Continuidad de una Función

Objetivos

En esta sección, aprenderás a determinar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo.

Concepto

La continuidad de una función está relacionada con la noción conceptual de una función que no tenga ningún quiebre o salto a medida que la variable independiente toma todos los valores sobre algunos intervalos. No hay espacios o saltos en el dominio de interés. Con esto en mente, ve si puedes determinar cuál de las siguientes situaciones pueden ser consideradas para representar una función continua: (a) la variación de la temperatura en el exterior; (b) el peso de un carro a medida que se cargan sacos de arena de 10 libras encima de este; (c) el aumento y disminución del nivel de agua en una reserva; (d) la cantidad de dinero reunido en un cine para una función específica.

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http://www.youtube.com/watch?v=Q7tEPyKS4Jg - Video tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Continuidad Usando Límites (5:44)

Orientación

La continuidad de una función es conceptualmente la característica de una función curva cuyo rango de valores “fluye” continuamente sin interrupción sobre algún intervalo, como si nunca levantaras el lápiz al dibujar la curva. Esta noción intuitiva debe ser formalizada de manera matemática.

Ejemplo A

Considera la gráfica de la función $f(x)=x^2$ . La función está definida para cualquier valor real de la variable independiente.

Por ejemplo, para $x=2$ la función tiene el valor $f(2)=4$ . Nota que a medida que $x$ se acerca al valor2 desde cualquier lado, el valor de la función se acerca a 4, es decir, $\lim_{x \to 2} f(x)=f(2)=4$ . Conceptualmente, aplicar los límites de un lado de la derecha e izquierda a medida que $x$ se acercaba a 2, dio como resultado el mismo valor, el valor de la función en $x=2$ .

Los resultados anteriores ilustran las propiedades claves de una función continua. Estas son formalizadas en la siguiente definición que proporciona una prueba para determinar si tenemos una función continua.

Definición: Continuidad de una Función

La función $f(x)$ es continua en $x=a$ si se mantienen todas las condiciones presentadas a continuación:

$a$ está en el dominio de $f(x)$ ;
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe;
$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Nota que es posible tener funciones donde dos de estas condiciones se cumplan pero la tercera no. Cuando una función no es continua en $x=a$ , entonces es discontinua en $a$ , y $a$ es un punto de la discontinuidad.

Ejemplo B

Considera la función seccionada $f(x)= \begin{cases} x, \mbox{if} \ x \neq 1\\3, \mbox{if} \ x=1\end{cases}$ , con el gráfico que se muestra a continuación.

En este ejemplo, tenemos $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe. El valor $x=1$ está en el dominio de $f(x)$ , pero $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ . Por lo tanto, la función no es continua en $x=1$ .

Este en un ejemplo de discontinuidad removible , es decir, una discontinuidad en la cual el límite de una función existe pero no iguala al valor de la función en ese punto.

Ejemplo C

Considera el siguiente gráfico: $f(x)=\frac{(x+1)}{(x^2-1)}$ . ¿Hay alguna discontinuidad?

Sabemos a partir de nuestro estudio de dominios que para que la función sea definida, debeos tener $x \neq -1,1$ . Sin embargo, cuando generamos el gráfico de la función (usando la ventana de visión estándar), tenemos la siguiente figura que parece estar definida en $x=-1$ :

La aparente contradicción se debe a que nuestra función original tenía $x+1$ como un factor común en el numerador y el denominador, la cual se canceló y nos dio una imagen que parece ser un gráfico de $f(x)=\frac{1}{(x-1)}$ .

Sin embargo, lo que realmente tenemos es la función original, $f(x)=\frac{(x+1)}{(x^2-1)}$ que sabemos que no está definida en $x=-1$ . En $x=-1$ , temos un espacio en el gráfico o una discontinuidad de la función en $x=-1$ . Es decir, la función está definida para todos los valores de $x$ cerca de $x=-1$ .

Además, en $x=1$ los valores de la función van hacia $\pm \infty$ dependiendo del lado en que se usa $x=1$ Los límites de la derecha y de la izquierda no serán los mismos y la función es discontinua en $x=1$ . La discontinuidad en $x=1$ se denomina infinidad discontinua y se asocia con la asíntota vertical $x=1$ .

En términos generales, si tuviéramos que dibujar al gráfico a mano, tendríamos que levantar nuestro lápiz cuando lleguemos a este hoyo, dejando un espacio en el gráfico como se muestra a continuación:

Análisis del Problema de la Sección

¿Cuál de las siguientes situaciones puede representar una función continua?:

variación diaria de la temperatura del exterior: Podría ser considerada una función de tiempo continua porque todos los valores de tiempo ocurren dentro del rango de variación.
peso de un carro a medida que se cargan sacos de arena de 10 libras: No sería una función de cantidad de sacos continua porque solo son posibles números enteros y el total del peso cambia de 10 en 10 libras, por lo que habrían espacios.
el aumento y disminución del nivel de agua de una reserva: Podría ser considerada una función de tiempo continua porque todos los niveles ocurren dentro del rango de variación.
la cantidad de dinero reunido en un cine de una función específica: No sería una función continua porque la cantidad de personas y el precio por ticket fueron cuantificadas por lo que solo es posible una cantidad determinada de dinero.

Vocabulario

Una función continua es una que es continua en cualquier punto de su dominio.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua sobre cada punto del intervalo específico.

Una función es discontinua en un punto $a$ si la función no es continua en $a$ .

Un punto de discontinuidad es un punto donde una función no es continua.

Una discontinuidad removible es una discontinuidad en la que el límite de la función existe pero no es igual al valor de la función en ese punto.

Una discontinuidad infinita es una discontinuidad definida por una asíntota vertical.

Práctica Orientada

Problema 1. Encuentra un valor de $k$ que haga que las siguientes funciones sean continuas:

$f(x) = \begin{cases} kx+1, & x \le 3 \\-(5-x)^3, & x>3 \end{cases}$

Solución 1:

Si $f(x)$ debe ser considerada continua en todos lados, esta debe ser continua en $x=3$ . Esto significa que:

1. $x=3$ debe estar en el dominio de $f(x)$ ; esto es.

2. $\lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3^+} f(x)$ para que $\lim_{x \to 3} f(x)$ exista; lo que significa que la siguiente igualdad debe sostener:

$k(3)+1=-(5-3)^3$ , y $k=-3$ .

Entonces $\lim_{x \to 3} f(x)=-8$

Con el resultado anterior, tenemos $\lim_{x \to 3} f(x)=-8=f(-3)$ .

Por lo tanto, la función $f(x) = \begin{cases} -3x+1, \quad x \le 3 \\-(5-x)^3, \ x>3 \end{cases}$ es continua en $x=3$ .

Problema 2. Recordemos nuestra función básica de raíz cuadrada, $f(x)=\sqrt{x}$ , que se muestre a continuación. ¿Es continua en $x=0$ ?

Solución 2:

Como el dominio de $f(x)=\sqrt{x}$ está $x \ge 0$ , vemos que $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ Específicamente, no podemos abrir intervalos alrededor de $x=0$ que satisfagan la definición de límite. Por lo tanto, la función no es continua en $x=0$ . Sin embargo, notamos que a medida que nos acercamos a $x=0$ desde el lado derecho, vemos la sucesión de valores que tienden a ir hacia $x=0$ .

Práctica

Genera la gráfica de $f(x)=\frac{(|x+1|)}{(x+1)}$ usando tu calculadora y discute la continuidad de la función.
Genera la gráfica de $f(x)=\frac{(3x-6)}{(x^2-4)}$ usando tu calculadora y discute la continuidad de la función.
¿Es la función $f(x)=|x-3|$ continua en $x=3$ ?
¿Es la función $f(x)=\frac{6x-1}{4x^2+20x+25}$ continua en $x=-\frac{5}{2}$ ?
¿Es la función $f(x)=\frac{3x^2-13x-10}{x^3-4x^2-2x-15}$ continua en $x=5$ ?
Encuentra el valor de $k$ que hace que la siguiente función sea continua: $f(x) = \begin{cases} x^2+2x+k, \ x \le -1 \\-x-4, \ \quad \quad x>-1 \end{cases}$
Para la función clasifica las discontinuidades en
1. $x=-3$ y
2. $x=3$ .
Para la función clasifica las discontinuidades en
1. $x=-1$ y
2. $x=\frac{1}{3}$ .
¿En qué intervalo es $f(x)=\frac{(x^2-1)(4x+1)}{x(x^2+1)(4x+1)}$ continua?
¿En qué intervalo es $f(x)=\frac{2}{x-3}+3$ continua?
¿En qué intervalo es $f(x)=\cot^2 (x)$ continua?
Verdadero o Falso: ¿Es continua $f(x)=\frac{\cos x}{x \sqrt{x-1} (2x-1)}$ en el intervalo [0, 1].
Verdadero o Falso: ¿Es continua $f(x)=\frac{\sin (x)}{\sin (3x)}$ en el intervalo $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ .
¿En qué intervalos es continua $f(x)=\sqrt{x^2-4x+2}$ ?
¿En qué intervalos es continua $f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$ ?

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