Reglas de Diferenciación: Potencias Constantes y Variables

Objetivos

En esta Sección, aprenderás reglas para calcular derivadas que reemplacen la necesidad de usar la definición del límite de una derivada.

Concepto

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? ¿Cuál es la pendiente de cualquier recta que pueda escribirse en forma pendiente-intercepto? ¿Puedes relacionarlas con una derivada? Si sabes las respuestas a estas preguntas, entonces ya estás listo para estipular algunas reglas de diferenciación. Piensa en tus respuestas antes de proseguir con esta lección. Las reglas presentadas aquí ofrecen“atajos” a la definición del límite para hallar las derivadas de polinomios básicos.

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=cEvhWaQZwGA - James Sousa: Ex: Derivadas y Valores de Derivadas de una Función Lineal y Constante

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http://www.youtube.com/watch?v=e1GMC9aOyBU - James Sousa: Como Hallar Derivadas usando la Regla de la Potencia

Orientación

En la siguiente discusión, presentaremos algunos ejemplos que proporcionan la base para formulas y teoremas que reemplazarán el uso de la definición de límite de la derivada con formas más eficientes y rápidas para hallar la derivada.

Ejemplo A

Encuentra la derivada de la función $f(x)=16$ .

Solución:

$\frac{dy}{dx}&= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\frac{dy}{dx}&= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{16-16}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h} \\&= 0$

La formulación anterior del límite puede generalizarse en la siguiente regla de derivación

Reglas de Diferenciación: Derivada de una Constante

Teorema: Si $f(x)=c$ donde $c$ es una constante, entonces $f^\prime(x)=0$

Ejemplo B

Encuentra la derivada de la función $g(x)=cf(x)$ , donde $c$ es una constante y $f(x)$ es una función que tiene una derivada para todo $x$ por analizar.

Solución:

Usando la definición de la derivada como límite:

$\frac{dy}{dx}&= \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}c \cdot \left ( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right )=\lim_{h \to 0}c \cdot \lim_{h \to 0}\left ( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right ) \\&= cf^\prime(x)$

La formulación anterior de limite puede generalizarse a la siguiente regla de derivación:

Reglas de Diferenciación: Producto de una constante y una función

Teorema: Si $c$ es una constante y $f$ es diferenciable para toda $x$ , entonces $\frac{d}{dx}[cf(x)]=c \frac{d}{dx}[f(x)]$ .

En notación simple $(cf)^\prime=c(f)^\prime=cf^\prime$

Ejemplo C

Encuentra la derivada de $f(x)=x^n$ donde $n$ es un entero positivo.

Solución:

$\frac{dy}{dx}&= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \quad \ldots \text{Use the Binomial Theorem to expend} \ (x+h)^n. \\&= \lim_{h \to 0}\frac{\left ( x^n+nx^{n-1}h+ \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}h^3+ \cdots nxh^{n-1}+h^n\right )-x^n}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{nx^{n-1}h+ \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}h^3+ \cdots nxh^{n-1}+h^n}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\left ( nx^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}h^2+ \cdots nxh^{n-2}+h^{n-1}\right ) \\&= nx^{n-1}$

La formulación anterior de limite puede generalizarse a la siguiente regla de derivación:

Reglas de Diferenciación: Regla de la Potencia

Teorema: Si $n$ es un número real, entonces para todos los valores reales de $x$

$\frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}.$

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes ver porque las Reglas de Constantes y Potencia son tan prácticas y muy fáciles de recordar? Hay un orden en la aplicación de las reglas, de la siguiente forma:

- La derivada de una función constante (recta horizontal, $y=a$ ) es $y^\prime=0$ .

- La derivada de una función lineal $(y=ax+b)$ es una constante, $y^\prime=a$ .

- La derivada de una función cuadrática $(y=ax^2)$ es una función lineal, $y^\prime=2ax$

- La derivada de una función cubica $(y=ax^3)$ es una función cuadrática, $y^\prime=3ax^2$ .

$\cdot \\\cdot \\\cdot$

Vocabulario

La derivada de una función, si existe, es una función que proporciona la pendiente de una recta tangente de su función madre en un valor de la variable independiente.

Una función es diferenciable en un punto o sobre un intervalo si tiene una derivada en el punto o sobre el intervalo.

Un teorema es una afirmación que se considera cierta basada en una serie de afirmaciones razonadas aceptadas como verdaderas. En el contexto de esta lección, un teorema es una regla que permite un cálculo rápido de la derivada de funciones de distinto tipo.

Práctica Guiada

Encuentra la derivada de

1. $f(x)=\frac{-2}{x^4}$

2. $f(x)=x^3$

3. $f(x)=x$

4. $f(x)=\sqrt{x}$

5. $f(x)=\frac{1}{x^3}$

Soluciones:

1. $&\frac{d}{dx}\left [ \frac{-2}{x^4}\right ] \quad &&\ldots \text{Restate} \\&\frac{d}{dx}[-2x^{-4}] \quad &&\ldots \text{Rules of exponents} \\&-2 \frac{d}{dx}[x^{-4}] \quad &&\ldots \text{Derivative Rule: Product of a constant and function} \\&-2[-4x^{-4-1}] \quad &&\ldots \text{Derivative Rule: Power Rule} \\&8x^{-5} \quad &&\ldots \text{Simplify} \\&\frac{8}{x^5} \quad &&\ldots \text{Rules of exponents}$

2. Por la regla de las potencias: Si $f(x)=x^3$ entonces $f^\prime(x)=(3)x^{3-1}=3x^2$

3. Por la regla de las potencias: $\frac{d}{dx}[x]=1x^{1-1}=x^0=1$

4. Re-escribe la función: $\frac{d}{dx}\left [ \sqrt{x} \right ]=$

Usando la reglas de los exponentes: $\frac{d}{dx}[x^{\frac{1}{2}}]$

Aplica la Regla de las Potencias: $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

Simplifica: $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Reglas de los exponentes: $\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

Simplifica: $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

5. Re-escribe la función: $\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{x^3}\right ]$

Reglas de los exponentes: $\frac{d}{dx}[x^{-3}]$

Regla de la Potencia: $-3x^{-3-1}$

Simplifica: $-3x^{-4}$

Reglas de los exponentes: $\frac{-3}{x^4}$

Práctica

1. Expresa la Regla de la Potencia.

Encuentra la derivada:

2. $y=5x^7$

3. $y=-3x$

4. $f(x)=\frac{1}{3}x+ \frac{4}{3}$

5. $y=x^4-2x^3-5 \sqrt{x}+10$

6. $y=(5x^2-3)^2$

7. Dado $y(x)=x^{-4 \pi^2}$ cuando $x=1$

8. $y(x)=5$

9. Dado $u(x)=x^{-5 \pi^3}$ que es $u^\prime (2)$

10. $y=\frac{1}{5}$ cuando $x=4$

11. Dado $d(x)=x^{-0.37}$ que es $d^\prime (1)$

12. $g(x)=x^{-3}$

13. $u(x)=x^{0.096}$

14. $k(x)=x-0.49$

15. $y=x^{-5 \pi^3}$

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