Objetivos

En esta Sección, aprenderás sobre la continuidad de funciones que se generan desde operaciones aritméticas de otras funciones.

Concepto

En la sección anterior, la continuidad de una función era representada intuitivamente a través de imágenes realizadas por medio de lápices para dibujar un gráfico en una hoja de papel (sobre un cierto intervalo del dominio) y nunca levantando el lápiz. Siempre que no se levante el lápiz , el gráfico se puede considerar como continuo sobre el intervalo dibujado. Ciertamente, esta no es una descripción rigurosa de continuidad, pero dada esta analogía, ¿cuál es tu expectativa sobre operaciones aritméticas sobre dos funciones que son continuas sobre un intervalo común; o de la existencia de una función continua máxima y mínima; o de la existencia de valores intermedios entre dos valores de funciones?

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http://www.youtube.com/watch?v=6AFT1wnId9U - Just Math Tutoring, Teorema de Valor Intermedio (7:53)

Orientación

En la sección anterior se identificó las características de una función que es continua en un punto y sobre el intervalo. Exploremos, dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ que son continuas sobre un intervalo cerrado $[a,b]$ , ¿esperarías que operaciones aritméticas sobre estas dos funciones nos den como resultado funciones continuas sobre $[a,b]$ ?

Ejemplo A

Dadas la funciones $f(x)=x+3$ y $g(x)=-x+0.5$ en el intervalo cerrado $[-1,1]$ , determina si las funciones son continuas en el intervalo:

a. $f(x)$ y $g(x)$

b. $h(x)=f(x)+g(x)$

c. $h(x)=f(x)g(x)$

Soluciones:

a. A continuación, se muestran las funciones $f(x)$ y $g(x)$ Revisa cada uno de los siguientes gráficos y sus ecuaciones, demuestra que están definidas en el intervalo cerrado y que el límite de la función, en cualquier punto del intervalo, es igual al valor de la función en ese punto. Ambas funciones son continuas en el intervalo.

b. La suma de las dos funciones está dada por $h(x)=3.5$ , y se muestra en la figura. La función que dé como resultado, una constante, está definida sobre el intervalo cerrado y el límite de la función en cada punto del intervalo es igual al valor constante de la función en cada punto. La función es continua en el intervalo.

c. El producto de las dos funciones está dado por $h(x)=(x+3)(-x+0.5)=-x^2+2.5x-1.5$ , y se muestra en la figura. La función que da como resultado, una parábola, está definida sobre el intervalo cerrado y el límite de la función en cada punto del intervalo es igual al valor del producto de la función en cada punto. La función es continua en el intervalo.

¿Qué hay del cociente de dos funciones continuas?

Ejemplo B

Dadas las funciones $f(x)=x+3$ y $g(x)=-x+0.5$ en el intervalo cerrado $[-1,1]$ , determina si $\frac{f(x)}{g(x)}$ es continua en el intervalo.

Soluciones:

El cociente de las dos funciones está dado por $h(x)=\frac{x+3}{-x+0.5}$ , y se muestra en la figura.

En el intervalo cerrado $[-1,1]$ , $x=0.5$ es el único lugar donde la función $h(x)$ es indefinida y $\lim_{x \to 0.5} h(x)$ no existe. La función $h(x)$ no es continua en $x=0.5$ , o en el intervalo cerrado.

Los resultados anteriores de las funciones se pueden generalizar en las siguientes propiedades.

Propiedades Básicas de Funciones Continuas

Si $f(x)$ y $g(x)$ son continuas en cualquier valor real de $c$ sobre el intervalo cerrado $[a, b ]$ , entonces las siguientes funciones son continuas en cualquier valor real de $c$ sobre el intervalo cerrado $[a, b ]$ :

$f(x) + g(x)$
$f(x) - g(x)$
$f(x)g(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}$ , siempre que $g(c)\ne 0$ .

El Teorema de Valor Intermedio y Valor Extremo (Teorema Min-Max) son dos propiedades de una función que es continua en un intervalo cerrado:

Teorema de Valor Intermedio

Si una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces la función asume cada valor entre $f(a)$ y $f(b)$ .

El Valor Extremo (Teorema Min-Max) es una consecuencia del Teorema de Valor Intermedio.

Teorema de Valor Extremo (Min-Max):

Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $I$ , entonces $f(x)$ tiene un valor máximo y mínimo en $I$ .

El Teorema de Valor Intermedio se puede usar para analizar y aproximar ceros de funciones.

Ejemplo C

Usa el Valor Intermedio de la Función para demostrar que hay al menos un cero de la función $f(x)=3x^4-3x^3-2x+1$ en el intervalo indicado $[1,2]$ .

Solución:

El gráfico de esta función tiene la forma de una parábola y es continua en el intervalo.

Para aplicar el Teorema de Valor Intermedio, tenemos que encontrar una pareja de $x$ - que tenga valores de la función con diferentes signos. En la siguiente tabla se muestra algunos valores.

*$x$*	1.1	1.2	1.3
*$f(x)$*	-0.80	-0.36	0.37

Vemos que el signo de los valores de la función cambia de negativo a positivo en algún lugar entre 1.2 y 1.3. Por lo tanto, por el Teorema de Valor Intermedio, hay algún valor $c$ en el intervalo (1.2, 1.3) como $f(c)=0$ .

Pregunta de Cierre de Sección

¿Recuerdas la pregunta el comienzo de la lección sobre tus expectativas sobre la continuidad de funciones formada por operaciones aritméticas sobre dos funciones continuas? La conclusión de esta sección es que, excepto por el cociente de funciones, las operaciones aritméticas sobre dos funciones que son continuas en un punto o en un intervalo dan como resultado una nueva función que es continua en el punto o en el intervalo. Con el cociente de dos funciones, la preocupación es siempre identificar donde el denominador es 0; en este punto el cociente de la función no es continuo.

Vocabulario

Una función continua es una que es continua en cada punto de su dominio.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua sobre cada punto del intervalo específico.

Una función es discontinua en un punto a si la función no es continua en $c$ .

Un punto de discontinuidad es un punto donde una función no es continua.

El Teorema de Valor Intermedio (TVI) establece que una función que es continua en un intervalo del dominio toma todos los valores del rango dentro del intervalo.

El Teorema de Valor Extremo establece que una función que es continua en un intervalo cerrado tiene un valor mínimo y máximo en el intervalo.

Práctica Orientada

Considera $f(x)=x^3+1$ y el intervalo $I=[-2,2]$ . Determina los valores mínimos y máximos.

Solución:

El gráfico de la función muestra que en $x=-2$ la función tiene un valor mínimo $f(-2)=-7$ ; y en $x=2$ , un valor máximo $f(2)=9$ .

Práctica

En los problemas 1 y , explica cómo sabes que la función no tiene una raíz en el intervalo dado. (Pista: Usa el Valor Intermedio de la Función para demostrar que hay al menos un cero de la función en el intervalo indicado):

1. $f(x)=x^3+2x^2-x+1$ , en el intervalo (-3,-2).

2. $f(x)=\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-1$ , en el intervalo (9,10).

3. $f(x)=x^2+x-2$ , en el intervalo (-3,0).

4. $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2+3x+2}$ , en el intervalo (-1,0).

5. $f(x)=\frac{2}{x+3}-4$ , en el intervalo (-3,0)

6. Verdadero o Falso: $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$ tiene una raíz en el intervalo $(0,\pi)$ .

7. Verdadero o Falso: Por el Teorema de Valor Intermedio la función $f(x)=\sin(x)+cos^2(x)$ no tiene una raíz en el intervalo $(0,\pi)$ porque $f(0)=f(\pi)=1$ .

8. Verdadero o Falso: ¿La función $f(x)=\frac{x^2+1}{\cos(x)}$ tiene una raíz en el intervalo $(0,\pi)$ .

9. ¿En qué intervalo está garantizado $f(x)=x-\sin(x)+1$ por la TVI para tener una raíz?

$\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)$
$\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)$
$\left(-\frac{2\pi}{3},0\right)$
$\left(-\pi,\pi\right)$

10. Encuentra un intervalo en el cual $f(x)=e^x+x$ tenga una raíz.

11. Encuentra un intervalo en el cual $f(x)=x^3+5x^2-4x-20$ tenga una raíz.

Usa el Teorema de Valor Extremo para determinar si los siguientes enunciados son ciertos o falsos:

12. El Teorema de Valor Extremo garantiza que la función $\sqrt{|\sin(x^3)|}$ tiene un valor mínimo en el intervalo [-3, 3].

13. El Teorema de Valor Extremo garantiza que la función $(x-1)^3$ tiene un valor máximo en el intervalo (1, 3).

14. El Teorema de Valor Extremo garantiza que la función $x^2+3x+2$ tiene un valor mínimo en el intervalo (-3, 0).

15. El Teorema de Valor Extremo garantiza que la función $\frac{4x}{x^2+3x+2}$ tiene un valor mínimo en el intervalo (-3, 0).

Propiedades de Funciones Continuas