La Necesidad de Derivadas: Tasas Instantáneas de Cambio

Objetivos

En esta Sección, explorarás la diferencia entre tasa promedio de cambio y tasa instantánea de cambio .

Concepto

Quizá recuerdes la historia de Jim y su atlética novia Becca en la lección de comprensión de los límites. Los dos estaban discutiendo como podrían calcular su velocidad en el instante en que Jim tomó una foto de ella. El resultado final de la discusión fue que Becca señaló que técnicamente no es posible calcular la velocidad exacta de algo en un instante específico.

Por ahora, hemos explorado los conceptos relacionados de límites y rectas tangentes a una curva, por lo que sabemos que efectivamente es posible calcular la velocidad instantánea. ¿Qué proceso está involucrado al calcular la velocidad de Becca en el instante en que la foto fue tomada? ¿Cuáles son las dificultades técnicas al identificar la velocidad instantánea?

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http://www.youtube.com/watch?v=xmgk8_l3lig - Khan Academy : Tasas de Cambio (parte 2)

Orientación

La función $f^\prime (x)$ que definimos en lecciones anteriores es tan importante que tiene su propio nombre: la derivada.

La Derivada

La función $f^{\prime} (x)$ se define por la fórmula

$f^{\prime} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

donde $f^{\prime} (x)$ se denomina la derivada de $f (x)$ con respecto de $x$ .

El dominio de $f^{\prime} (x)$ consiste en todos los valores de $x$ donde existe el límite.

En base a la discusión sostenida en la sección anterior, la derivada $f^\prime$ representa la pendiente de la recta tangente en el punto $x$ . Otra forma de interpretarla sería que la función $y = f(x)$ tiene una derivada $f^\prime$ cuyo valor en $x$ es la tasa instantánea de cambio de $y$ con respecto al punto $x$ .

Uno de los dos conceptos primarios del cálculo incluye calcular la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, la velocidad se define como la tasa de desplazamiento con respecto al tiempo. Si una persona viaja 120 millas en 4 horas, su velocidad es $\frac{120}{4}=30 \ mi/hr$ . Esta velocidad se denomina velocidad promedio o la tasa promedio de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Por supuesto, la persona que viaja 120 millas a una tasa de 30 mi/hr por 4 hrs probablemente no lo hace de forma continua. Aunque probablemente disminuyó o aumento su velocidad durante el periodo de 4 horas, generalmente es suficiente decir que viajó por 4 horas a una tasa promedio de 30 millas por hora. Sin embargo, si el conductor choca con un árbol, no será su velocidad promedio lo que determine sus posibilidades de sobrevivir, sino que su velocidad al instante de la colisión . De forma similar, cuando una bala impacta un objetivo, no es la velocidad promedio la que importa, sino que su velocidad instantánea al momento del impacto. Hasta ahora, tenemos dos tipos distintos de velocidades, velocidad promedio y velocidad instantánea.

La velocidad promedio de un objeto se define como el desplazamiento del objeto $\triangle x$ dividido por el intervalo de tiempo $\triangle t$ en el que ocurre el desplazamiento:

$\text{Average speed}=v=\frac{\triangle x}{\triangle t}=\frac{x_1-x_0}{t_1-t_0}$

Nótese que los puntos $(t_0, x_0)$ y $(t_1, x_1)$ están en una posición contra la curva del tiempo, como muestra la siguiente figura.

Esta expresión también es la expresión para la pendiente de una recta secante conectando los dos puntos. Por ende, concluimos que la velocidad promedio de un objeto entre los tiempos $t_0$ y $t_1$ se representa geométricamente por la pendiente de la recta secante conectando los puntos $(t_0, x_0)$ y $(t_1, x_1)$ . Si escogemos $t_1$ cerca de $t_0$ , entonces la velocidad promedió se aproximará bastante a la velocidad instantánea en el tiempo $t_0$ .

Geométricamente, la tasa promedio de cambio se representa por la pendiente de una recta secante (figura A, a continuación) y la tasa instantánea de cambio se representan por la pendiente de la recta tangente (figura B, a continuación).

Tasa Promedio de Cambios (como la velocidad promedio )

La tasa promedio de cambio de $y = f(x)$ sobre el intervalo de tiempo $[x_0, x_1]$ es la pendiente $m_{sec}$ de la recta secante a los puntos $(x_0, f(x_0))$ y $(x_1, f(x_0))$ en el gráfico (figura A):

$m_{sec}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Tasa Instantánea de Cambio

La tasa instantánea de cambio de $y = f(x)$ en el punto $x_0$ es la pendiente $m_{sec}$ de la recta tangente al punto $x_0$ en el gráfico (figura B):

$m_{tan}=f^\prime(x_0)=\lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{t_1-t_0}$

Ejemplo A

Calcula:

a. La pendiente de la recta tangente a $y=x^2+5$ en el punto de la curva $x=4$ .

b. La ecuación de tal recta.

Solución:

En la lección anterior, mostramos como calcular la derivada (la pendiente de la tangente) de una función de la forma $y=x^2-c$

a. La pendiente de la tangente a la curva $y=x^2+5$ en $x=4$ es: $2(4)=8$

Recordemos de Algebra I la “forma pendiente-intercepto” de una línea recta: $y=mx+b$ , donde $m$ es la pendiente de la recta.

b. Dado $m=8$ por lo anterior, tenemos $y=8x+b$ . Todo lo que necesitamos es resolver $b$ para tener la ecuación completa.

Substituye 4 (el punto al que estamos buscando la pendiente) por $x$ en la ecuación de la curva $y=x^2+5$ para identificar un $y$ que corresponda

$y&=(4)^2+5\\y&=21$

Sustituye los valores de $x$ , $y$ , y $m$ que tenemos en nuestra forma $y=mx+b$ de la ecuación de la recta tangente:

$21&=8(4)+b\\-11&=b$

Usa los valores calculados de $m$ y $b$ para completar la ecuación:

$y=8x-11$

Ejemplo B

Supón que $y=x^2-3$

a. Encuentra la tasa promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo [0, 2].

b. Encuentra la tasa instantánea de cambio de $y$ con respecto a $x$ en el punto $x =-1$ .

Solución:

a. Aplicar la fórmula anterior para los secantes con $f(x)=x^2-3$ y si $x_0=0$ y $x_1=2$ , nos da

$m_{sec} &=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{t_1-t_0} \\&=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\\&=\frac{1-(-3)}{2}\\&=2$

Esto significa que la tasa promedio de cambio de $y$ es 2 unidades por incremento de unidad en $x$ sobre el intervalo [0, 2].

b. Recordemos que, para las funciones de la forma $y=x^2+c$ que $f^\prime(x)=2x$ ( $f^\prime (x)$ es “ $f$ primo de $x$ ”, lo que significa “la pendiente $(m)$ de la recta tangente a $x$ ”)

$m_{tan} &=f^\prime (x_0) \\&=f^\prime (-1)\\&=2(-1)\\&=-2$

Esto significa que la tasa instantánea de cambio es negativa. Vale decir, $y$ disminuye en el punto $x = -1$ . Está disminuyendo a una tasa de 2 unidades por incremento de unidad en $x$ .

Ejemplo C

Encuentra la derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ y la ecuación de la recta tangente en $x_0 = 1$ .

Solución:

Usando la definición de la derivada,

$f^\prime (x) &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{ \left (\sqrt{x+h} \right )-\sqrt x}{h} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{x+h-x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Por tanto, la pendiente de la recta tangente en $x_0 = 1$ es

$f^\prime(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$

Para $x_0 = 1$ , podemos hallar $y_0$ simplemente al sustituir por $f(x)$ :

$f(x_0) & \equiv y_0 \\f(1) &=\sqrt{1}=1\\y_0 &=1$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

$y-y_0 &=m(x-x_0)\\y-1 &=\frac{1}{2}(x-1) \\y &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

Análisis del Problema de la Sección

La velocidad es, por definición, una relación entre una distancia y el tiempo necesario para cruzar tal distancia (recuerda $d=rt$ de tu clase de ciencias). Si el tiempo necesario es cero, entonces terminarás dividiendo por cero, lo cual no está definido.

Sin embargo, al usar cálculo, puedes identificar cual será el comportamiento final de la función si estuvieras inmensamente cerca y, por tanto, podrías efectivamente calcular la velocidad en un momento dado. De hecho, es exactamente lo que hiciste en los ejemplos anteriores.

Vocabulario

La velocidad instantánea es la velocidad a la que viaja un objeto en cualquier punto dado de tiempo.

La velocidad promedio se define como la distancia en que un objeto viaja dividido por el intervalo de tiempo requerido.

La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dado del gráfico.

La notación $f ^\prime (x)$ se lee como “ $f$ primo de $x$ ”, y es una forma de señalar la derivada de la función $(x)$ .

Práctica Guiada

Encuentra la derivada de $f(x)=\frac{x}{x+1}$
Un cohete es propulsado hacia arriba y alcanza una altura de en segundos.
1. ¿Qué altura alcanza en 35 segundos?
2. ¿Cuál es la velocidad promedio del cohete durante los primeros 35 segundos?
3. ¿Cuál es la velocidad instantánea del cohete al final de los 35 segundos?
Una partícula se mueve en dirección positiva a lo largo de una recta, por lo que luego de nanosegundos, su distancia recorrida se da por nanómetros.
1. ¿Cuál es la velocidad promedio de la partícula durante los primeros 2 nanosegundos?
2. ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en $t = 2$ nanosegundos?.

Soluciones:

1. Usando la fórmula de la derivada:

$f^\prime(x) &=\lim_{h \to 0}\frac{\left [\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1} \right ]}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\left[\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}\right ]\\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\left[\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}\right ]\\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)}\\&=\frac{1}{(x+1)^2}$

2. a. La altura el cohete en 35 segundos es $4.9(35)^2=6002.5 \ m$

b. $V_{avg}=\frac{6002.5 \ m}{35 \ s}=171.5 \ m/s$

c. Para encontrar la velocidad instantánea, necesitamos encontrar la derivada de $h(t)=4.9t^2 \ h^\prime(t)=9.8t$ usando la fórmula de la tasa instantánea de cambio anterior $9.8 \cdot 35 \ s=343 \ m/sec$

3. a. La partícula se mueve $9.9t^3 \ nm$ en $t$ segundos

$\therefore 9.9(2^3)=\frac{79.2 \ nm}{2 \ s}\rightarrow \frac{39.6 \ nm}{1 \ s}$

b. Usando la fórmula para encontrar la derivada, obtenemos $\chi ^\prime(t)=29.7 t^2$

$\therefore \chi ^\prime (2)=118.8 \ nm/s$

$\therefore$ La velocidad instantánea a $t=2$ es 118.8 nm/sec

Práctica

Encuentra la Tasa Promedio de Cambio

1. $C=f(x)$ y $f(x)=x^3-4x+2$ . Encuentra la tasa promedio de cambio de $(C)$ con respecto de $(x)$ , cuando $(x)$ se cambia de $x=15$ , a $x=59$ .

2. $H=f(x)$ y $f(x)=x^2-5x+201$ Encuentra la tasa promedio de cambio de $(H)$ , con respecto de $(x)$ cuando $(x)$ se cambia de $x = 10$ a $x = 11$ .

3. $N=f(x)$ y $f(x)=3x^2-4x-1$ Encuentra la tasa promedio de cambio de $(N)$ con respecto de $(x)$ cuando $(x)$ se cambia de $x = 20$ a $x = 64$ .

4. $H=f(x)$ y $f(x)=x^2+10x+201$ Encuentra la tasa promedio de cambio de $(H)$ con respecto de $(x)$ cuando $(x)$ se cambia de $x + 25$ a $x = 74$ .

5. $N=f(x)$ y $f(x)=-5x^2-3x-4$ Encuentra la tasa promedio de cambio de $(N)$ con respecto de $(x)$ cuando $(x)$ se cambia de $x = 30$ a $x = 54$ .

Encuentra la Tasa Instantánea de Cambio:

6. Si $C=f(x)$ y $f(x)=-4x^2+2x+5$ , encuentra la tasa instantánea de cambio de $(C)$ con respecto de $(x)$ cuando $x = 25$ .

7. Si $N=f(x)$ y $f(x)=3x^2-x-5$ encuentra la tasa instantánea de cambio de $(N)$ con respecto a $x$ cuando $x = 10$ .

8. $H=f(x)$ y $f(x)=4x^2+195$ Encuentra la tasa instantánea de cambio de $(H)$ con respecto de $x$ cuando $x = 10$ .

9. $N=f(x)$ y $f(x)=-x^2+x-3$ Encuentra la tasa instantánea de cambio de $(N)$ con respecto de $x$ cuando $x=150$ .

10. $C=f(x)$ y $f(x)=-3x^2+4x-4$ Encuentra la tasa instantánea de cambio de $(N)$ con respecto de $x$ cuando $x = 20$ .

Usa la definición de la derivada para encontrar $f(x)$ y luego hallar la ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ .

11. $f(x) = 6x^2$ ; $x_0 = 3$ .

12. $f(x)=\sqrt{x+2}$ ; $x_0=8$

13. $f(x) = 3x^3 - 2$ ; $x_0 = -1$

14. $f(x)=\frac{1}{x+2}$ ; $x_0=-1$

15. $f(x) = ax^2 - b$ , (donde $a$ y $b$ son constantes); $x_0 = b$

16. $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ ; $x_0 = 1$ .

17. Supón que $f$ tiene la propiedad de qué $f(x + y)=f(x)+f(y)+3xy$ y $\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}=4$ . Encuentra $f(0)$ y $f(x)$ .

18. Encuentra $\frac{dy}{dx}$ .

Resolver Problemas de Tasa de Cambio

19. Una compañía empaquetadora del sur hace “Salsa de Spaghetti de Mamá”. El costo de producir $x$ jarras es de $J=f(x)$ dólares. ¿Qué significa $f^\prime(100) = 9999$ en este contexto?

20. Un pie de cereza se saca del horno cuando su temperatura es de $202^\circ F$ y se coloca sobre una mesa en una habitación donde la temperatura es de $75^\circ F$ . La temperatura del pie luego de $x$ minutos se da por $T=f(x)$ . ¿Qué significa $f^\prime (100) = -0.6$ en este contexto?

21. La cantidad de virus, luego de $(x)$ horas, en un experimento controlado de laboratorio es $V=f(x)$ . ¿Cuáles son las unidades de $f^\prime (x)$ ?

22. La cantidad de personas en los EE.UU. afectada por el resfriado común en el mes de noviembre se define por $N=f(x)$ donde $x$ es el día del mes. ¿Cuál es el significado de $f^\prime (x)$ en este contexto?

23. La cantidad de hogares en Florida afectados por la temporada de huracanes en el mes de julio se define por $J=f(x)$ donde $x$ es el día del mes y $f(x)=2x^2+x+1$ . Encuentra la tasa promedio de cambio de $J$ con respecto a $x$ donde los días se cambian de $x=5$ a $x=34$ .

24. Se saca un pastel de un horno cuando su temperatura es de $196^\circ F$ y se coloca en una rejilla para enfriar en una habitación donde la temperatura es de $75^\circ F$ . La temperatura del pastel luego de $(x)$ minutos está dada por $H=f(x)$ , donde $f(x)=0.008264x^2-2x+196$ . Encuentra la tasa instantánea de cambio de $H$ con respecto a $x$ cuando $x=15$ .

25. Una porción de pastel de carne se saca de un horno cuando su temperatura es de $205^\circ F$ y se coloca sobre una mesa en una habitación donde la temperatura es $75^\circ F$ . La temperatura del pastel de carne luego de $x$ minutos está dada por $H=f(x)$ . $f(x)=2x^2+5x+205$ . Encuentra la tasa promedio de cambio de $H$ con respecto de $x$ cuando los minutos cambian de $x=5$ a $x=54$ .

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