x^2\cos(10 \pi x) &=(\lim_{x \to 0} x^2)\cdot(\lim_{x \to 0}\cos(10\pi x))\\&=0\cdot 1\\&=0$

Entonces, $\lim_{x \to 0} x^2\cos(10\pi x)=0$ .

Además, del gráfico de la función, notamos que la función está limitada por los gráficos de $x^2$ y $-x^2$ , en los cuales ambos son 0 en $x=0$ . Tiene sentido que el límite de la función original debería ser 0.

Esta característica, que el límite de una función pueda ser el resultado de la función que está siendo limitada o acotadas por las otras dos funciones, es la base del Teorema de estricción. El. Teorema de Estricción (también conocido como teorema de sándwich) establece que:

El Teorema de Estricción

Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ para todas las $x$ en un intervalo abierto que contenga una $a$ , y $\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a}h(x)=L$ , entonces $\lim_{x \to a}g(x)=L$ .

En otras palabras, si podemos encontrar los límites para un función que tenga los mismos límites, entonces el límite de una función que limite debe tener el mismo límite. Nota que $a$ y $L$ puede ser cualquier constante o incluso $\infty$ o $-\infty$ .

Uno de los límites trigonométricos importantes que se pueden probar, en parte, usando el Teorema de Estricción es:

Teorema

$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1$

donde $x$ está en medida radián.

Ejemplo C

Encuentra $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\cos x}{x}\right)$ .

Solución:

La sustitución directa no se puede usar para evaluar el límite debido a que nos da como resultado la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ . Por lo tanto, desarrolla el problema de una manera diferente y resuélvelo.

$\lim_{x \to 0}\left (\frac{1-\cos x}{x} \right ) &=\lim_{x \to 0}\left (\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x} \right )\\&=\lim_{x \to 0}\left ( \frac{1-\cos^2 x}{x(1+\cos x)}\right )\\&=\lim_{x \to 0}\left ( \frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)}\right )\\&=\lim_{x \to 0}\left ( \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}\right )\\&=\lim_{x \to 0}\left ( \frac{\sin x}{x}\right)\cdot\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right )\\&=(1)\left(\frac{0}{2}\right)\\\lim_{x \to 0}\left(\frac{1\cos x}{x}\right) &=0$

Análisis del Problema de la Sección

Recuerdas la pregunta al inicio de la sección: ¿Crees que la naturaleza periódica de estas funciones y el rango limitado o infinito de las funciones trigonométricas individuales podría hacer que la evaluación de límites que involucran estas funciones sea difícil?

Como puedes imaginar y has visto en esta sección, algunos límites que involucran funciones trigonométricas pueden ser fácilmente evaluadas mediante la sustitución directa, y algunas conllevan más trabajo para cambiar desde una forma indeterminada o indefinida. Determinar el comportamiento final de una expresión que involucra una función trigonométrica también puede ser difícil y requiere la aplicación de los principios como el Teorema de Estricción para obtener resultados. ¡No hay respuestas fáciles!

Vocabulario

Una forma indeterminada de cualquier expresión que tome la forma: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$ , $1^\infty$ , y $\infty-\infty$ .

El Teorema de Estricción se utiliza para encontrar el límite de una función limitándola entre otras dos funciones, las cuales tienen el mismo límite.

Práctica Orientada

Encuentra $\lim_{x \to 0}x^2\cos \left(\frac{10\pi}{x}\right)$ .

Solución:

La sustitución Directa no se puede usar para evaluar el límite debido a que $\frac{10\pi}{x}$ es indefinida cuando $x=0$ .

Sin embargo, el Teorema de Estricción se puede emplear de la siguiente manera:

1. Sabemos que coseno se encuentra entre -1 y 1, por lo tanto $-1\le\cos \left(\frac{10\pi}{x}\right)\le 1$ para cualquier $x$ en el dominio de la función (es decir, cualquier $x\ne 0$ ).

2. Debido a que $x^2$ nunca es negativo, podemos multiplicar la desigualdad anterior por $x^2$ : $-x^2\le \cos\left(\frac{10\pi}{x}\right)\le x^2$ .

3. La función original es limitada por $x^2$ y $-x^2$ y $\lim_{x \to 0}-x^2=\lim_{x \to 0} x^2=0$ .

4. Por lo tanto, según el Teorema de Estricción: $\lim_{x \to 0}x^2\cos\left(\frac{10\pi}{x}\right)=0$ .

Práctica

Encuentra $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\sin(x)$
Encuentra $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\cot(x)$
Encuentra $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\sec^2(x)$
Encuentra $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}[\sin(x)+\cos(x)]$
Encuentra $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}[\sec(x)+\tan(x)]$
Encuentra $\lim_{x \to \pi}\frac{\sin x}{\cos x+1}$
Encuentra $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{3x}$
Encuentra $\lim_{x \to 0}\frac{2\cos (x)-2}{x}$
Encuentra $\lim_{x \to 0}\frac{\sin (3x)}{x}$
Encuentra $\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
Encuentra $\lim_{x \to 1}\frac{\cos(x^2-1)-1}{x^2-1}$
Encuentra $\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{x}$
Encuentra $\lim_{x \to 0}(2x\cot 2x)$
Encuentra $\lim_{x \to -\frac{3}{2}}\left[\frac{\sin(2x+3)}{2x^2+x-3}\right]$
Encuentra $\lim_{x \to 0}\left[\frac{\tan x}{x}\right]$

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