La Derivada

Objetivos

En esta Sección, encontrarás un resumen de “la derivada de una función”, junto con una introducción a la notación de derivadas y la relación entre continuidad de una función y diferenciación.

Concepto

La atlética Becca decidió que necesitaba una mejor forma para calcular su velocidad instantánea durante sus corridas de entrenamiento en vez de que su novio Jim tome fotos de ella en distintas partes de la corrida. ¡Así que se le ocurrió una idea! Se compró un receptor GPS que puede usar en su brazo durante sus largos trotes de entrenamiento y que puede darle sus datos de posición una vez por segundo, datos que pueden registrarse en su computadora. Estaba decidida a obtener buenos datos de velocidad instantánea de las grabaciones de GPS y tenía un plan para hacerlo.

¿Puedes determinar cuál fue el plan de Becca?

Becca implemento su plan con éxito. Al revisar los datos del computador de una de sus corridas de entrenamiento, vio que las estimaciones de velocidad “se volvieron locas” en un intervalo de 5 segundos antes de volver a los valores normales. Becca recordó haber corrido dentro de un túnel en ese tiempo.

¿Puedes explicar porque las estimaciones de velocidad de Becca se volvieron erráticas?

Mira Esto

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=IDjzdzwsm4Q - Tutoriales de Matemáticas en Video por James Sousa, Introducción a la Derivada (9:57)

Orientación

En los dos conceptos anteriores, se mostró la función $f^{\prime}(x)$ para representar dos características importantes de la función $y=f(x)$ :

La pendiente de la recta tangente en $x$ , y
La tasa instantánea de cambio de $y$ con respecto de $x$ .

Estas dos características de una función son tan importantes que $f^{\prime}(x)$ tiene su propio nombre, la derivada . A continuación definiremos la derivada de una función.

La Derivada de una función $f(x)$

La Derivada de una función $f(x)$ es la función $f^{\prime}(x)$ cuyo valor en $x$ es dado por

$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

considerando que el limite existe.

El dominio de $f^{\prime}(x)$ consiste en todos los valores de $x$ donde existe el límite.

Si el limite existe, y por ende la derivada, se dice que la función $f(x)$ es diferenciable en $x (x_0)$ .

Nota: lo siguiente también fue usado para definir $f^{\prime}(x)$ :

$f^{\prime}({x_0}) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

El Cálculo, como en todas las ramas de las matemáticas, tiene mucha notación. Hay muchas formas de señalar la derivada de la función $y = f(x)$ . He aquí algunas formas:

Notaciones de Derivada

$f^{\prime}(x) \qquad \frac{dy}{dx} \qquad y^{\prime} \qquad \frac{df}{dx} \qquad \frac{df(x)}{dx} \quad \text{and} \quad \ D_x f(x) \qquad D_xy$

donde los símbolos $\frac{d}{dx}$ y ${D_x}$ son operadores diferenciales diferenciales que actúan en la función para producir la derivada con respecto a $x$ .

Además, al sustituir el punto $x_0$ en la derivada, señalamos la sustitución con una de las siguientes notaciones:

$f^{\prime}(x_0) \qquad \frac{dy}{dx}|x - x_0 \qquad \frac{df}{dx} \Bigg| x-x_0 \qquad \frac{df(x_0)}{dx}$

Ejemplo A

Encuentra la derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ y la ecuación de la recta tangente en $x_0=1$ .

Solución:

Usando la definición de la derivada,

$f^{\prime}(x) &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{x+h-x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\&= \frac{1}{2 \sqrt{x}}.$

Por tanto, la pendiente de la recta tangente en $x_0=1$ es

$f^{\prime}(1)=\frac{1}{2 \sqrt{1}}=\frac{1}{2}.$

Para $x_0=1$ , podemos encontrar $y_0$ simplemente sustituyendo en $f(x)$ .

$f(x_0) & \equiv y_0 \\f(1) &= \sqrt{1}=1 \\y_0 &= 1.$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

$y-y_0 &= m(x-x_0) \\y-1 &= \frac{1}{2}(x-1) \\y &= \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$

Existencia de la Derivada y Diferenciación en una Función

La definición anterior de la derivada de una función dice que si el limite existe, entonces la derivada existe en $x$ , y la función es diferenciable en $x$ . Si, en el punto $(x_0, f(x_0))$ , el limite no existe, entonces la derivada de la función $f(x)$ en este punto tampoco existe y la función no es diferenciable en $x$ .

Ejemplo B

Los siguientes son cuatro casos donde la derivada no existe.

a. Derivada en una esquina.

Considera la función $f(x) = |x|$ .

¿Cuál es la derivada de $f(x)$ en $x_0=0$ ?

$\lim_{x \to x_0{^-}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &= \lim_{x \to 0{^-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\= \lim_{x \to 0{^+}} \frac{x}{x}& =-1\\\lim_{x \to x_0{^+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &=\lim_{x \to 0{^+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\= \lim_{x \to 0{^+}} \frac{x}{x}& =1$

Ya que los limites en ambos lados de $x=0$ son diferentes, la derivada no existe en $x=0$ aunque la función es continua en $x=0$ .

Esquina: Los dos límites de un lado son finitos, pero diferentes.

b. Derivada en una cúspide.

Considera la función $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ .

$\lim_{x \to x_0{^-}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}&= \lim_{x \to 0^-} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}\\= \lim_{x \to 0^-} x^{\frac{-1}{3}}&= - \infty \\\text{and } \lim_{x \to x_0{^+}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}&= + \infty.$

Ya que los limites en ambos lados de $x=0$ son diferentes, la derivada no existe en $x=0$ aunque la función es continua en $x=0$ .

Cúspide: Los dos límites de un lado son infinitos pero uno es positivo y el otro, negativo.

c. Derivada en una tangente vertical.

Considera la función $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ .

$\lim_{x \to x_0{^-}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0^-}x^{\frac{-2}{3}}=+ \infty \\\lim_{x \to x_0{^+}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0^+}x^{\frac{-2}{3}}=+ \infty$

Puesto que los limites en ambos lados de $x=0$ son el infinito, la derivada no existe en $x=0$ aunque la función es continua en $x=0$ .

Tangente vertical: Los dos límites de un lado en $x=a$ son $+ \infty$ .

d. Derivada en una discontinuidad de salto.

Considera la función escalonada

$f(x) = \begin{cases} -2, \quad \ x<0 \\2, \qquad x \ge 0 \end{cases}$

$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 -2}{x}=+ \infty \\\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{2 -2}{x}=0 \\$

Ya que los limites en ambos lados de $x=0$ son diferentes, la derivada no existe en $x=0$ aunque la función se define en $x=0$ . Sin embargo, la función no es continua en $x=0$ .

Discontinuidad de salto: Los dos límites de un lado son diferentes y la función no es continua en $x=a$ .

Diferenciación y Continuidad

Los ejemplos muestran que una función puede o no tener una derivada en un valor particular de $x$ , vale decir, la función puede o no ser diferenciable en $x$ . Los casos anteriores A-C muestran que no toda función continua es diferenciable. Mas en todos los casos examinados, cuando existe derivada, la función es continua en el punto donde se evalúa la derivada. No hemos visto casos donde exista la derivada y la función no sea continua. ¿Existen tales casos? La respuesta es no. Este hecho se expresa con el siguiente teorema, uno de los teoremas más importantes en cálculo:

Diferenciación y Continuidad

Si $f$ es diferenciable en $x_0$ , entonces $f$ también es continua en $x_0$ .

Nótese el equivalente: Si $f$ no es continua en $x_0$ , entonces $f$ no es diferenciable en $x_0$ .

Ya hemos visto que lo opuesto no es verdad en algunos casos. La función puede tener una cúspide, una esquina o una tangente vertical y seguir siendo continua, pero no es diferenciable.

Ejemplo C

Usando la derivada, da un argumento de porque la función $f(x) = x^2$ es continua en $x = -5$ .

Solución:

Usando la definición de la derivada:

$f^{\prime}(x) &= \lim_{x \to -5} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} \\&= \lim_{h \to 0}(2x+h) \\&= 2x$

Por tanto, $f^{\prime}(-5)=2(-5)=-10$ . Ya que $f(x)=x^2$ es diferenciable en $x=-5$ , $f(x)$ es continua en $x=-5$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recordemos que Becca tenía un plan para determinar su velocidad instantánea de corrida usando un receptor GPS que envíe señales de posición una vez por segundo a su computadora. ¿Viste cuál era su plan?

Becca sabía que los datos de posición de GPS podrían usarse para determinar qué tan lejos corrió en cualquier momento. Pudo usar un programa del computador para representar con precisión estos estimados de distancia de corrida versus tiempo con una función matemática. Usando su conocimiento reciente de las derivadas, Becca pudo determinar su velocidad en cualquier momento calculando la derivada de la función matemática. ¡Y funcionó muy bien!

Pero, ¿qué causó los resultados "erráticos" de 5 segundos?

Becca llegó a la conclusión de que perdió sus datos de posición de GPS durante su corrida en el túnel, puesto que se bloqueó la señal al entrar al mismo. El modelo matemático de distancia vs tiempo, por lo tanto, se volvió discontinua durante el intervalo de 5 segundos (discontinuidad de salto?) y el estimado de velocidad (derivada) durante ese tiempo no era confiable.

Vocabulario

La derivada de una función, si existe, es una función que proporciona la pendiente de una recta tangente de su función madre en un valor de la variable independiente.

Un operador diferencial es un símbolo matemático usado para indicar una operación de diferenciación en una función.

Una función es diferenciable en un punto o sobre un intervalo si tiene una derivada en el punto o sobre el intervalo.

Práctica Guiada

Encuentra la derivada de $f(x) = \frac{x}{{x + 1}}$ en $x=0$ y $x=-1$ ; usa los resultados para decir algo acerca de la continuidad de $f(x)$ en estos dos puntos.

Solución:

Empecemos con la definición de la derivada,

$f^{\prime}(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} [f(x+h)-f(x)],$

donde

$f(x) &= \frac{x}{x+1} \\f(x+h) &= \frac{x+h}{x+h+1}$

Substituye en la fórmula de la derivada,

$f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right] \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[\frac{(x+h)(x+1) - x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\right] \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[\frac{x^2+x+hx+h-x^2-xh-x}{(x+h+1)(x+1)}\right] \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}\right] \\&= \lim_{h \to 0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)} \\&= \frac{1}{(x+1)^2}.$

Evalúa la derivada en $x=0$ : $f^{\prime}(0) = 1$ . Ya que la función es diferenciable en $x=0$ , la función es continua en $x=0$ .

Evalúa la derivada en $x=-1$ : $f^{\prime}(-1) = \infty$ . Ya que la función no es diferenciable en $x=-1$ , la función no es continua en $x=-1$ .

Práctica

En los problemas 1-6, usa la definición de la derivada para encontrar $f^{\prime}(x)$ y luego hallar la ecuación de la recta tangente en $x=x_0$ .

1. $f(x)=6x^2$ ; $x_0=3$

2. $f(x)=\sqrt{x+2}$ ; $x_0=8$

3. $f(x)=3x^3 -2$ ; $x_0=-1$

4. $f(x)=\frac{1}{x+2}$ ; $x_0=-1$

5. $f(x)=ax^2-b$ , (donde $a$ y $b$ son constantes); $x_0=b$

6. $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ ; $x_0=1$

7. Encuentra $\frac{dy}{dx} \big |_{x=1}$ dado que $y=5x^2-2$ .

8. Muestra que $f(x)=\sqrt[3]{x}$ es continua en $x=0$ pero que no es diferenciable en $x=0$ . Dibuja el gráfico.

9. Muestra que $f(x)=\begin{cases} x^2+1 & x \ge 1 \\2x & x > 1 \end{cases}$ es continua y diferenciable en $x=1$ . Dibuja el gráfico de $f$ .

10. Supón que $f$ es una función diferenciable y tiene la propiedad de qué $f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy$ y $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}=4$ . Encuentra $f(0)$ y $f^{\prime}(x)$ .

11. Usa la definición de la derivada para calcular la derivada de $f(x)=2x^2+x$ en $x=2$ .

12. Escribe la fórmula de la derivada de $f(x) = 3(x - 1)^2 + 7$

13. Encuentra la fórmula de la derivada de $f(x)=\sqrt{x-1}$

14. Usa la definición de la derivada para calcular la derivada de $f(x) = \sqrt{6 - 2x}$ en $x=-5$ .

15. Encuentra la fórmula de la derivada de $f(x) = \frac{1}{x + 1}$ .

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