Reglas de Diferenciación: Sumas y Restas

Objetivos

En esta Sección, aprenderás las reglas de diferenciación para sumas y diferencias de funciones.

Concepto

En base a tu conocimiento de la definición del límite de la derivada de una función y las propiedades de los límites discutidas en una sección anterior, ¿puedes predecir ahora como podría determinarse la derivada de una suma o diferencia?

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=YHPbk3iCS3I - Suma, Regla de Derivadas, Prueba

Orientación

Estas son las reglas de diferenciación de la suma y diferencia de dos funciones:

Reglas de Diferenciación: Sumas y Restas

Teorema: Si $f$ y $g$ son dos funciones diferenciables en $x$ entonces

$\frac{d}{dx} [f(x)+g(x)]&=\frac{d}{dx} [f(x)]+\frac{d}{dx} [g(x)]\\& \text{and}\\\frac{d}{dx} [f(x)-g(x)]&=\frac{d}{dx}[f(x)]-\frac{d}{dx}[g(x)]$

En notación simple

$(f \pm g)^\prime =f^\prime \pm g^\prime.$

Usar las propiedades de límite de capítulos anteriores te permitirá determinar porque se aplican estas reglas de diferenciación.

Ejemplo A

Encuentra la derivada: $f(x)=3x^2+2x$

Solución:

Usa la regla de la potencia para guiarte:

$\frac{d}{dx} [3x^2+2x] &= \frac{d}{dx} [3x^2]+\frac{d}{dx}[2x]\\&= 3 \frac{d}{dx} [x^2]+2 \frac{d}{dx}[x]\\&= 3 [2x]+2 [1]\\&= 6x+2$

Ejemplo B

Dado: $t(x)=x-1$ , que es $\frac{dt}{dx}$ cuando $x=0$

Solución:

Por la regla de la resta: $(x-1)^\prime=(x)^\prime-(1)^\prime=0$

$x^\prime=1$ ..... Por la regla de la potencia

$1^\prime=0$ ..... La derivada de una constante = 0

Por tanto, cuando evaluamos esto en $x = 0$ , obtenemos 1, ya que $1 - 0 = 1$

Ejemplo C

Encuentra la derivada: $f(x)=x^3-5x^2$

Solución:

Usa las reglas de resta y potencia para guiarte:

$\frac{d}{dx} [x^3-5x^2] &= \frac{d}{dx}[x^3]-5 \frac{d}{dx} [x^2]\\&= 3x^2-5[2x]\\&= 3x^2-10x$

Análisis del Problema de la Sección

¿Pudiste predecir las reglas de suma y resta mostradas anteriormente?

En un concepto previo, aprendiste que si existe el límite:

$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)]=\lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x),$

Puesto que la derivada de una función se define por un límite, $\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)]$ estaría definida por el limite aplicado a $[f(x) \pm g(x)]$ . Revisa los detalles para ver que las reglas presentadas tienen sentido.

Vocabulario

Una función diferenciable es aquella que tiene una derivada que puede calcularse.

Práctica Guiada

Dado $a(x)=-\pi x^{-0.54}+6x^4$ . ¿Qué es $\frac{d}{dx}a(x)$ ?

Solución:

Usaremos las reglas de suma y potencia:

$\frac{d}{dx}(-\pi x^{-0.54}+6x^4) &= \frac{d}{dx} (-\pi x^{-0.54})+\frac{d}{dx}(6x^4) && \ldots \text{By the sum rule}\\&= -\pi \frac{d}{dx} (x^{-0.54})+6 \frac{d}{dx}(x^4) &&\ldots \text{By the Constant - function Product rule}\\&= 0.54 \pi x^{-1.54} + 24x^3 && \ldots \text{By the power rule}$

Práctica

Encuentra la Derivada usando la regla de suma/resta

$y=\frac{1}{2}(x^3-2x^2+1)$
$y=\sqrt{2}x^3-\frac{1}{\sqrt{2}}x^2+2x+\sqrt{2}$
$y=a^2-b^2+x^2-a-b+x$ (donde $a, b$ son constantes)
$y=x^{-3}+\frac{1}{x^7}$
$y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$
$f(x)=(-3x+4)^2$
$f(x)=-0.93x^{10}+(\pi^3 x)^{\frac{-5}{12}}$
¿Qué es $\frac{d}{dx}(2x+1)^2$ ?
Dado: $a(x)=(-5x+3)^2$ ¿Qué es $\frac{dy}{dx}$ ?
$v(x)=-3x^3+5x^2-2x-3$ ¿Qué es $v^\prime (0)$ ?
$f(x)=2x^2+3x+1$ . Encuentra $f^\prime (x)$ .
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}$ . Encuentra $f^\prime (1)$ .
$y=(x+1)(x+2)$ . Evalúa $\frac{dy}{dx}$ en $x=-\frac{1}{2}$
$f(x)=2ax^3+x^2; f^\prime (-2)=0$ . Encuentra $a$ .
$f(x)=a(x^2-5)$ ; encuentra $a$ de modo que $f^{\prime\prime} (5)=20$ .

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