Objetivos

En esta Sección, explorarás como hallar la ecuación de una recta que toca a una curva en un solo punto (una recta tangente a la curva).

Concepto

Kevin empezó la semana pasada con su primera clase de Cálculo. Su profesor pasó la mayor parte de esa primera semana hablando acerca de las bases del Cálculo y para que se utiliza realmente. Sin embargo, Kevin estaba un poco confuso al final de la clase del viernes, por lo que se acercó al Sr. Banner y le pidió ayuda.

Sr. Banner: “Kevin, ¿recuerdas que en Algebra I aprendiste como encontrar la ecuación de la recta usando dos puntos?”

Kevin: "Claro, eso es fácil. Solo buscas la pendiente de la recta al dividir la diferencia vertical de los puntos con la diferencia horizontal. Luego usas uno de los puntos y la pendiente para encontrar el intercepto en $y$ , no?”

Sr. Banner: “¿Fue difícil cuando los puntos estaban muy juntos o muy separados?”

Kevin: "No, creo que no. Digo, ¡a menos que estuvieran demasiado separados!"

Sr. Banner: “Ok. Esto es lo que quiero que hagas, Kevin. Incluso te daré puntos extra si puedes completar esta tarea para el fin de semana. Quiero que encuentres la pendiente de tres rectas del modo que describiste. ¿Listo para escribir los puntos?”

Kevin (esbozando una sonrisa): “¡Será fácil obtener esos puntos! Adelante.”

Sr. Banner: “El primer par de puntos es: (4, 7) y (5, 9), el segundo par es (4, 6) y (4.5, 6.5). ¿Lo anotaste?”

Kevin: “¡Si, los tengo, descuide! Continúe.”

Sr. Banner: “Bien, el último par es (4, 5) y (4, 5)”

Kevin (escribiendo rápido sin mirar): "¡Bien, lo tengo! ¡Nos vemos el lunes, Sr. Banner! ¡Prepárese para darme esos puntos!"

¿Viste lo que hizo el Sr. Banner? ¿Qué va a encontrarse Kevin a medida que resuelva estos problemas?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido(requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=1KwW1v__T_0 - Khan Academy: Ecuación de una Recta Tangente

Orientación

Si recordamos el álgebra, si los puntos $P(x_0,y_0)$ and $Q(x_1,y_1)$ son dos puntos diferentes de la curva $y = f(x)$ , entonces la pendiente de la recta secante que conecta ambos puntos está dada por

$m_{sec}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\quad (1)$

Por supuesto, si dejamos que el punto $x_1$ se aproxime a $x_0$ entonces $Q$ se aproximará a $P$ junto con el gráfico $f$ y, por tanto, la pendiente de la recta secante se aproximará gradualmente a la pendiente de la recta tangente a medida que $x_1$ se aproxima a $x_0$ . Por tanto, (1) se vuelve

$m_{sec}=\lim_{x_1 \to x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\quad (2)$

Para simplificar nuestra notación, si definimos $h = x_1 -x_0$ , entonces $x_1 = x_0 + h$ y $x_1 \rightarrow x_0$ se vuelve equivalente a $h \rightarrow 0$ . Esto significa que (2) se vuelve

$m_{sec}=\lim_{h \to 0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

La Pendiente de una Recta Tangente

Si el punto $P(x_0,y_0)$ estó en la curva $f$ , entonces la recta tangente en $P$ tiene una pendiente dada por

$m_{tan}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

considerando que el limite existe.

Recuerda que la ecuación de la recta tangente a través del punto $(x_0, y_0)$ con pendiente $m$ es la forma punto-pendiente de una recta: $y - y_0 = m_{tan}(x - x_0)$ .

Ejemplo A

Encuentra la recta tangente a la curva $f(x) = x^3$ que pasa por el punto $P (2,8)$ .

Solución:

Puesto que $P(x_0, y_0) = (2, 8)$ , al usar la ecuación de la pendiente tangente, tenemos

$m_{tan}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

y obtenemos

$m_{tan} &=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{(h^3+6h^2+12h+8)-8}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{h^3+6h^2+12h}{h}\\&=\lim_{h \to 0}(h^2+6h+12)\\&=12$

Por tanto, la pendiente de la recta tangente es 12. Usando la fórmula punto-pendiente anterior, vemos que la ecuación de la recta tangente es $y - 8 = 12 (x - 2)$ o $y = 12x - 16$ en forma pendiente-intercepto.

Ejemplo B

Si $f(x) = x^2 - 3$ , encuentra $f^\prime (x)$ y usa el resultado para hallar la pendiente de la recta tangente en $x = 2$ y $x = -1$ .

Solución:

Ya que $m_{tan}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ entonces

$m_{tan} &=\lim_{h \to 0}\frac{[(x+h)^2-3]-[x^2-3]}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-3-x^2+3}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\lim_{h \to 0}(2x+h)\\&=2x$

Para hallar la pendiente, simplemente sustituimos $x = 2$ en el resultado $m_{tan}$ :

$m_{tan}(x) &=2x\\m_{tan}(2) &=2(2)\\&=4$

$m_{tan}(x) &=2x\\m_{tan}(-1) &=2(-1)\\&=-2$

Entonces, la pendiente de la recta tangente en $x = 2$ y $x = -1$ es 4 y -2 respectivamente.

Ejemplo C

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva $y = \frac{1}{x}$ que pasa por el punto $(1, 1)$ .

Solución:

Usando la fórmula de la pendiente de la recta tangente,

$m_{tan}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

y sustituyendo $y=\frac{1}{x}$

$m_{tan} &=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\frac{1}{x+h}\right)-\frac{1}{x}}{h}\\m_{tan} &=\lim_{h \to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-x-h}{x(x+h)}}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{x-x-h}{hx(x+h)}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\&=\frac{-1}{x^2}$

Para $x=1$ , la pendiente es

$m_{tan}(1) &=\frac{-1}{1}=-1\\&=-1$

Por tanto, la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ para la curva $y = \frac{1}{x}$ es $m = -1$ . Para hallar la ecuación de la recta tangente, simplemente usamos la formula punto-pendiente,

$y=y_0=m(x-x_0)$

donde $(x_0,y_0)=(1,1)$ .

$y-1&=-1(x-1)\\y &=-x+1+1\\y &=-x+2$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es $y = -x + 2$ .

Análisis del Problema de la Sección

El Sr. Banner le dio a Kevin tres conjuntos de puntos, cada uno definiendo un segmento de recta y siendo cada recta más corta que la anterior. Los primeros dos probablemente fueron sencillos para Kevin a la hora de hallar ecuaciones, puesto que claramente nos recuerda el proceso para encontrar $\frac{rise}{run}$ (altura/longitud) aprendido en Algebra I. Sin embargo, el tercer conjunto de puntos es completamente diferente. Los puntos (4, 5) y (4, 5) son los mismos, por lo que la fracción $\frac{rise}{run}$ sería $\frac{0}{0}$ - ¡A Kevin le presentaron la necesidad de hacer cálculo diferencial!

Vocabulario

Una recta secante es una recta que atraviesa una curva, es importante en cálculo como una referencia a la pendiente de una recta tangente a una curva.

Una recta tangente “toca” a una curva en un solo punto y solo en ese punto.

El cálculo diferencial es un estudio de cálculo basado en hallar la diferencia en la localización entre dos puntos que se acercan hasta que la diferencia entre ellas sea inmensamente pequeña.

Práctica Guiada

1. Dada la función y los valores de y , encuentra:
1. a. La tasa promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo $[x_0, x_1]$ .
2. La pendiente de la recta secante que conecta $x_0$ y $x_1$ .
3. La tasa de cambio instantánea de $y$ con respecto a $x$ en $x_0$ .
4. La pendiente de la recta tangente en $x_1$ .
Dada la función y los valores y , encuentra:
1. La tasa promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo $[x_0, x_1]$ .
2. La pendiente de la recta secante que conecta $x_0$ y $x_1$ .
3. La tasa de cambio instantánea de $y$ con respecto a $x$ en $x_0$ .
4. La pendiente de la recta tangente en $x_1$ .

Soluciones:

1. Dado $y =\frac{1}{2}x^2$ donde $x_0=3$ y $x_1=4$

a. Encontrar la tasa promedio de cambio:

Identifica los dos puntos sustituyendo 3 y 4 por $x$ en la función $f(x)=\frac{1}{2}x^2$

Sustituye los dos puntos (3, 4.5) y (4, 8) en la fórmula de la tasa promedio de cambio: $m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

Tasa promedio de cambio = $\frac{7}{2}$

b. La pendiente de la recta secante entre $x_0$ y $x_1$ es la pendiente entre $(3,4.5)$ y $(4,8)$ el cual es $\frac{7}{2}$

c. La tasa instantánea de cambio es la pendiente en $x = 3$ .

Usa la fórmula: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ donde $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ y $x=3$

$& \frac{f(3+h)-f(3)}{h} && ..... \text{Substitute 3 for } x \\& \frac{\frac{1}{2}(3+h)^2-\frac{1}{2}(3)^2}{h} && .... \text{Replace } f(x)\rightarrow \frac{1}{2}x^2\\& \frac{\frac{1}{2}(9)+\frac{1}{2}(6h)+\frac{1}{2}h^2-\frac{1}{2}9}{h} && ..... \text{FOIL and Distribute the } \frac{1}{2}\\& \frac{6h+h^2}{2h} && ..... \text{Simplify}\\& 3+\frac{h}{2} && ..... \text{Simplify again}\\& 3 && ..... \text{As } h\rightarrow 0$

$\therefore$ la pendiente instantánea en $x = 3$ es 3

d. La pendiente de la tangente en 4 es igual a la tasa instantánea de cambio en $x=4$

Esta es la misma serie de pasos cuando antes $x = 3$

$\therefore$ la pendiente en $x=4$ es 4

2. Dado $y =\frac{1}{x}$ cuando $x_0=2$ y $x_1=3$

a. Encontrar la tasa promedio de cambio:

Identifica los dos puntos al sustituir 2 y 3 por $x$ en la función $f(x)=\frac{1}{x}$ para obtener $\left(2,\frac{1}{2}\right) \big | \left(3,\frac{1}{3}\right)$

Sustituye los dos puntos $\left(2,\frac{1}{2}\right) \big | \left(3,\frac{1}{3}\right)$ en la fórmula de la tasa promedio de cambio: $m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

Tasa promedio de cambio = $\frac{-1}{6}$

b. La pendiente de la recta secante entre $x_0$ y $x_1$ es la pendiente entre $\left (2,\frac{1}{2} \right )$ y $\left(3,\frac{1}{3}\right)$ que es $\frac{-1}{6}$

c. La tasa instantánea de cambio en $x_0$ es la pendiente en $x = 2$ .

Usa la fórmula: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ donde $f(x)=\frac{1}{x}$ y $x = 2$

$& \frac{f(2+h)-f(2)}{h} && ..... \text{Substitute 2 for } x \\& \frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h} && ..... \text{Replace } f(x)\rightarrow \frac {1}{x}\\& \left(\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{h} && ..... \text{We had a fraction divided by a fraction, invert to multiply}\\& \frac{(2)(1)}{2(2+h)}-\frac{(2+h)(1)}{2(2+h)}\cdot\frac{1}{h} && ..... \text{Set common denominators}\\& \frac{(2)-(2+h)}{(2+h)(2)(h)} && ..... \text{Simplify}\\& \frac{-h}{4h+2h^2} && ..... \text{Simplify again}\\& \frac{-1}{4+2h} && ..... \text{once more (canceling the } h)\\& \frac{-1}{4} && ..... \text{As } h\rightarrow 0$

$\therefore$ la pendiente instantánea en $x = 2$ es $\frac{-1}{4}$

d. La pendiente de la tangente en 3 es igual que la tasa instantánea de cambio en $x=3$

Esta es la misma serie de pasos cuando antes $x = 2$

$\therefore$ la pendiente en $x=3$ es $\frac{-1}{9}$

Práctica

1. ¿Cómo se llama la recta que conecta dos puntos $(x_0, y_0)$ y $(x_1,y_1)$ en una curva?

2. A medida que $(x_0, y_0)$ se vuelve inmensurablemente cercana a $(x_1,y_1)$ el término que describe la recta entre ellas se vuelve: “la recta ____________ ”

3. ¿La expresión $f(x_0+h)-f(x_0)$ se usa para describir qué distancia en el proceso de encontrar la pendiente de una recta tangente?

4. Al calcular la pendiente de una tangente, ¿qué valor se asume que va a 0 a medida que ambos puntos escogidos se acercan más y más?

5. ¿Qué tiene que ver el concepto de limite, discutido en lecciones anteriores, con encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva?

Ecuación de la recta tangente:

6. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en $x=-3$ asumiendo que $r(-3)=-5$ y $r^\prime(-3)=1$ ?

7. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en $x=1$ asumiendo que $r(1)=3$ y $r^\prime(1)=-5$ ?

8. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en $x=2$ asumiendo que $g(2)=1$ y $g^\prime(2)=-3$ ?

9. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en $x=4$ asumiendo que $u(4)=4$ y $u^\prime(4)=3$ ?

10. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en $x=-4$ asumiendo que $t(-4)=2$ y $t^\prime(-4)=5$ ?

Hallar la ecuación de la recta tangente:

11. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $h(x)=-5x^3+3x^2+x+3$ en $x=1$

12. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $t(x)=-2x$ en $x=-2$

13. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $m(x)=3x^3+3x^2+4x+4$ en $x=1$

14. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $q(x)=-x^3-4x^2+4x+3$ en $x=-2$

15. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $t(x)=-4x^2+2x-4$ en $x=-1$

16. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $h(x)=-4x^3+2x^2-3x+3$ en $x=-1$

17. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $m(x)=x$ en $x=0$

18. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $s(x)=-3x^2-2x+3$ en $x=0$

19. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $c(x)=-3$ en $x=0$

20. Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $b(x)=-5x^4+3x^3-x^2+5x-3$ en $x=-1$

La Necesidad de Derivadas: Rectas Tangentes a una Curva

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia