Reglas de Diferenciación: Productos y Cocientes

Objetivos

En esta Sección, aprenderás las reglas de diferenciación para productos y cocientes de funciones.

Concepto

En base a tu conocimiento de la derivada de una función como un límite y de las propiedades de los límites discutidas en una sección anterior, ¿puedes predecir ahora como podría determinarse la derivada de un producto o cociente? ¿Los resultados de derivación deberían seguir las propiedades de los límites? ¿Por qué?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=h78GdGiRmpM - Khan Academy: Regla de Producto

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http://www.youtube.com/watch?v=wg2O3o4s1q0 - La Regla del Cociente

Orientación

Queremos formular una regla para hallar $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)]$ . Usando la definición de la derivada, podemos escribir:

$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

Con unas pequeñas manipulaciones algebraicas, la formulación anterior puede transformarse al siguiente resultado:

La Regla del Producto

Teorema: Si $f$ y $g$ son diferenciables en $x$ , entonces

$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)$

En notación simple:

$(f \cdot g)^\prime=f \cdot g^\prime+g \cdot f^\prime$

Ejemplo A

Encuentra $\frac{dy}{dx}$ para $y=(3x^4+2)(7x^3-1)$

Solución:

Hay dos métodos para resolver este problema. Una es multiplicar para encontrar el producto y luego usar la derivada de la regla de la suma. La segunda es usar directamente la regla del producto. Cualquier regla producirá la misma respuesta. Empecemos con la regla de la suma.

$y &= (3x^4+2)(7x^3-1)\\&= 21x^7-3x^4+14x^3-2$

Sacar la derivada de la suma nos deja

$\frac{dy}{dx} &= 147x^6-12x^3+42x^2+0\\&= 147x^6-12x^3+42x^2$

Ahora usamos la regla del producto.

$y^\prime &= (3x^4+2) \cdot (7x^3-1)^\prime+(3x^4+2)^\prime \cdot (7x^3-1)\\&= (3x^4+2)(21x^2)+(12x^3)(7x^3-1)\\&= (63x^6+42x^2)+(84x^6-12x^3)\\&= 147x^6-12x^3+42x^2$

Es la misma respuesta.

Ya conociendo la Regla del Producto, es natural preguntarse “"¿Hay una Regla del Cociente?”. ¡La respuesta es un rotundo sí! De hecho, la Regla del Cociente puede derivarse usando la Regla del Producto (como habrás supuesto), al transformar un cociente $\frac{f(x)}{g(x)}$ en un producto $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ . Con toda confianza, obtendrás el resultado siguiente cuando hagas el problema en la Práctica.

Teorema: La Regla del Cociente

Si $f$ y $g$ son funciones diferenciables en $x$ y $g(x) \neq 0$ , entonces

$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{g \cdot f^\prime-f \cdot g^\prime}{g^2}$

Ten en cuenta que el orden de las operaciones es importante (debido al signo menos del numerador) y $\left(\frac{f}{g}\right)^\prime \neq \frac{f^\prime}{g^\prime}$ .

Ejemplo B

Encuentra $\frac{dy}{dx}$ para $y=\frac{x^2-5}{x^3+2}$

Solución:

$\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \left[\frac{x^2-5}{x^3+2}\right]\\&= \frac{(x^3+2) \cdot (x^2-5)^\prime-(x^2-5) \cdot (x^3+2)^\prime}{(x^3+2)^2}\\&= \frac{(x^3+2)(2x)-(x^2-5)(3x^2)}{(x^3+2)^2}\\&= \frac{2x^4+4x-3x^4+15x^2}{(x^3+2)^2}\\&= \frac{-x^4+15x^2+4x}{(x^3+2)^2}\\&= \frac{x(-x^3+15x+4)}{(x^3+2)^2}$

Ejemplo C

¿En cuál(es) punto(s) el gráfico de $y=\frac{x}{x^2+9}$ tiene una recta tangente horizontal?

Solución:

Puesto que la pendiente de una recta horizontal es cero, y ya que la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente, entonces sacar la derivada y dejarla igual a cero nos permitirá encontrar los puntos en donde la pendiente de la recta tangente es igual a cero, vale decir, la localización de las tangentes horizontales. Nótese que aquí necesitamos usar la regla del cociente:

$y &= \frac{x}{x^2+9}\\y^\prime &= \frac{(x^2+9) \cdot f^\prime (x)-x \cdot g^\prime (x^2+9)}{(x^2+9)^2}=0= \frac{(x^2+9)(1)-x(2x)}{(x^2+9)^2}=0$

Multiplica ambos lados por $(x^2+9)^2$ ,

$x^2+9-2x^2 &= 0\\x^2 &= 9\\x&= \pm 3$

Por tanto, en $x=-3$ y $x=3$ , la recta tangente es horizontal.

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes usar las propiedades de límite para el producto y cociente de dos funciones (por ej, el límite del producto es el producto de los limites) para formular las mismas reglas para las derivadas? Si respondiste que no, ¡estás en lo cierto!

Por ejemplo, la definición de la derivada para el producto de dos funciones diferenciables es:

$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

Si comparas este resultado al producto de las derivadas de las dos funciones, verás que no son iguales (dejémoslo como ejercicio). Lo mismo aplica a los resultados de los cocientes.

Oponiéndolo al límite resulta en:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] \ & \text{IS NOT EQUAL TO} \ \frac{d}{dx}f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x)\\\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] \ & \text{IS NOT EQUAL TO} \ \frac{\frac{d}{dx}f(x)}{\frac{d}{dx}g(x)}$

Vocabulario

La regla de diferenciación del producto define el cálculo de la derivada del producto de dos funciones.

La regla de diferenciación del cociente define el cálculo de la derivada del cociente de dos funciones.

Práctica Guiada

¿Cuál es la derivada de $g(x)=(-x-1)(x+1)$ ?

$\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} [(-x-1)(x+1)] && \ldots \text{Problem}\\&= (-x-1) \frac{d}{dx}[x+1]+\frac{d}{dx}[-x-1] \cdot (x+1) && \ldots \text{Apply Product Rule}\\&= (-x-1)(1)+(-1) \cdot (x+1) && \ldots \text{Evaluate}\\&= -2(x+1) && \ldots \text{Simplify}\\\frac{dy}{dx} &= -2(x+1)$

Práctica

Encuentra la Derivada usando la regla del producto

1. $y=(x^3-3x^2+x) \cdot (2x^3+7x^4)$

2. $y=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)(3x^4-7)$

3. ¿Qué es $[(-3x^2+x+4)(-3x-3)]$ ?

4. Dado: $k(-2)=0k^\prime (-2)=18$ Encuentra $r(-2)$ cuando $(kr)^\prime (-2)=54$

5. Dado $g(x)=(4x^2-4x-5)(3x-3)$ Encuentra $g^\prime (2)$

6. Encuentra $\frac{d}{dx}[(x^2-3)(-2x^2+4x-1)]$

7. Dado $t(1)=0t^\prime (1)=17$ Encuentra $a(1)$ cuando $(ta)^\prime (1)=272$

8. Dado $d(x)=(2x^2+3x-1)(2x+1)$ Encuentra $d^\prime (-1)$

9. $y=(x^3+2x+1)(4x^4-7x-8)$ . Encuentra $\frac{dy}{dx}$ .

10. $y=\frac{x^2+2}{\sqrt{4x}}$ . Escribe una ecuación para $y^\prime$ .

11. $y=(2x^5+x^4-x^3-x^2-x)^2$ . Escribe una ecuación para la recta tangente a $y$ en $x=-1$ .

12. $y=\frac{2x^3-1}{x}$ . Encuentra $y^\prime$ .

13. $y=(2x+7)(x^2-10)(3x^2+3x+5)$ . Encuentra $\frac{dy}{dx}$ .

14. Deriva la Regla del Cociente usando la Regla del Producto.

Usa la Regla del Cociente para Resolver:

15. Supón que $u^\prime (0)=98$ y $\left(\frac{u}{q}\right)^\prime (0)=7$ . Encuentra $q(0)$ asumiendo que $u(0)=0$

16. Dado: $b(x)=\frac{x^2-5x+4}{-5x+2}$ ¿Que es: $b^\prime (2)$ ?

17. $y=\frac{x+1}{2x-1}$ . Encuentra $\frac{d^2 y}{dx^2}$ .

18. $y=\frac{x^3-3}{x^2+1}$ . Encuentra $y^\prime$ .

19. $y=\frac{x^2+6x+5}{x+5}$ . Encuentra $\frac{dy}{dx}$ .

20. $y=\frac{x^2(x-3)}{x^5-5}$ . Encuentra $y^\prime$ cuando $x=-1$ .

21. $f(x)=\frac{x^5-3x^3-1}{4}$ . Encuentra $f^{\prime\prime}(x)$ .

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