Límites de Funciones Compuestas

Objetivos

En esta sección, aprenderás las condiciones necesarias para encontrar el límite de una función compuesta.

Concepto

Las funciones compuestas son representaciones útiles de cómo una primera cantidad depende de una segunda cantidad, y a su vez esa segunda cantidad depende de una tercera cantidad. La representación general de una función compuesta se puede aplicar a un sin fin de analogías de la vida real. Sin embargo, ¿qué sucede con el límite de una función compuesta? Por ejemplo, el tiempo que demoras semanalmente en trasladarte al trabajo es de una ventana temporal de 4 horas en la mañana puede depender del tráfico que te encuentres, el cual a su vez depende de la hora que salgas. ¿Tiene sentido hablar de cuál será el tiempo en el límite a medida que la hora de salida hacia tu trabajo se acerca a una hora en partícular en la venta de tiempo de 4 horas? ¿Tiene sentido hablar de cuál será el tiempo en el límite a medida que la hora de salida se acerca a la hora del fin de semana en la ventana de tiempo de 4 horas?

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http://www.youtube.com/watch?v=lOUOr_y72eQ - James Sousa: Ex: Encuentra Límites de Funciones Compuestas de manera Gráfica

Orientación

Recuerda que la composición de funciones $f(x)$ y $g(x)$ , indicada por la notación $(f \circ g)(x)$ , significa que el rango de $g(x)$ se vuelve el dominio de $f(x)$ . Cuando el rango de $g(x)$ está en el dominio de $f(x)$ , no hay problemas para evaluar $(f \circ g)(x)$ ; cuando no es el caso, $(f \circ g)(x)$ es indefinida.

¿Qué significa esto al momento de evaluar el límite de una función compuesta? Podemos ilustrarlo con los siguientes tres ejemplos, dos en el que el límite existe y uno donde el límite no existe.

Ejemplo A

Para $f(x)=\cos x$ y $g(x)=5x^2$ , encuentra $\lim_{x \to 0} (f \circ g)(x)$ .

Vemos que $(f \circ g)(x)=\cos (g(x))=\cos (5x^2)$ . El límite puede ser evaluado por medio de sustitución directa:

$\lim_{x \to 0} (f \circ g)(x)=\lim_{x \to 0} \cos (5x^2)=\cos (0)=1.$

Nota que se pudo haber obtenido el mismo resultado evaluando:

$\lim_{x \to 0} (f \circ g)(x)=\lim_{x \to 0} \cos (5x^2)=\cos (\lim_{x \to 0} 5x^2)=\cos (\lim_{x \to 0} g(x))=1.$

En este ejemplo, el rango de $g(x=0)$ está en el dominio de $f(x)$ .

Ejemplo B

Considera $f(x)=\frac{1}{x+1}$ , $g(x)=x^2$ . Encuentra $\lim_{x \to -1} (f \circ g)(x)$ .

Vemos que $(f \circ g)(x)=\frac{1}{x^2+1}$ y nota que la propiedad de cocientes de límites se puede usar porque el denominador de la función racional no es cero, por lo tanto al aplicar sustitución directa tenemos $\lim_{x \to -1} (f \circ g) (x)=\frac{1}{(-1)^2+1}=\frac{1}{2}$ .

Nota que se pudo obtener el mismo resultado evaluando

$\lim_{x \to -1} (f \circ g)(x)=\lim_{x \to -1} f(g(x))=f(\lim_{x \to -1} g(x)) =f(1)=\frac{1}{2}$

Los dos ejemplos anteriores ilustran la aplicación de la siguiente regla de límites para funciones compuestas:

El límite de Funciones Compuestas

$\lim_{x \to a}(f \circ g)(x)=f(\lim_{x \to a} g(x))=f(b)$

Siempre y cuando todo lo siguiente sea cierto:

$\lim_{x \to a} g(x)=b$
$f(b)$ es definida
$\lim_{x \to b} f(x)$ existe
$\lim_{x \to b} f(x)=f(b)$

Las últimas tres condiciones (2-4) constituyen la definición de “continuidad” de la función $f(x)$ en $x=b$ . El concepto fundamental de continuidad será explorado más tarde.

Veamos lo que sucede cuando no se cumplen todas las condiciones anteriores.

Ejemplo C

Considera $f(x)=\frac{1}{x+1}$ , $g(x)=-1$ . Encuentra $\lim_{x \to -1} (f \circ g)(x)$ .

Veamos lo que sucede cuando se usa la regla de límites para funciones compuestas:

$\lim_{x \to -1} (f \circ g)(x) &= \lim_{x \to -1} f(g(x))\\&= f(\lim_{x \to -1} g(x))\\&= f(g(-1))\\&= f(-1) \qquad \ldots \text{Undefined}\\&= \frac{1}{0} \qquad \qquad \ldots \text{Undefined}\\$

Este resultado es indefinido y no cumple con la estipulación 2 de la regla de límites de funciones compuestas.

Entonces $\lim_{x \to -1} (f \circ g)(x)$ no existe.

Pregunta de Cierre de Sección

Recordarás la pregunta al comienzo de la lección: ¿tiene sentido hablar cuál será el tiempo en el límite a medida que la hora de salida se acerca a una hora en partícular dentro de la ventana de 4 horas? Tiene sentido hablar de cuál será el tiempo en el límite a medida que la hora de salida se acerca a la hora del fin de semana en la ventana de 4 horas?

En este ejemplo, la hora de salida hacia el trabajo depende de la cantidad de tráfico, el que a su vez depende del tiempo en una venta de 4 horas. Tiene sentido, que el recorrido hacia el trabajo pueda ser determinado a medida que la hora de salida se acerque a cualquier hora en la ventana de 4 horas. No tiene sentido, sin embargo, hablar de un tiempo de recorrido hacia el trabajo obtenido usando un tiempo del fin de semana en el modelo. Horas del fin de semana, incluso si están dentro de la ventana de 4 horas, no están en el dominio de la función para el recorrido hacia el trabajo.

Vocabulario

Una función compuesta es una función cuyo argumento también es una función.

Práctica Orientada

Encuentra $\lim_{x \to -\frac{1}{2}} e^{4x+3}$ identificando los componentes de esta función compuesta y aplicando la regla de límites de funciones compuestas.

Solución:

La función $e^{4x+3}$ puede ser particionada en los componentes compuestos $f(x)=e^x$ y $g(x)=4x+3$ . El límite luego se evalúa de la siguiente manera:

$\lim_{x \to -\frac{1}{2}} (f \circ g)(x) &= \lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(g(x))\\&= e^{\lim\limits_{x \to -\frac{1}{2}} (4x+3)}\\&= e^1\\\lim_{x \to -\frac{1}{2}} e^{4x+3} &= e \approx 2.718$

Práctica

Para cada una de las siguientes 5 funciones, identifica dos funciones que hagan una función compuesta:

1. $f(x)=x^2+3$

2. $f(x)=\sqrt{x^2+4x}$

3. $f(x)=(x^2+2x+10)^{\frac{3}{2}}$

4. $f(x)=\sin(x^2+3)$

5. $f(x)=2^{\sin x}$

Evalúa los límites de cada uno de las siguientes funciones:

6. $\lim_{x \to 2} (x^2+3)$

7. $\lim_{x \to 3} \left(\sqrt{x^2+4x}\right)$

8. $\lim_{x \to -1} (x^2+2x+10)^{\frac{3}{2}}$

9. $\lim_{x \to 1} \left(\sqrt{2x^3+3x^2+7}\right)$

10. $\lim_{x \to \sqrt{\frac{\pi}{2}}} \sin (x^2+\pi)$

11. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 2^{\sin x}$

12. $\lim_{x \to -1} \sin \left(2^x \frac{\pi}{2}\right)$

13. $\lim_{x \to 3} \left(\sqrt[3]{2x^2-10}\right)$

14. $\lim_{x \to -1} e^{2t^2}$

15. $\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{x+1}$

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